向量代数与空间解斯几何的应用 案例1[飞机俯冲时机翼影子的速度] 一架飞机沿抛物线y=X+1的轨道向地面俯冲，如图所示。x轴取在地面上。机翼到 地面的距离以100/s的固定速度减少。问机翼离地面201米时，机现影子在地面上运动的 速度是多少（假设太阳光线是铅直的） 少 =-100 解：机翼到地而的距离以1O0■/s的速度递减，所以机翼垂直下降的速度是女 (取负号是因为下降，方向向下)，又因为太阳光是垂直的太阳到地面的距离比飞机到地面 血 的距离要大得多，所以机翼影子在地面的运动速度就是飞机机翼的水平速度山，当=2501m 女 =7 少=2x血 时，“0=+0丙边对1求导即有山市，“0=0-，当y=2501 d越 则x-50,代入方程即得山《米/秒) 案例2[基因的“距南”] 在0血型的人们中，对各种群体的基因的频率进行了研究.如果我们把四种等位基 A、小、B、0区别开，有人报告了如下的相对频率，见下表： 爱斯基厚人 班图人 英国人 朝鲜人 4 0.2914 0.1034 0.2090 0.2208 A 0.0000 0.0866 0.0696 0.0000 B 0.0316 0.1200 0.0612 0.2080 0 0.6770 0.6900 0.6602 0.5723 总计 1.000 1.000 1.000 1.000 现在的月题是！一个群体与另一群体的接近程度如何？换句话说，就是要找到一个表示 基因的“距离”的合宜的度量。 解：有人提出一种利用矢量代数的方法首先，用单位矢量，即绝对植为1的矢量，米
向量代数与空间解析几何的应用 案例 1[飞机俯冲时机翼影子的速度] 一架飞机沿抛物线 1 2 y = x + 的轨道向地面俯冲，如图所示，x 轴取在地面上。机翼到 地面的距离以 100m/s 的固定速度减少。问机翼离地面 2501 米时，机翼影子在地面上运动的 速度是多少（假设太阳光线是铅直的） 解：机翼到地面的距离以 100m/s 的速度递减，所以机翼垂直下降的速度是 = −100 dx dy （取负号是因为下降，方向向下）,又因为太阳光是垂直的太阳到地面的距离比飞机到地面 的距离要大得多，所以机翼影子在地面的运动速度就是飞机机翼的水平速度 dt dx ,当 y=2501m 时， = ? dt dx ( ) 1 ( ) 2 y t = + x t 两边对 t 求导即有 dt dx x dt dy = 2 , x(t) = y(t) −1 ,当 y=2501 则 x=-50,代入方程即得 = 1 dt dx （米/秒） 案例 2[基因的“距离”] 在 ABO 血型的人们中，对各种群体的基因的频率进行了研究. 如果我们把四种等位基 A1、 A2、B、O 区别开，有人报告了如下的相对频率，见下表： 爱斯基摩人 班图人 英国人 朝鲜人 A1 0.2914 0.1034 0.2090 0.2208 A2 0.0000 0.0866 0.0696 0.0000 B 0.0316 0.1200 0.0612 0.2069 O 0.6770 0.6900 0.6602 0.5723 总计 1.000 1.000 1.000 1.000 现在的问题是：一个群体与另一群体的接近程度如何？换句话说，就是要找到一个表示 基因的“距离”的合宜的度量. 解：有人提出一种利用矢量代数的方法. 首先，用单位矢量，即绝对值为 1 的矢量，来
表示每一个群体。为此目的，我们取每一件频率的平方根，记“历。 由于对这四种群 之=1 体的每一种有 所以我们得到园 这意味着下列四个失量 (爱斯基摩人) (班图人) (英国人) (朝鲜人) 高1 知 到 : 知 u g■ 02■ ■ ■ X2 3 u x 的每一个都是单位失量， 即/=1 在四维空间中，这些矢量的顶端都位于一个半径为】的球面上 现在用两个失量间的夹角来表示两个对应的群体间的“更离”似乎是合理的。如果我们 把%和之间的夹角记为日，那么由于网=口= 再由内积会式，符：c0s8=a~4 详细的数值是 T0.5398 「032161 0.0000 02943 C:" 0.1778 0.3464 0.8228 0.8307 .c0s8=4%=(053980.3216+-=0.9187 .8=23.2 按同样的方式，我们可以得到下表： 爱斯基摩人 班图人 英国人 朗鲜人 爱斯基摩人 0 23.29 1649 16.8 班图人 232 06 980 20.4° 英国人 1649 9.8 De 23.2° 朝鲜人 16.8 20.40 19.6 Do 最小的基因“距离”是班图人和莫国人之间的距离，而爱斯基摩人和班图人之间的基因
表示每一个群体. 为此目的，我们取每一种频率的平方根，记 ki ki x = f . 由于对这四种群 体的每一种有 1 4 1 = i= ki f ，所以我们得到 1. 4 1 2 = i= ki x 这意味着下列四个矢量 = = = = 4 4 4 3 4 2 4 1 4 3 4 3 3 3 2 3 1 3 2 4 2 3 2 2 2 1 2 1 4 1 3 1 2 1 1 1 x x x x x x x x x x x x x x x x （爱斯基摩人）（班图人）（英国人）（朝鲜人） 的每一个都是单位矢量，即 ak =1 在四维空间中，这些矢量的顶端都位于一个半径为 1 的球面上. 现在用两个矢量间的夹角来表示两个对应的群体间的“距离”似乎是合理的. 如果我们 把 1 和 2 之间的夹角记为 ，那么由于 1 = 2 =1 再由内积公式，得： 1 2 cos = 详细的数值是 = = 0.8307 0.3464 0.2943 0.3216 , 0.8228 0.1778 0.0000 0.5398 1 2 cos =1 2 = (0.5398)(0.3216)+= 0.9187 0 = 23.2 按同样的方式，我们可以得到下表： 爱斯基摩人 班图人 英国人 朝鲜人 爱斯基摩人 0 0 0 23.2 0 16.4 0 16.8 班图人 0 23.2 0 0 0 9.8 0 20.4 英国人 0 16.4 0 9.8 0 0 0 23.2 朝鲜人 0 16.8 0 20.4 0 19.6 0 0 最小的基因“距离”是班图人和英国人之间的距离，而爱斯基摩人和班图人之间的基因
“距离”最大 案例3[星形线的一种形成方式] 一轴承，副面如图，小圆表示滚珠，半径为选大圆表示轴瓦。半径=4a在理想状态 下，大圆固定而小置在大测内相切流动，试用失量代数方法确定小圆上一点M的轨迹， B M A X 解：先建立坐标系 再依愿进行研究.如上图，设开始时点M在点A处，取大心为原 点，O4方白为x轴正向.则依题意有BM=BA 从而，由上式及圆弧的弧长会式有a:∠BCM=R-0,其中B=∠BOAR=和故 ∠BCM=40 又作CDHx轴，则∠BCD=∠BOA=A,从而 ∠DCM=∠BCM-∠BCD=40-0=30 下面根据矢量代数方法，矢量按基本矢量的分解式有 OC=3acos0i+3asin0 j CM =acos(-30+asin(-30)j acos30i-asin 30j 由矢量加法并用三角公式30os8+cos30=4o0s'83sm0-sim30=4sim'0得 OM =OC+CM =(3ac0s0+acos 30)i+(3asin 0-asin 30)j =4acos'0i+4asin'6j Rcos'0i+Rsin'0j
“距离”最大. 案例 3[星形线的一种形成方式] 一轴承，剖面如图. 小圆表示滚珠，半径为 a. 大圆表示轴瓦，半径 R=4a. 在理想状态 下，大圆固定而小圆在大圆内相切滚动，试用矢量代数方法确定小圆上一点 M 的轨迹. 解：先建立坐标系，再依题进行研究. 如上图，设开始时点 M 在点 A 处，取大圆心为原 点，OA 方向为 x 轴正向. 则依题意有 BM BA = 从而，由上式及圆弧的弧长公式有 a BCM R = ，其中 = = BOA R a , 4 . 故 = BCM 4 又作CD x BCD BOA // 轴，则 = = ，从而 = − = − = DCM BCM BCD 4 3 . 下 面 根 据 矢 量 代 数 方 法 ， 矢 量 按 基 本 矢 量 的 分 解 式 有 OC a i a j = + 3 cos 3 sin CM a i a j = − + − cos( 3 ) sin( 3 ) = − a i a j cos 3 sin 3 由 矢 量加 法并 用三 角公 式 3 3cos cos3 4cos , + = 3 3sin sin 3 4sin − = 得 OM OC CM = + = + + − (3 cos cos 3 ) (3 sin sin 3 ) a a i a a j 3 3 = + 4 cos 4 sin a i a j 3 3 = + R i R j cos sin O x y B C M A
此即M点轨连的矢量方程，其参数方程为x=R©0心'0，y-Rsn'0,可见，M点轨迹 是星形线。 思考题：试求一条曲线，使该曲线上任一点处的切线夹在x轴y轴之间的长度为1， 容案：晨形线x=cos0.y=n0
此即 M 点轨迹的矢量方程，其参数方程为 3 3 x R y R = = cos , sin ，可见，M 点轨迹 是星形线. 思考题：试求一条曲线，使该曲线上任一点处的切线夹在 x 轴 y 轴之间的长度为 1. 答案：星形线 3 3 x y = = cos , sin