多元函数徽分学 案例1[大气污染指数的影响因素]一个就市的大气污染指数P取读于两个因素，空气 中固体废物的数量x和空气中有害气体的数量，在某种情况下P=了+2)+4.试 P a卻 P 0ya的意义，并计算。 a六：当x增长10%减y增长1O时，用 偏导数估算P的改变量 卻 解： 卧的意文：如果空气中有害气体的数量，为一常数，空气中四体废物的数量 x是 OP 变化的，那么当x:有一个单位的改变时，大气污染指数P大约改变成个单位。同 OP 样地，可以说明 a脚的意又 =2x+2y+4y Op -=2x+8y 立 P =20+10+100=130 6k10,0 P =20+400=420 ykao.s) 设空气中有害气体的量y=5,且固定不变，当空气中四体废物的量x=10时，P对x的变 化率等于130，当x增长10俏。即x从10到11，P将增长大约130个单位 同样地，设空气中固体废物的量x10且固定不变，当空气中有害气体的量y5时，P 对y的变化率等于420.，当y增长10%，即y从5到55，增长0.5个单位时，P大钓增长 210个单位.因此，大气污染指数对有害气体增长10%此对国体废物增长10%更为傲感 案例2蚂蚁如何递胞] 一块长方形的金属板，周个顶点的坐标分别是(1,1)，（⑤），《1,3)和5,3).在坐标原 点处有一个火焰，它使金属板受热。假定板上任意一点处的湿度与该点到原点的距离成反比 在(3,2)处有一只蚂蚁。问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点了
多元函数微分学 案例 1 [大气污染指数的影响因素]一个城市的大气污染指数 P 取决于两个因素，空气 中固体废物的数量 x 和空气中有害气体的数量 y，在某种情况下 2 2 P = x + 2xy + 4xy , 试 说明 x (a,b) P ， (a,b) y P 的意义，并计算 x (10,5) P ， x (10,5) P ; 当 x 增长 10%或 y 增长 10%时，用 偏导数估算 P 的改变量. 解: x (a,b) P 的意义：如果空气中有害气体的数量 y 为一常数 b，空气中固体废物的数量 x 是 变化的，那么当 x=a 有一个单位的改变时，大气污染指数 P 大约改变 x (a,b) P 个单位. 同 样地，可以说明 (a,b) y P 的意义. 2 2x 2y 4y x P = + + , x xy y P = 2 +8 2 0 1 0 100 130 x P (10,5) = + + = , 20 400 420 y P ( 1 0 , 5 ) = + = 设空气中有害气体的量 y=5，且固定不变，当空气中固体废物的量 x=10 时，P 对 x 的变 化率等于 130. 当 x 增长 10%，即 x 从 10 到 11，P 将增长大约 130 个单位. 同样地，设空气中固体废物的量 x=10 且固定不变，当空气中有害气体的量 y=5 时，P 对 y 的变化率等于 420.,当 y 增长 10%，即 y 从 5 到 5.5，增长 0.5 个单位时，P 大约增长 210 个单位. 因此，大气污染指数对有害气体增长 10%比对固体废物增长 10%更为敏感 案例 2[蚂蚁如何逃跑] 一块长方形的金属板，四个顶点的坐标分别是(1,1), (5,1), (1,3)和(5,3). 在坐标原 点处有一个火焰，它使金属板受热. 假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比. 在(3,2)处有一只蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？
解：板上任一点(x,y)处的智度 TF+可 k是一个比例常数，温度变化最烈的方向是梯度所指方向，计算 gradT=-. 红 ky +yy+yp gaT3.2)-3海-2 13项 13F 3.2 =i+ 它的单位矢量 厉+方，所指的方向是由热变冷变最壁的方向（其反方向 则是由冷变热)。蚂蚁虽然不懂梯度，但凭它的感觉耀胞的反绩信号，它将沿这个方向违胞 案例3[如何购物最满意】 日常生活中，人们常常碰到如何分配定量的钱来购买两种物品的月题.由于钱数固定， 则如果购买其中一种物品较多，都么劳必要少买（其至不再能买另一种物品，这样就不可能 很令人满意，如何花费给定量的战。才能达到最满意的效果呢？经济学家试图借助“效用函 数”米解决这一问愿。 所谓效用函数，就是描述人门同时购买两种产品各x单位、y单位时满意程度的量，常 见的形式有 U(x.y)=x+y,U(x+y)=hnx+hy 面当效用橘数达到最大值时，人们购物分配的方案最佳 例：小孙有200元钱，他决定用米购买二种急需物品：计算机磁盘和录音酷带，且设他 购买x张延盘，y盒漆音磁带的效用函数为0(K+月=血x+血y设每张磁盘8元。每盒磁 带10元，间他如何分配他的200元钱，才能达到最满意的效果？ 解：这是一个条件极值问题，即求在约束8x+10y200之下的极值点，应用拉格朗日乘 数法，定义拉格朗日函数： x,片，)=hx+hy+(8x+10y-200) L化5，=+8就=0 L,(x.2)=二+10A=0 L(x,A)=8x+10y-200=0
解：板上任一点(x,y) 处的温度 2 2 ( , ) x y k T x y + = k 是一个比例常数. 温度变化最骤烈的方向是梯度所指方向. 计算 j x y k y i x y k x gradT 2 2 3/ 2 2 2 3/ 2 ( ) ( + ) − + = − j k i k x gradT 3/ 2 3/ 2 13 2 13 3 (3,2) = − − 它的单位矢量 i j 13 2 13 3 + ， 所指的方向是由热变冷变化最骤烈的方向（其反方向 则是由冷变热）. 蚂蚁虽然不懂梯度，但凭它的感觉细胞的反馈信号，它将沿这个方向逃跑. 案例 3[如何购物最满意] 日常生活中，人们常常碰到如何分配定量的钱来购买两种物品的问题．由于钱数固定， 则如果购买其中一种物品较多，那么势必要少买(甚至不再能买)另一种物品，这样就不可能 很令人满意．如何花费给定量的钱，才能达到最满意的效果呢？经济学家试图借助“效用函 数”来解决这一问题． 所谓效用函数，就是描述人们同时购买两种产品各ｘ单位、ｙ单位时满意程度的量．常 见的形式有 U(x, y) = x + y,U(x + y) = ln x + ln y 而当效用函数达到最大值时，人们购物分配的方案最佳 例：小孙有 200 元钱，他决定用来购买二种急需物品：计算机磁盘和录音磁带．且设他 购买ｘ张磁盘，ｙ盒录音磁带的效用函数为 U(x + y) = ln x + ln y 设每张磁盘 8 元，每盒磁 带 10 元，问他如何分配他的 200 元钱，才能达到最满意的效果？ 解：这是一个条件极值问题，即求在约束 8x+10y=200 之下的极值点，应用拉格朗日乘 数法，定义拉格朗日函数： L(x, y,) = ln x + ln y + (8x +10y − 200) = + − = = + = = + = ( , , ) 8 10 200 0 10 0 1 ( , , ) 8 0 1 ( , , ) L x y x y y L x y x L x y y x
解得-125%-10，（伍）为最大植点.服暴(x,y)的实际含义，取-12.5，-10 即如果买方12素磁盘和10盒磁带的话，小孙最满意 案例4[沿什么方向电压变化最快] 授某金属板上电压的分布为 '=50-x2-4y2 (a》在点(1，-2)处。沿哪个方向电压升高得最快？ 6》沿爆个方向下降得最快： (@)上升或下降的速半各是多少？ ()沿什么方向电压变化得最慢？ 解：在关于函爱的梯度的讨论中，我们知道，函数沿其，度的方向上升最快，沿与梯度 相反的方向下降最快。沿与梯度垂直的方白变化最侵.由此，我们先求V的梯度 gW=P,/+甲，/=-2x1+8月 在点(1.-2》处，8dW=-2i+16 所以，在点(1，-2)处，有 a)沿着一2】+16)的方向电压升高斜最快 )沿着2☑-16)方向电压下降得最换 @)上升成下降的速率都是22+16=V260 1 16d+20 )因为单位向量V26 垂直子graW,所以沿此方白，或沿此相反方向的方向电压变化得最慢 思考题：条件如题。求出一条路轻，使质点从(1,2)出发沿着这条路径运动时，电压变 化得最快， 解：显然，所求路径方向必颈与梯度方向一致。若设质点运动的路轻是 f(t)=x(t+x(r)j 则它的方向是 T0=x(+万
解得 x0 =12.5, y0 =10， ( , ) 0 0 x y 为最大值点．根据（x,y）的实际含义，取 x=12.5,y=10 即如果买方 12 张磁盘和 10 盒磁带的话，小孙最满意． 案例 4[沿什么方向电压变化最快] 设某金属板上电压的分布为 2 2 V = 50 − x − 4y (a)在点(1,-2)处，沿哪个方向电压升高得最快？ (b)沿哪个方向下降得最快？ (c)上升或下降的速率各是多少？ (d)沿什么方向电压变化得最慢？ 解：在关于函数的梯度的讨论中，我们知道，函数沿其梯度的方向上升最快，沿与梯度 相反的方向下降最快，沿与梯度垂直的方向变化最慢. 由此，我们先求 V 的梯度 gradV v i v j xi yj = x + y = −2 + 8 在点(1,-2)处， gradV = −2i +16 j 所以，在点(1,-2)处，有 (a)沿着 − 2i +16 j 的方向电压升高得最快. (b)沿着 2i −16 j 方向电压下降得最快. (c)上升或下降的速率都是 2 16 260 2 2 + = (d)因为单位向量 (16 2 ) 260 1 i + j 垂直于 gradV，所以沿此方向，或沿此相反方向的方向电压变化得最慢. 思考题：条件如题，求出一条路径，使质点从(1,-2)出发沿着这条路径运动时，电压变 化得最快. 解：显然，所求路径方向必须与梯度方向一致. 若设质点运动的路径是 f (t) = x(t)i + y(t) j 则它的方向是 f '(t) = x'(t)i + y'(t) j
为了使这个方向与gW■-21+8y的方向相同，必须有 x()=-2y()=-8) 则0=ce,0=cew 由于x0-1.y(0-2.所以0=e,0=-2e 最后由一(e心)，便得出膜点运动的路径为尸■-2x
为 了 使 这 个 方 向 与 gradV = −2xi+ 8yj 的 方 向 相 同 ， 必 须 有 x'(t) = −2x(t), y'(t) = −8y(t) 则 t t x t c e y t c e 8 1 2 1 ( ) , ( ) − − = = 由于 x(0)=1, y(0)=-2，所以 t t x t e y t e 2 8 ( ) , ( ) 2 − − = = − 最后由 8 2 4 ( ) t t e e − − = ,便得出质点运动的路径为 4 y = −2x