徽分方程 案例1[国民生产总值们1999年我国的国民生产总值(GP)为80，然亿元，如果我国能 保持每年8的相对增长率， 月到2010年我国的GDP是多少7 解：(1)建立微分方程 记1=0代表1999年，并设第t年我国的GP为P0,由题意知，从19g年起，P代) dp(r) h-=8% 的相对增长率为8既，即P) ，得微分方程 dP()=8%P(t) dr P0)=80,423. (2)求通解 分离变量得 dP(r)=8%dr P(r) 方程两边同时积分，得n代)=0.08+nC 3》求特解 将P0)=80,423代入通解，得C=80,423,所以从19g9年起第1年我国的e0p为 r0=80,.423e 将1=2010-1999=11代入上式，得2010年我国的Gp的预测值为 P1)=80,423Cm"=193891.787(亿元). 案例2[落体月题]设瑞伞运动员从践伞塔下落后，所受空气的阻力与速度成正比.运动 员离塔时(t0)的速度为零，求运动员下落过程中速度与时间的函数关系， 解：(1)建立微分方程 运动员在下落过程中，同时受到重力和空气阻力的影响.重力的大小为暖，方向与速 度￥的方向一致：阻力的大小为k￥众为比例系数)，方向与V相反，从而运动员所受的外力 为F=m网一如，其中m为运动员的质量又由牛顿第二定律有F=m阳，其中口为加速度
微分方程 案例 1[国民生产总值]1999 年我国的国民生产总值（GDP）为 80,423 亿元，如果我国能 保持每年 8%的相对增长率， 问到 2010 年我国的 GDP 是多少？ 解:(1)建立微分方程 记 t = 0 代表 1999 年，并设第 t 年我国的 GDP 为 Pt() ．由题意知，从 1999 年起， Pt() 的相对增长率为 8%，即 ( ) 8% ( ) dP t dt P t = ，得微分方程 ( ) 8% ( ) dP t P t dt = ， P(0) 80,423. = . （2）求通解 分离变量得 ( ) 8% ( ) dP t dt P t = , 方程两边同时积分，得 ln ( ) 0.08 ln P t t C = + (3)求特解 将 P(0) 80,423. = 代入通解，得 C = 80,423 ，所以从 1999 年起第 t 年我国的 GDP 为 P t( ) = 0.08t 80,423e , 将 t = − = 2010 1999 11 代 入 上 式 ， 得 2010 年 我 国 的 GDP 的 预 测 值 为 P(11) = 0.08 11 80,423e 193891.787 = (亿元)． 案例 2[落体问题]设跳伞运动员从跳伞塔下落后，所受空气的阻力与速度成正比．运动 员离塔时（t=0）的速度为零，求运动员下落过程中速度与时间的函数关系． 解:（1）建立微分方程 运动员在下落过程中，同时受到重力和空气阻力的影响．重力的大小为 mg，方向与速 度 v 的方向一致；阻力的大小为 kv(k 为比例系数)，方向与 v 相反．从而运动员所受的外力 为 F mg kv = − ，其中 m 为运动员的质量.又由牛顿第二定律有 F ma = ，其中 a 为加速度
a=t 出，于是在下落过程中速度)满足微分方程 =g一kw d 韧始条件为气。=0 (2)求通解 方程(4.23)是一个可分离变量的微分方程.分离变量后，得 dy dt mg-k御m 两端积分得 g-=G m即mg-k=Ce云 ”(其中C=e. =+Ce÷ 或素 C-g (其中) (3)求特解 =-m 把初始条件叶=0代入通解，得 k mg(-e") V■ 于是所求速度与时间的美系为 g 由上式可见，当t很大时，根小，此时V找近于k,由此可见，跳伞运动员开 E 下■ 始珠伞时是加速运动，以后逐接近于匀速运动，其速度为k 案例3[环境污染列圈]某水塘原有50000：清水（不含有害杂质），从时间‘=0开始， 含有有害杂质%的浊水流入该水糖，流入的速度为2：/m,在墙中充分混合（不考虑沉淀） 后又以21/的速度流出水塘。问经过多长时间后塘中有害物质的浓度达到4%？ 解：(1)建立微分方程 etr) 设在时刻‘塘中有害物质的含量为Q0。此时W中有害物质的浓度为50000，不妨设 单位时间内有害物质的变化量为■单位时间内流出塘的有害物质的量为2，干是有
dv a dt = ．于是在下落过程中速度 vt() 满足微分方程 dv m mg kv dt = − ，初始条件为 0 0 = t= v . （2）求通解 方程(4.2.3)是一个可分离变量的微分方程．分离变量后，得 m dt mg kv dv = − ． 两端积分得 1 ln( ) 1 C m t mg kv k − − = + ,即 t m k mg kv C e − − = 2 (其中 1 2 kC C e− = )， 或 t m k Ce k mg v − = + （其中 C2 C k = ）. （3）求特解 把初始条件 0 0 = t= v 代入通解，得 k mg C＝－ ． 于是所求速度与时间的关系为 (1 ) t m k e k mg v − = − . 由上式可见，当 t 很大时， t m k e − 很小，此时 v 接近于 mg k ．由此可见，跳伞运动员开 始跳伞时是加速运动，以后逐渐接近于匀速运动，其速度为 k mg v = . 案例 3[环境污染问题]某水塘原有 50000 t 清水(不含有害杂质)，从时间 t = 0 开始， 含有有害杂质 5% 的浊水流入该水塘．流入的速度为 2t／min，在塘中充分混合(不考虑沉淀) 后又以 2t／min 的速度流出水塘．问经过多长时间后塘中有害物质的浓度达到 4% ? 解:（1）建立微分方程 设在时刻 t 塘中有害物质的含量为 Q(t) ，此时塘中有害物质的浓度为 ( ) 50000 Q t ，不妨设 单位时间内有害物质的变化量为 M 单位时间内流出塘的有害物质的量为 S2,于是有
2-M-51-S2 d№.点×2-00×2- 1Q0) d山 ,即d100 5s0000 1025000,初始条件为 2(0)-0 《2)求通解 式(4.24)是可分离变量方程。分离变量得 do 1 -dt 2500-Q)25000 积分，得Q0)-2500-Ce2 即Q(0=2500+Cea (3)求特解 由初始条件1=0，Q=0得C=-2500,故 0=21-e 当塘中有害物题法度达到4%时，应有Q=50000×4%=2000（),这时‘应满足 2000=2500 由此解得1年670.6(ain),经过60.6ain后，塘中有害物 2500 =5% 质浓度达到%，由于 .mQ)=2500 培中有害物质的最终浓度为50000 案例4[利事侦察中死亡时间的鉴定】牛顿冷却定律指出：物体在空气中冷却的速度与 物体温度和空气温度之差成正比，现将牛顿冷想定律应用于刑事债察中死亡时间的鉴定.当 一次谋杀发生后，尸体的温度从原来的37℃按题牛顿冷却定律开始下释，如果两个小时后 尸体温度变为5℃，并且假定周围空气的温度保持0℃不变，试求出尸体温度H面时间！的 变化线律，又如果尸体发现时的温度是30℃，时间是下午4点整，椰么谋杀是何时发生的？ 解： (1)建立微分方程 dH 设尸体的温度为H)(《从谋杀后计)，根据题意，尸体的冷却速度山与尸体温度H dH 和空气温度20之差成正比.即山=-k(H-20)
d 1 2 d Q M S S t = = − , 即 ( ) ( ) 10 25000 1 2 50000 2 100 5 d d Q t Q t t Q = − = − , 初始条件为 Q(0 0 ) = . （2）求通解 式（4.2.4）是可分离变量方程，分离变量得 d 1 2500- ( ) 25000 Q dt Q t = − , 积分，得 ( ) 25000 2500 t Q t Ce − − = , 即 ( ) 25000 2500 t Q t Ce − = + ． （3）求特解 由初始条件 t = 0，Q = 0 得 C = −2500 ，故 ( ) = − − 25000 2500 1 t Q t e ． 当塘中有害物质浓度达到 4% 时，应有 Q = 50000 4% = 2000 (t)，这时 t 应满足 = − − 25000 2000 2500 1 t e ．由此解得 t 670.6 (min)，即经过 670.6 min 后，塘中有害物 质浓度达到 4% ，由于 lim ( ) = 2500 →+ Q t t ，塘中有害物质的最终浓度为 2500 5% 50000 = ． 案例 4[刑事侦察中死亡时间的鉴定] 牛顿冷却定律指出：物体在空气中冷却的速度与 物体温度和空气温度之差成正比，现将牛顿冷却定律应用于刑事侦察中死亡时间的鉴定．当 一次谋杀发生后，尸体的温度从原来的 37 ℃按照牛顿冷却定律开始下降，如果两个小时后 尸体温度变为 35℃，并且假定周围空气的温度保持 20℃不变，试求出尸体温度 H 随时间 t 的 变化规律．又如果尸体发现时的温度是 30℃，时间是下午 4 点整，那么谋杀是何时发生的？ 解: （1）建立微分方程 设尸体的温度为 H (t) ( t 从谋杀后计)，根据题意，尸体的冷却速度 t H d d 与尸体温度 H 和空气温度 20 之差成正比．即 t H d d = −k(H − 20)
其中k>0是花数，初始条件为H(O)=37】 (2)求透解 dH 分离变敏海1-20-灿 积分得H-20=Ce* (3)求特解 把初值条件0)-37代入通解，求得C=17.于是该初值问题的解为 H一20+17e“,为求出k植，根指两小时后尸体温度为35℃这一条作，有 35=20+17e2,求得k之0.063，于是温度4数为H=20+17e.将H-30代 =e-0065 10 入上式有17 ,即得1必84《山)。于是，可以判定谋养发生在下午4点尸体按发现 前的84，即8小时24分钟，所以谋杀是在上午7点36分发生的. 案例5[风电路]在一个包合有电阻R(单位：Q),电感L《单位：日)和电源E(单位： V)的L串联国路中，由回路电流定律，知电流（单位，A)满足以下微分方程 R1-E dt LL 若电路中电源3口2☑伏，电阻10Q,电感0，研和初始电流A,求在任何时谢1电路 中的电流 解 (1)建立微分方程 这里E=352,R=10,L=0.5,将其代入电路中电流应满足的微分方程，得 dL+201=6m24 d 韧始条件为=6 (2)求通解 此方程是一阶线性微分方程，应用公式(4.3.)，得通解
其中 k 0 是常数，初始条件为 H (0 37 ) = ． （2）求通解 分离变量得 d d 20 H k t H = − − 积分得 kt H Ce− − 20 = （3）求特解 把初值条件 H(0) = 37 代入通解，求得 C =17 ．于是该初值问题的解为 kt H e − = 20 +17 ,为求出 k 值，根据两小时后尸体温度为 35℃这一条件，有 2 35 20 17 − = + k e ,求得 k 0.063 ，于是温度函数为 t H e 0.063 20 17 − = + ,将 H = 30 代 入上式有 t e 0.063 17 10 − = ，即得 t 8.4 （h）．于是，可以判定谋杀发生在下午 4 点尸体被发现 前的 8.4 h，即 8 小时 24 分钟，所以谋杀是在上午 7 点 36 分发生的． 案例 5[RL 电路]在一个包含有电阻 R （单位： ），电感 L（单位：H）和电源 E（单位： V）的 RL 串联回路中，由回路电流定律，知电流（单位：A）满足以下微分方程 dI R E I dt L L + = , 若电路中电源 3sin 2t 伏，电阻 10 ，电感 0.5H 和初始电流 6A，求在任何时刻 t 电路 中的电流． 解: （1）建立微分方程 这里 E = 3sin 2t ，R =10，L = 0.5 ，将其代入 RL 电路中电流应满足的微分方程，得 I t dt dI + 20 = 6sin 2 ， 初始条件为 0 6 t I = = ． （2）求通解 此方程是一阶线性微分方程，应用公式(4.3.4)，得通解
(6sim2nc e6sin2e"d+C） ”+8产(aanbx--bca小C ∫nb女-1 Ce+30 2、 01 01c052r (3)术特解 将=0时，I=6代入通解，得 6=Ce+30 m2x0)-3 0s(2×0) 101 01 609 C= 解之，得101 所以，在任何时刻的电流为 1-609ew+ 3 3 101 7n2 10 -c0s21 10 案例6[日路]在一个包含有电R(口)，电容C(F)和电源E(Y)的C串联回 路中，由回路电流定律，知电容上的电量▣(C)满足以下微分方程 9+1g=E d RC4= R 若回路中有电尊400©0621（们，电阻1000，电容Q.1P,电容上没有初始电量.求在 任意时刻‘电路中的电流。 解： 《1)建立微分方程 我们先求电量9.这里E=400©0s24,R=100,C=0.01,将其代入C日路中电量g应 满足的微分方程得 血+q=4cs2u d 初始条件为9心=0 (2)求通解
20 20 (6sin 2 ) dt dt I e t e dt C − = + ( ) 20 20 6sin 2 t t e te dt C − = + 20 30 3 sin 2 cos 2 101 101 t Ce t t − = + − ， （3）求特解 将 t = 0 时, I = 6 代入通解，得 20 0 30 3 6 sin 2 0 cos 2 0 101 101 Ce− = + − （ ） （ ） ， 解之，得 609 101 C = ， 所以，在任何时刻 t 的电流为 609 30 3 20 sin 2 cos 2 101 101 101 t I e t t − = + − ． 案例 6[RC 回路]在一个包含有电阻 R （ ），电容 C（F）和电源 E（V）的 RC 串联回 路中，由回路电流定律，知电容上的电量 q（C）满足以下微分方程 dq E 1 q dt RC R + = , 若回路中有电源 400cos2t (V),电阻 100 ，电容 0.01F，电容上没有初始电量.求在 任意时刻 t 电路中的电流． 解: （1）建立微分方程 我们先求电量 q .这里 E t R C = = = 400cos 2 , 100, 0.01 ，将其代入 RC 回路中电量 q 应 满足的微分方程得 4cos 2 dq q t dt + = ， 初始条件为 0 0 t q = = . （2）求通解
此方程是一阶线性微分方程，应用公式(4,3.0。得 q-Ce+si+0062 4 5 将1=0,9=0代入上式，得 O-Cesin(x+cos(2x0) 4 5 4 之，得C- 于是 令e'+公sim2t+ 8 g=- 5c0s2r 4 1、的 再由电流与电量的关系山，得 4 1 1-3+ cos21-8 0s2 案例7[电路问恶】一个C串联日路由电阻R=10Q,电容C=1/280F,电感 L=20日和电激E0)=10s如‘y构成.假设在初始时刻1=0，电容上没有电量。电流是 1,求任意时刻电容上的电量所裤足的微分方程. 1-.dq 解：再将山，山山代入方程(4.40，得 票+是名+记0 L 将己知条件代入上式，得 g+9边+14g= 1 -sn 2 初始条件为 0=o名=
此方程是一阶线性微分方程，应用公式(4.3.4)，得 8 4 sin 2 cos 2 5 5 t q Ce t t − = + + ， 将 t = 0, q = 0 代入上式，得 0 8 4 0 sin 2 0 cos 2 0 5 5 Ce− = + + （ ） （ ） ， 解之，得 4 5 C = − ． 于是 4 8 4 sin 2 cos 2 5 5 5 t q e t t − = − + + ， 再由电流与电量的关系 dq I dt = ，得 4 16 8 cos 2 cos 2 5 5 5 t I e t t − = + − ． 案例 7[电路问题]一个 RLC 串联回路由电阻 R =180 ，电容 C =1/ 280 F，电感 L = 20 H 和电源 E(t) = 10sin t V 构成．假设在初始时刻 t = 0 ，电容上没有电量，电流是 1A，求任意时刻电容上的电量所满足的微分方程． 解:再将 dq I dt = , 2 2 dI d q dt dt = 代入方程(4.4.4)，得 ( ) 1 1 2 2 E t L q dt LC dq L R dt d q + + = ， 将已知条件代入上式，得 q t dt dq dt d q sin 2 1 9 14 2 2 + + = ． 初始条件为 (0) = 0, t=0 = 1 dt dq q ．