万有引力定律的两个重要推论与挖补法的应用技巧 万有引力定律的两个重要推论 推论一:在匀质球层的空腔内任意位置处,质点受到地壳万有引力的合力为零,即∑F= 0 证明:如图1所示,一个匀质球层可以等效为许多厚度可以不计的匀质球壳组成。任取 个球壳,设球壳内有一质量为m的质点,某时刻该质点在P(任意位置)处,以质点(m)所在 位置P为顶点,作两个底面积足够小的对顶圆锥。这时,两圆锥底面不仅可以视为平面,还 可以视为质点 △m12=丌R1p △F1W1 △F2/ m2=丌R2P 图1 设空腔内质点m到两圆锥底面中心的距离分别为n、n,两圆锥底面的半径为R、尼,底 面密度为p。根据万有引力定律,两圆锥底面对质点的引力可以表示为 4F=G 4F2=G 根据相似三角形对应边成比例,有名 则两个万有引力之比为 AF R/ AF R/n 因为两引力方向相反,所以引力的合力AF+△F=0.依此类推,球壳上其他任意两对应 部分对质点的合引力为零,整个球壳对质点的合引力为零,故由球壳组成的球层对质点的合 引力也为零,即∑F=0 推论二:在匀质球体内部距离球心r处,质点受到的万有引力就等于半径为r的球体的 引力,即F=0n 证明:如图2所示,设匀质球体的质量为M,半径为R其内部半径为r的匀质球体的质
一、万有引力定律的两个重要推论 推论一：在匀质球层的空腔内任意位置处，质点受到地壳万有引力的合力为零，即∑F＝ 0。 证明：如图 1 所示，一个匀质球层可以等效为许多厚度可以不计的匀质球壳组成。任取 一个球壳，设球壳内有一质量为 m 的质点，某时刻该质点在 P(任意位置)处，以质点(m)所在 位置 P 为顶点，作两个底面积足够小的对顶圆锥。这时，两圆锥底面不仅可以视为平面，还 可以视为质点。 设空腔内质点 m 到两圆锥底面中心的距离分别为 r1、r2，两圆锥底面的半径为 R1、R2，底 面密度为 ρ。根据万有引力定律，两圆锥底面对质点的引力可以表示为 ΔF1＝G Δm1m r 2 1 ＝G πR 2 1ρm r 2 1 ， ΔF2＝G Δm2m r 2 2 ＝G πR 2 2ρm r 2 2 . 根据相似三角形对应边成比例，有R1 r1 ＝ R2 r2 ， 则两个万有引力之比为ΔF1 ΔF2 ＝ R1/r1 2 R2/r2 2＝1. 因为两引力方向相反，所以引力的合力 ΔF1＋ΔF2＝0.依此类推，球壳上其他任意两对应 部分对质点的合引力为零，整个球壳对质点的合引力为零，故由球壳组成的球层对质点的合 引力也为零，即∑F＝0。 推论二：在匀质球体内部距离球心 r 处，质点受到的万有引力就等于半径为 r 的球体的 引力，即 F′＝G M′m r 2 。 证明：如图 2 所示，设匀质球体的质量为 M，半径为 R；其内部半径为 r 的匀质球体的质
量为M,与球心相距r处的质点m受到的万有引力可以视为厚度为Rr的匀质球层和半径 为r的匀质球体的引力的合力。根据匀质球层对质点的引力为零,所以质点受到的万有引力 就等于半径为r的匀质球体的引力,则F 若已知匀质球体的总质量为Mm∥ 故F 当r=0时,有M=0,F=0 注意:这时不能根据万有引力公式得出下面典型的错误结论,即当r=0时,得F= 所以F无穷大。 因为当r≈0时,M与m已不再是质点,万有引力公式已经不适用了。当r=R时,有F 【典例1】假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体.一矿井深度为d已知质量分布 均匀的球壳对壳内物体的引力为零.矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为() RB.1+ 【解析】物体在地面上时的重力加速度可由s=。得出。根据题中条件,球壳对其内部物体的引力 为零,可认为矿井部分为一质量均匀球壳,故矿井底部处重力加速度可由g P,所以g=1-故选A 【答案】A 【名师点睛】 本题较难,有同学利用公式g=m时,不知M和R应取何值而无所适从;也有同学想到 对称法、割补法,进行繁琐的运算而导致错误.显然其原因是没有抓住“质量分布均匀的球 壳对壳内物体的引力为零”这一关键条件
量为 M′，与球心相距 r 处的质点 m 受到的万有引力可以视为厚度为 R－r 的匀质球层和半径 为 r 的匀质球体的引力的合力。根据匀质球层对质点的引力为零，所以质点受到的万有引力 就等于半径为 r 的匀质球体的引力，则 F′＝G M′m r 2 。 若已知匀质球体的总质量为 M，则M′ M ＝ r 3 R 3，M′＝ M R 3r 3， 故 F′＝G M′m r 2 ＝G Mm R 3 r. 当 r＝0 时，有 M′＝0，F′＝0。 注意：这时不能根据万有引力公式得出下面典型的错误结论，即当r＝0时，得F′＝G M′m r 2 ， 所以 F′无穷大。 因为当 r≈0 时，M′与 m 已不再是质点，万有引力公式已经不适用了。当 r＝R 时，有 F′ ＝G M′m R 2 。 【典例 1】假设地球是一半径为 R、质量分布均匀的球体．一矿井深度为 d.已知质量分布 均匀的球壳对壳内物体的引力为零．矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为( ) A．1－ d R B．1＋ d R C. R－d R 2 D. R R－d 2 【答案】 A 【名师点睛】 本题较难，有同学利用公式 g＝ GM R 2 时，不知 M 和 R 应取何值而无所适从；也有同学想到 对称法、割补法，进行繁琐的运算而导致错误．显然其原因是没有抓住“质量分布均匀的球 壳对壳内物体的引力为零”这一关键条件
二、挖补法的应用技巧 由于大球体被挖去一小球体后,不能看作质点,不能直接应用万有引力定律,因此设想 将挖出的小球体放回大球体中,使之成为完整的均匀球体,则可应用万有引力定律算出完整 球体与质点m之间的万有引力,再求出挖出的球体对质点m的万有引力,将两个引力求差即 可 【典例2】如图所示,一个质量均匀分布半径为R的球体对球外质点P的万有引力为F, 如果在球体中央挖去半径为r的球体,且r2 则原球体剩余部分对质点P的万有引力变为 多少 【解析】设原球体质量为副,质点P的质量为画,球心与质点P之间的距离为,则它们之间的万有引 力F= 被挖去的球的质量:=,距=3 丌 矿 被挖去的球原来与质点P的万有引力R==8 所以,原球体剩余部分对质点P的万有引力变为=FF= 【答案】 【典例2】有一质量为M半径为R、密度均匀的球体,在距离球心0为2R的地方有一质 量为m的质点,现在从M中挖去一半径为的球体,如图所示。求剩下部分对m的万有引力 F为多大?
二、挖补法的应用技巧 由于大球体被挖去一小球体后，不能看作质点，不能直接应用万有引力定律，因此设想 将挖出的小球体放回大球体中，使之成为完整的均匀球体，则可应用万有引力定律算出完整 球体与质点 m 之间的万有引力，再求出挖出的球体对质点 m 的万有引力，将两个引力求差即 可。 【典例 2】如图所示，一个质量均匀分布半径为 R 的球体对球外质点 P 的万有引力为 F， 如果在球体中央挖去半径为 r 的球体，且 r＝ R 2 ，则原球体剩余部分对质点 P 的万有引力变为 多少？ 【答案】 7 8 F 【典例 2】有一质量为 M、半径为 R、密度均匀的球体，在距离球心 O 为 2R 的地方有一质 量为 m 的质点，现在从 M 中挖去一半径为 R 2 的球体，如图所示。求剩下部分对 m 的万有引力 F 为多大？
【解析】设被挖小球的质量为M,其球心到质点间的距离为r′ 由题意,知M= 由万有引力定律得,完整球对m的引力 Mm 2R M 被挖球对m的引力F =G 3n218F 所以剩下部分对m的万有引力为 7 GMm F=F-F 36F 【答案】 gMM 36R2 【名师点睛】 被挖出一部分的球与小球的万有引力不能直接用公式F=-2计算,可设想先将挖出的 半径为。的小球放回球内,将球重新填满,再利用叠加原理计算
【解析】设被挖小球的质量为 M′，其球心到质点间的距离为 r′。 由题意，知 M′＝ M 8 ，r′＝ 3 2 R 由万有引力定律得，完整球对 m 的引力 F1＝G Mm 2R 2＝ GMm 4R 2 被挖球对 m 的引力 F2＝G M′m r′2 ＝G M 8 m 3 2 R 2 ＝ GMm 18R 2 所以剩下部分对 m 的万有引力为 F＝F1－F2＝ 7GMm 36R 2 。 【答案】 7GMm 36R 2 【名师点睛】 被挖出一部分的球与小球的万有引力不能直接用公式 F＝G m1m2 r 2 计算，可设想先将挖出的 半径为 R 2 的小球放回球内，将球重新填满，再利用叠加原理计算。 精品文档 强烈推荐