第六章;万有引力与航天知识点总结 人类认识天体运动的历史 1、“地心说”的内容及代表人物: 托勒密(欧多克斯、亚里士多德) 内容:地心说认为地球是宇宙的中心,是静止不动的,太阳,月亮以及其他行星都绕地球运 2、“日心说”的内容及代表人物:哥白尼(布鲁诺被烧死、伽利略) 内容;日心说认为太阳是静止不动的,地球和其他行星都绕太阳运动。 开普勒行星运动定律的内容 开普勒第二定律:V近>V远 开普勒第三定律:K一与中心天体质量有关,与环绕星体无关的物理量:必须是同一中 心天体的星体才可以列比例,太阳系: 三、万有引力定律 1、内容及其推导:应用了开普勒第三定律、牛顿第二定律、牛顿第三定律, 2、表达式:F=C 3、内容:自然界中任何两个物体都相互吸引,引力的方向在它们的连线上,引力的大小 与物体的质量m1m2的乘积成正比,与它们之间的距离r的二次方成反比。 4引力常量:G=667×101Nm2/kg2,牛顿发现万有引力定律后的100多年里,卡文迪许在 实验室里用扭秤实验测出。 5、适用条件:①适用于两个质点间的万有引力大小的计算。 ②对于质量分布均匀的球体,公式中的r就是官们球心之间的离 ③一个均匀球体与球外一个质点的万有引力也适用,其中r为球心到质点 间的距离 ④两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时,公式也近似的适用,其 中r为两物体质心间的距离 第1页
第 1 页 第六章；万有引力与航天知识点总结 一、人类认识天体运动的历史 1、“地心说”的内容及代表人物： 托勒密 （欧多克斯、亚里士多德） 内容；地心说认为地球是宇宙的中心，是静止不动的，太阳，月亮以及其他行星都绕地球运 动。 2、“日心说”的内容及代表人物： 哥白尼 （布鲁诺被烧死、伽利略） 内容；日心说认为太阳是静止不动的，地球和其他行星都绕太阳运动。 二、开普勒行星运动定律的内容 开普勒第二定律： v v 近 远 开普勒第三定律：K—与中心天体质量有关，与环绕星体无关的物理量；必须是同一中 心天体的星体才可以列比例，太阳系： 3 3 3 2 2 2 = = =...... a a a T T T 地 火 水 地 火 水 三、万有引力定律 1、内容及其推导：应用了开普勒第三定律、牛顿第二定律、牛顿第三定律。 2、表达式： 2 1 2 r m m F = G 3、内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小 与物体的质量 m1,m2 的乘积成正比，与它们之间的距离 r 的二次方成反比。 4.引力常量：G=6.67×10-11N/m2/kg2，牛顿发现万有引力定律后的 100 多年里，卡文迪许在 实验室里用扭秤实验测出。 5、适用条件：①适用于两个质点间的万有引力大小的计算。 ②对于质量分布均匀的球体，公式中的 r 就是它们球心之间的距离。 ③一个均匀球体与球外一个质点的万有引力也适用，其中 r 为球心到质点 间的距离。 ④两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，公式也近似的适用，其 中 r 为两物体质心间的距离
6、推导:GmM R GM R T24丌 四、万有引力定律的两个重要推论 、在匀质球层的空腔内任意位置处,质点受到地壳万有引力的合力为零 2、在匀质球体内部距离球心r处,质点受到的万有引力就等于半径为r的球体的引力。 五、黄金代换 若已知星球表面的重力加速度g和星球半径R,忽略自转的影响,则星球对物体的万有 引力等于物体的重力,有G Rm所以M=8R Mm 其中GM=gR2是在有关计算中常用到的一个替换关系,被称为黄金替换 导出:对于同一中心天体附近空间内有GM=gR2=g2R2,即:当 82 环绕星体做圆周运动的向心加速度就是该点的重力加速度。 六;双星系统 两颗质量可以相比的恒星相互绕着旋转的现象,叫双星。 设双星的两子星的质量分别为M1和M2,相距L,M1和M2的线速度分别为v和v2,角 速度分别为ω1和ω2,由万有引力定律和牛顿第二定律得: M.M =M.1o F M, M2=M2 M、r 相同的有:周期,角速度,向心力,因为F=F2,所以m02r1=m2D22 轨道半径之比与双星质量之比相 r m2 72mn1 线速度之比与质量比相反:互= 2页
第 2 页 6、推导： 2 2 2 mM 4 G m R R T = 3 2 2 4 R GM T = 四、万有引力定律的两个重要推论 1、在匀质球层的空腔内任意位置处，质点受到地壳万有引力的合力为零。 2、在匀质球体内部距离球心 r 处，质点受到的万有引力就等于半径为 r 的球体的引力。 五、黄金代换 若已知星球表面的重力加速度 g 和星球半径 R，忽略自转的影响，则星球对物体的万有 引力等于物体的重力，有 2 Mm G mg R = 所以 2 gR M G = 其中 2 GM gR = 是在有关计算中常用到的一个替换关系，被称为黄金替换。 导出：对于同一中心天体附近空间内有 2 2 GM g R g R = = 1 1 2 2 ，即： 2 1 2 2 2 1 g R g R = 环绕星体做圆周运动的向心加速度就是该点的重力加速度。 六；双星系统 两颗质量可以相比的恒星相互绕着旋转的现象，叫双星。 设双星的两子星的质量分别为 M1 和 M2，相距 L，M1 和 M2 的线速度分别为 v1 和 v2，角 速度分别为 ω1 和 ω2，由万有引力定律和牛顿第二定律得： M1： 2 1 2 1 2 2 1 1 1 1 1 M M v G M M r L r = = M2： 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 M M v G M M r L r = = 相同的有：周期，角速度，向心力 ，因为 F F 1 2 = ，所以 2 2 m r m r 1 1 2 2 = 轨道半径之比与双星质量之比相反： 1 2 2 1 r m r m = 线速度之比与质量比相反： 1 2 2 1 v m v m =
七、字宙航行: 1、卫星分类:侦察卫星、通讯卫星、导航卫星、气象卫星… 3、卫星轨道:可以是圆轨道,也可以是椭圆轨道。地球对卫星的万有引力提供向心力,所 以圆轨道圆心或椭圆轨道焦点是地心。分为赤道轨道、极地轨道、一般轨道。 1、三个宇宙速度: 第一宇宙速度(发射速度):7.9km/s。最小的发射速度,最大的环绕速度 第二宇宙速度(脱离速度):112km/s。物体挣脱地球引力束缚,成为绕太阳运行的小行星 或飞到其他行星上去的最小发射速度 第三宇宙速度(逃逸速度):16.7km/s。物体挣脱太阳引力束缚、飞到太阳系以外的宇宙空 间去的最小发射速度。 79km/s<v<112km/s时,卫星绕地球旋转,其轨道是椭圆,地球位于一个焦点上。 11.2km/s<<16.7km/s时,卫星脱离地球束缚,成为太阳系的一颗小行星。 2、(1)人造卫星的线速度、角速度、周期表达式:将不同轨道上的卫星绕地球运动都看成是 匀速圆周运动,则有 Mm myF可得:=,G 4 m-=m0 I T=2 GM 同一中心天体的环绕星体(靠万有引力提供向心力的环绕星体,必须是“飘”起来的,赤道上 的物体跟同步卫星比较不可以用此结论)_R个T个aWu业 (2)超重与失重:人造卫星在发射升空时,有一段加速运动:在返回地面时,有一段减速运 动。两个过程加速度方向均向上,因为都是超重状态。人造卫星在沿圆轨道运行时,万有 力提供向心力,所以处于完全失重状态。 典型卫星 1、近地卫星:通常把高度在500千米以下的航天器轨道称为低轨道,500千米~2019千米 高的轨道称为中轨道。中、低轨道合称为近地轨道。 在高中物理中,近地卫星环绕半径R=R地=6400Km v=√gR=7.9/所有卫星中最大速度) 2、同步卫星:相对地面静止且与地球自转具有相同周期的卫星叫地球同步卫星,又叫通讯 卫星 第3页
第 3 页 七、宇宙航行： 1、卫星分类：侦察卫星、通讯卫星、导航卫星、气象卫星…… 3、卫星轨道：可以是圆轨道，也可以是椭圆轨道。地球对卫星的万有引力提供向心力，所 以圆轨道圆心或椭圆轨道焦点是地心。分为赤道轨道、极地轨道、一般轨道。 二、1、三个宇宙速度： 第一宇宙速度（发射速度）：7.9km/s。最小的发射速度，最大的环绕速度。 第二宇宙速度（脱离速度）：11.2km/s。物体挣脱地球引力束缚，成为绕太阳运行的小行星 或飞到其他行星上去的最小发射速度。 第三宇宙速度（逃逸速度）：16.7km/s。物体挣脱太阳引力束缚、飞到太阳系以外的宇宙空 间去的最小发射速度。 7.9km/s＜v＜11.2km/s 时，卫星绕地球旋转，其轨道是椭圆，地球位于一个焦点上。 11.2km/s＜v＜16.7 km/s 时，卫星脱离地球束缚，成为太阳系的一颗小行星。 2、(1)人造卫星的线速度、角速度、周期表达式：将不同轨道上的卫星绕地球运动都看成是 匀速圆周运动，则有 2 2 2 2 2 Mm v 4 G m m r m r r r T = = = 可得： GM v r = 3 GM r = 3 2 r T GM = 同一中心天体的环绕星体（靠万有引力提供向心力的环绕星体，必须是“飘”起来的，赤道上 的物体跟同步卫星比较不可以用此结论） R↑T↑a↓v↓ω↓ (2)超重与失重：人造卫星在发射升空时，有一段加速运动；在返回地面时，有一段减速运 动。两个过程加速度方向均向上，因为都是超重状态。人造卫星在沿圆轨道运行时，万有引 力提供向心力，所以处于完全失重状态。 三、典型卫星： 1、近地卫星：通常把高度在 500 千米以下的航天器轨道称为低轨道，500 千米~2019 千米 高的轨道称为中轨道。中、低轨道合称为近地轨道。 在高中物理中，近地卫星环绕半径 R≈R 地 =6400Km ， v gR km s = = 7.9 / ( ) 所有卫星中最大速度 2、同步卫星：相对地面静止且与地球自转具有相同周期的卫星叫地球同步卫星，又叫通讯 卫星
特点: (1)运行方向与地球自转方向一致(自西向东) (2)周期与地球自转周期相同,T=24小时 (3)角速度等于地球自转角速度。 (4)所有卫星都在赤道正上方,轨道平面与赤道平面共面。 (5)高度固定不变,离地面高度h=36000km。 (6)三颗同步卫星作为通讯卫星,则可覆盖全球(两级有部分盲区) (7)地球所有同步卫星,T、ω、V、h、均相同,m可以不同。 3、扩展: (1)变轨问题:从内往外为第I、Ⅲ、Ⅲ轨道,左边切点为A点,右边切点为B点。 A:Vn>(内轨道加速到达外轨道)an=a1(同一位置,a 相同) B:vm>Vn(内轨道加速达到外轨(加速月亮 道)=am(同一位置,a相同) B(vn>V)a4>aB(离 地球越近,g越大) I,Ⅲ:v>m(=M)a1>am(离地球越近,g越 大) (2)赤道上物体与头顶同步卫星比较:a=OF (3)对接问题:后面卫星,先减速,做向心运动,降低一定高度后,再加速,离心,同时 速度减慢,与前面卫星对接 《万有引力与航天》单元检测题 选择题(每小题中至少有一个答案是符合题意的) 第4页
第 4 页 特点： （1） 运行方向与地球自转方向一致（自西向东）。 （2） 周期与地球自转周期相同，T=24 小时。 （3） 角速度等于地球自转角速度。 （4） 所有卫星都在赤道正上方，轨道平面与赤道平面共面。 （5） 高度固定不变，离地面高度 h=36000km。 （6） 三颗同步卫星作为通讯卫星，则可覆盖全球（两级有部分盲区） （7） 地球所有同步卫星，T、ω、v、h、均相同，m 可以不同。 3、扩展： （1）变轨问题：从内往外为第Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道，左边切点为 A 点，右边切点为 B 点。 A v v : Ⅱ Ⅰ （内轨道加速到达外轨道） a a Ⅱ = Ⅰ （同一位置，a 相同） B v v : Ⅲ Ⅱ （内轨道加速达到外轨 道） a a Ⅲ = Ⅱ （同一位置，a 相同） : A B Ⅱ v v （ v v 近 远 ） A B a a （离 地球越近，g 越大） Ⅰ,Ⅲ:vⅠ vⅢ （ GM v r = ） a a Ⅰ Ⅲ （离地球越近，g 越 大） （2）赤道上物体与头顶同步卫星比较： 2 a r = （3）对接问题：后面卫星，先减速，做向心运动，降低一定高度后，再加速，离心，同时 速度减慢，与前面卫星对接。 《万有引力与航天》单元检测题 一、选择题（每小题中至少有一个答案是符合题意的）
1.下列说法正确的是() A.行星绕太阳的椭圆轨道可近似地看作圆轨道,其向心力来源于太阳对行星的引力 B.太阳对行星引力大于行星对太阳引力,所以行星绕太阳运转而不是太阳绕行星运转 C.万有引力定律适用于天体,不适用于地面上的物体 D.太阳与行星间的引力、行星与卫星间的引力、地面上物体所受重力,这些力的性质和 规律都相同 2.关于万有引力的说法正确的是() 万有引力只有在天体与天体之间才能明显地表现出来 B.一个苹果由于其质量很小,所以它受到的万有引力几乎可以忽略 C.地球对人造卫星的万有引力远大于卫星对地球的万有引力 D.地球表面的大气层是因为万有引力约束而存在于地球表面附近 3.一星球密度和地球密度相同,它的表面重力加速度是地球表面重力加速度的2倍,则该 星球质量是地球质量的(忽略地球、星球的自转)() 倍 B.4倍 C.8倍 D.16倍 4.若已知某行星绕太阳公转的半径为r,公转周期为T,万有引力常量为G,则由此可求出 A.某行星的质量B.太阳的质量C.某行星的密度D.太阳的密度 5.宇宙飞船进入一个围绕太阳运动的近乎圆形的轨道上运动,如果轨道半径是地球轨道半 径的9倍,那么宇宙飞船绕太阳运行的周期是( A.3 年 9年 C.27年 D.81年 6.近地卫星线速度为79km/s,已知月球质量是地球质量的1/81,地球半径是月球半径的 38倍,则在月球上发射“近月卫星”的环绕速度约为() A. 1.0 km/s B. 1.7 km/s C. 2.0 km/s D. 1.5 km/s 7.由于空气微弱阻力的作用,人造卫星缓慢地靠近地球,则( A.卫星运动速率减小 B.卫星运动速率增大 C.卫星运行周期变小 D.卫星的向心加速度变大 5页
第 5 页 1．下列说法正确的是（ ） A．行星绕太阳的椭圆轨道可近似地看作圆轨道，其向心力来源于太阳对行星的引力 B．太阳对行星引力大于行星对太阳引力，所以行星绕太阳运转而不是太阳绕行星运转 C．万有引力定律适用于天体，不适用于地面上的物体 D．太阳与行星间的引力、行星与卫星间的引力、地面上物体所受重力，这些力的性质和 规律都相同 2．关于万有引力的说法正确的是（ ） A．万有引力只有在天体与天体之间才能明显地表现出来 B．一个苹果由于其质量很小，所以它受到的万有引力几乎可以忽略 C．地球对人造卫星的万有引力远大于卫星对地球的万有引力 D．地球表面的大气层是因为万有引力约束而存在于地球表面附近 3．一星球密度和地球密度相同，它的表面重力加速度是地球表面重力加速度的 2 倍，则该 星球质量是地球质量的（忽略地球、星球的自转）（ ） A．2 倍 B．4 倍 C．8 倍 D．16 倍 4．若已知某行星绕太阳公转的半径为 r，公转周期为 T，万有引力常量为 G，则由此可求出 （ ） A． 某行星的质量 B．太阳的质量 C． 某行星的密度 D．太阳的密度 5．宇宙飞船进入一个围绕太阳运动的近乎圆形的轨道上运动，如果轨道半径是地球轨道半 径的 9 倍，那么宇宙飞船绕太阳运行的周期是（ ） A．3 年 B．9 年 C．27 年 D．81 年 6．近地卫星线速度为 7.9km/s，已知月球质量是地球质量的 1/81，地球半径是月球半径的 3.8 倍，则在月球上发射“近月卫星”的环绕速度约为（ ） A．1.0 km/s B．1.7 km/s C．2.0 km/s D．1.5 km/s 7．由于空气微弱阻力的作用，人造卫星缓慢地靠近地球，则（ ） A．卫星运动速率减小 B．卫星运动速率增大 C．卫星运行周期变小 D．卫星的向心加速度变大
8.同步卫星离地球球心的距离为r,运行速率为v1,加速度大小为a1,地球赤道上的物体 随地球自转的向心加速度大小为a2,第一宇宙速度为v2,地球半径为R。则() a1:a2-r: C.Ⅵ:v2=R2:r2 、填空题 9.某物体在地球表面上受到地球对它的引力大小为960N,为使此物体受到的引力减至60N, 物体距地面的高度应为R。(R为地球的半径) 10.一物体在一星球表面时受到的吸引力为在地球表面所受吸引力的n倍,该星球半径是地 球半径的Ⅲ倍。若该星球和地球的质量分布都是均匀的,则该星球的密度是地球密度的 11.两颗人造地球卫星,它们的质量之比m1:m2=1:2,它们的轨道半径之比 R1:R2=1:3,那么它们所受的向心力之比F1:F2= 它们的角速度之比 12.若已知某行星的平均密度为p,引力常量为G,那么在该行星表面附近运动的人造卫星 的角速度大小为 三、解谷题 13.对某行星的一颗卫星进行观测,已知运行的轨迹是半径为r的圆周,周期为T,求 (1)该行星的质量 (2)测得行星的半径为卫星轨道半径的1/10,则此行星表面重力加速度为多大? 14.在地球某处海平面上测得物体自由下落高度h所需的时间为t,到某高山顶测得物体自 由落体下落相同高度所需时间增加了M,已知地球半径为R,求山的高度。 15.2019年10月12日,“神舟”六号飞船成功发射,13日16时33分左右,费俊龙在船 舱里做“翻筋斗”的游戏。有报道说,“传说孙悟空一个筋斗十万八千里,而费俊龙在3mi 里翻了4个筋斗,一个筋斗351km”据此报道求出“神舟”六号在太空预定轨道上运行时, 距地面的高度与地球半径之比。(已知地球半径为6400km,g取10m/s2,结果保留两位有效 第6页
第 6 页 8．同步卫星离地球球心的距离为 r，运行速率为 v1，加速度大小为 a1，地球赤道上的物体 随地球自转的向心加速度大小为 a2，第一宇宙速度为 v2，地球半径为 R。则（ ）[来源: Z X XK] A．a1：a2=r：R B．a1：a2=R 2：r 2 C．v1：v2=R 2：r 2 D． v : v R : r 1 2 = 二、填空题 9．某物体在地球表面上受到地球对它的引力大小为 960N，为使此物体受到的引力减至 60N， 物体距地面的高度应为_____R。（R 为地球的半径） 10．一物体在一星球表面时受到的吸引力为在地球表面所受吸引力的 n 倍，该星球半径是地 球半径的 m 倍。若该星球和地球的质量分布都是均匀的，则该星球的密度是地球密度的 _________倍。 11．两颗人造地球卫星，它们的质量之比 m1 : m2 = 1: 2 ， 它们的轨道半径 之 比 R1 : R2 = 1 : 3 ，那么它们所受的向心力之比 F1 : F2 = __________；它们的角速度之比 1 :2 = ____________。 12．若已知某行星的平均密度为 ，引力常量为 G，那么在该行星表面附近运动的人造卫星 的角速度大小为____________。 三、解答题 13．对某行星的一颗卫星进行观测，已知运行的轨迹是半径为 r 的圆周，周期为 T，求： （1）该行星的质量； （2）测得行星的半径为卫星轨道半径的 1/10，则此行星表面重力加速度为多大？[来源:学#科#网 Z#X #X #K ] 14．在地球某处海平面上测得物体自由下落高度 h 所需的时间为 t，到某高山顶测得物体自 由落体下落相同高度所需时间增加了 t ，已知地球半径为 R，求山的高度。 15． 2019 年 10 月 12 日，“神舟”六号飞船成功发射，13 日16 时 33 分左右，费俊龙在船 舱里做“翻筋斗”的游戏。有报道说，“传说孙悟空一个筋斗十万八千里，而费俊龙在 3min 里翻了 4 个筋斗，一个筋斗 351km”据此报道求出“神舟”六号在太空预定轨道上运行时， 距地面的高度与地球半径之比。（已知地球半径为 6400km，g 取 10m/s2，结果保留两位有效
数字) 16.两颗卫星在同一轨道平面沿同方向绕地球做匀速圆周运动,地球半径为R,a卫星离地 面的高度等于R,b卫星离地面的高度为3R,则 (1)a、b两卫星的周期之比Ta:T是多少? (2)若某时刻两卫星正好同时通过地面同一点的正上方,则a至少经过多少个周期两 卫星相距最远? 《万有引力与航天》单元检测题参考答案 、不定项选择题 题号 2 3 5 6 7 8 答案ADDc8c|B BCD 二、填空题 解谷题 13.解:(1)由万有引力提供向心力,有m_4z2 r解得,M=4x2r (2)对放在该行星表面的质量为m物体,有mg=GMm'因R 故 400丌 8 7页
第 7 页 数字） 16．两颗卫星在同一轨道平面沿同方向绕地球做匀速圆周运动，地球半径为 R，a 卫星离地 面的高度等于 R，b 卫星离地面的高度为 3R，则： （1）a、b 两卫星的周期之比 Ta：Tb是多少？ （2）若某时刻两卫星正好同时通过地面同一点的正上方，则 a 至少经过多少个周期两 卫星相距最远？ 《万有引力与航天》单元检测题参考答案 一、不定项选择题[来源:ZX X K] 题号 1 2 3 4[来源:学 *科* 网] 5 6 7 8[来源:] 答案 AD D C B C B BCD AD 二、填空题 9． 3 10． m n 11．9 : 2， 27 :1 12． 3 4G 三、解答题 13．解：（1）由万有引力提供向心力，有 r T m r GMm 2 2 2 4 = 解得， 2 2 3 4 GT r M = （2）对放在该行星表面的质量为 m 物体，有 2 R GMm m g = ，因 R r 10 1 = ，故 2 2 400 T r g =
14.解:在海平面,由自由落体运动规律,有h=gt2,mg GM,在某 高山顶 由自由落体运动规律,有F=m(g+2)=6×10N,h=8(t+△)2, GMm 由以上各式可以得出,伍=RAt T s4×351×103 =78×103m/s 3×60 -= m (R+h) R+h GM GM 得h -R,又 R2=8,h= R.h=g-1=003 16.(1) (2)两卫星相距最远时有 第8页
第 8 页 14． 解：在海平面，由自由落体运动规律，有 2 2 1 h = gt ， 2 R GMm mg = ，在某高山顶， 由自由落体运动规律，有 6 2 2 ( ) 6 10 N s F m g t = + = ， 2 2 1 h = g(t + t) ， 2 (R h) GMm mg + = ， 由以上各式可以得出， T R t h = 15． m s t s v 7.8 10 / 3 60 4 351 10 3 3 = = = ， 由 R h v m R h Mm G + = + 2 2 ( ) 得 R v GM h = − 2 ,又 g R GM = 2 , R v R g h = − 2 2 , 1 0.03 2 = − = v Rg R h 。 16．（1） （2）两卫星相距最远时有：