定积分及其应用 案例1〔磁场能量]在电压和电蓝关联参考方向下，电感元件吸收的功率为 p=uiLi 市 业，在山时间内，电感元件在磁场中的能量增加量为 dW==L,电流为零时，磁场亦为零，即无磁场能量：当电流从0增大到时， w-[Ldi-u 电感元件销存的磁场能量 由此可见。磁场能量只与最终的电流值有关。而与电流建立的过程无关， 案例2[电流函数]一电路中电流关干时间的变化率为 =4-0.6 ,若1■0时， 1=2A. 求电流关于时间‘的函数， .4-0.6 解由h ,求不定积分得)=J4-0.6t=2r2-02+C 将0)=2代入上式.得C=2,所以0=2r-02r2+2 =kf 案例3[结冰厚度]池糖结冰的速度由山 给出，其中》是白结冰起到时刻‘（单 位：}冰的厚度（单位：c■），k是正常数，求结冰厚度y关于时间‘的函数」 =k 0=ji仙=小仙=+O 整：由d ，,求不定积分得 其中1=0开结冰，此时冰的厚度为0，即有O)=0,代入上式，得C=0,所以 0=2 3 案例4[窗户面积]某一窗户的顶密设计为弓形，上方由线为一抛物找。下方为直线，求 此弓形的面积。 整：建立直角坐标系。设此抛物线方程为y=-2m,因它过点0.8-0.64)，所以
定积分及其应用 案例 1[磁场能量]在电压和电流关联参考方向下，电感元件吸收的功率为 dt di p = ui = Li ,在 dt 时间内，电感元件在磁场中的能量增加量为 dW = pdt = Lidi ,电流为零时，磁场亦为零，即无磁场能量；当电流从 0 增大到 i 时， 电感元件储存的磁场能量为 2 0 2 1 W Lidi Li i = = . 由此可见，磁场能量只与最终的电流值有关，而与电流建立的过程无关． 案例 2[电流函数]一电路中电流关于时间的变化率为 2 4t 0.6t dt di = − ，若 t = 0 时， i = 2A， 求电流 i 关于时间 t 的函数． 解:由 2 4t 0.6t dt di = − ，求不定积分得 i t( ) = 2 2 3 (4 0.6 ) 2 0.2 t t dt t t C − = − + ， 将 i(0) 2 = 代入上式，得 C = 2 ，所以 i t( ) = 2 3 2 0.2 2 t t − + ． 案例 3[结冰厚度]池塘结冰的速度由 k t t y = d d 给出，其中 y 是自结冰起到时刻 t (单 位：h)冰的厚度（单位：cm）， k 是正常数，求结冰厚度 y 关于时间 t 的函数． 解:由 k t t y = d d ，求不定积分得 3 2 2 ( ) ( ) 3 y t k tdt k tdt k t C = = = + ， 其中 t = 0 开始结冰，此时冰的厚度为 0，即有 y(0) 0 = ，代入上式，得 C = 0 ，所以 3 2 2 ( ) 3 y t kt = ． 案例 4[窗户面积]某一窗户的顶部设计为弓形，上方曲线为一抛物线，下方为直线，求 此弓形的面积． 解:建立直角坐标系．设此抛物线方程为 2 y = −2px ，因它过点 (0.8, 0.64) − ，所以
P一之，即指物找方程为=一产。此图形的面积实际上为由曲找)=-与直线 y-0.64所国成图形的面积，面积微元为少=[-r(0.64)]山 面积为S=-r064: -2+064x)%,0683a2. 所以窗户的面机为0.683平方米， 案例8[喇叭体积】一喇头可视为由曲线'=了、直线x=1以及x轴所围成的图形饶x 轴能转所成的能转体，如图(1)所示 求此旋转体的体积 图(1) 超在Q,门上任取一点x,此旋转体的体积微元可近似地视为以八)为半径的圆为底 (即以面积为()=/x的概为底)的柱体， 从而体积微元为W=x了d女 所体体安'为广-r=传以专 案例6[机器底座的体积]菜人正在月计算机议计一台机器的底座。它在第一象限的图形 由少=8-了、y=2以及x轴、广轴围成，底座由此图形绕轴旋转一圆面成，如图② 所示。试求此底隆的体积 图(2)
2 1 p = ，即抛物线方程为 2 y = −x ．此图形的面积实际上为由曲线 2 y = −x 与直线 y = −0.64 所围成图形的面积，面积微元为 2 dS x dx = − -(-0.64) 面积为 0.8 2 0.8 S x x [ -(-0.64)]d − = − 3 0.8 0.8 2 ( 0.64 ) 3 x x = − + − 0.683 (m２)， 所以窗户的面积为 0.683 平方米． 案例 5[喇叭体积]一喇叭可视为由曲线 2 y = x 、直线 x =1 以及 x 轴所围成的图形绕 x 轴旋转所成的旋转体，如图（1）所示． 求此旋转体的体积． 图（1） 解:在 [0,1] 上任取一点 x ，此旋转体的体积微元可近似地视为以 f x( ) 为半径的圆为底 （即以面积为 2 A x f x ( ) [ ( )] = 的圆为底）的柱体， 从而体积微元为 2 2 dV x x = ( ) d , 所求旋转体的体积 V 为 1 4 0 V x x = d 1 5 0 1 5 x = 5 1 = 案例 6[机器底座的体积]某人正在用计算机设计一台机器的底座，它在第一象限的图形 由 3 y = 8 − x 、 y = 2 以及 x 轴、 y 轴围成，底座由此图形绕 y 轴旋转一周而成，如图(2) 所示．试求此底座的体积． 图（2）
显此图形实为由曲线=8-少与直线y~2、y一0以及y触围咸的曲边梯形烧) 抽旋转一周所成的旋转体，体积微元为W=(8-)小d 所求体%"=8-功d.-亨- 3 85-6) 7.313x￥22975 x=e'cos 案例T[运动路程]己知一物体的运动规律为 y=tsin,(t的单位！s!5的单 位：).求它从(=0s到？=1s所移动的鹿离 解：物体的运动规律由参数方程给出，随着时间！的变化，物体运动的轨迹是一条曲 线。此问愿事实上是求该由线从(=0到(=【s的一段到长。由参数方程下到长的计算公式 (a.4.6),得 s-+Yar =cos-tgsn不+(tsn+dcos山 =i+-+e式 =+示(e-)*5.665. 案例8[悬链线长度]图(1》所示的函数为 y=i(e'te") 图(1) 这一函数称为悬链线，它表示的是一悬挂在空中的线领的形状，求此悬链线位于x=一] 和x=1之间的长度 解：由无长计算公式得
解:此图形实为由曲线 3 x = 8− y 与直线 y = 2、 y = 0 以及 y 轴围成的曲边梯形绕 y 轴旋转一周所成的旋转体．体积微元为 2 3 dV y y = − (8 ) d 所求体积为 = − 2 0 3 2 V (8 y) dy = 5 3 2 0 3 (8 ) 5 − − y 5 5 3 3 3 (8 6 ) 5 = − 7.313 22.975． 案例 7[运动路程]已知一物体的运动规律为 cos sin t t x e t y e t = = ,（t 的单位：s； s 的单 位：m）．求它从 t = 0 s 到 t =1 s 所移动的距离． 解:物体的运动规律由参数方程给出，随着时间 t 的变化，物体运动的轨迹是一条曲 线．此问题事实上是求该曲线从 t = 0 到 t =1 s 的一段弧长．由参数方程下弧长的计算公式 (3.4.6)，得 1 2 2 0 s x y t = + ( ) ( ) d 1 2 2 0 ( cos sin ) ( sin cos ) d t t t t = − + + e t e t e t e t t 1 2 0 1 t = + e dt 1 2 0 1 ( )t = + e 2 = + − 1 ( 1) 5.665 e (m)． 案例 8[悬链线长度]图（1）所示的函数为 ( ) 2 1 x x y e e − = + ， 图（1） 这一函数称为悬链线，它表示的是一悬挂在空中的线缆的形状，求此悬链线位于 x = −1 和 x =1 之间的长度． 解:由弧长计算公式得
I-Le-cy& 利用对称性，得 1=2或4e-ea =fVe+eYd -(e'+e"y=(e-e) =(e-e)-(1-1) =e-e-l 案例9[吸水所作的功]一圆柱形的储水桶高为5，底属半径为3，桶内盛满水。问要 把桶内的水全部吸出需作多少功？ 0 图(1) 整作轴如图(1)所示.取深度x为积分变量.它的变化区何为0，)，相应于0,5)上 任一小区间工，x+的一博层水的高度为在，水的比重为9.8kt/3,因此如x的单位是 。这薄层水的重力为9.8罩3子在，这第层水吸出桶外活作之功近制地为W=8器2x·x在 此即功元素，于是所求的功为 w-f882xxd 2r非 882r.2 3462 2 (kD). 案例10（克服凰力所作的功]一物体技规律X=T作直线运动，媒顾的阻力与速度的平
1 2 1 1 1 ( ) 4 x x l e e dx − − = + − 利用对称性，得 1 2 0 1 2 1 ( ) 4 x x l e e dx − = + − 1 2 0 ( ) x x e e dx − = + 1 0 ( ) x x e e dx − = + 1 0 ( ) x x e e − = − 1 ( ) (1 1) e e − = − − − 1 e e − = − 案例 9[吸水所作的功]一圆柱形的储水桶高为 5m，底圆半径为 3m，桶内盛满水．问要 把桶内的水全部吸出需作多少功？ 图（1） 解:作 x 轴如图（1）所示.取深度 x 为积分变量.它的变化区间为 [0,5] ，相应于 [0,5] 上 任一小区间 [ , ] x x dx + 的一薄层水的高度为 dx ，水的比重为 9.8 kt/m3，因此如 x 的单位是 m，这薄层水的重力为 2 9.8 3 dx .这薄层水吸出桶外需作之功近似地为 dW x dx = 88.2 此即功元素.于是所求的功为 5 0 W x dx = 88.2 2 5 0 88.2 ) 2 x = （ 25 88.2 3462 2 = （kJ）． 案例 10[克服阻力所作的功]一物体按规律 3 x ct = 作直线运动，媒质的阻力与速度的平
方成正比，计算物体由x=O到x=时，克服阻力所作的功。 解：由于煤质的阳力与速度的平方成正比，授比例系数为是，于是煤质的阻力为 F=k(y =9ke'r d山 在工，x+山]上克服用力所作的功（功的微元）为 dw =ky dx=9kerd(cr')=27kc'r'dr 当物体由x=0移动到x=时。时阿1从1=0到】 克服阻力所作的功为 w-2heta=27etd 案例11水闸门所受的压力]一矩形水闸门，宽20m,高16，水面与闸门膜齐，如下图 所示，求闸门上所受的总压力 20 超：如图选取x轴，在比，不+个上闸门所受压力（压力微元）为 dF-d4-x20本=20本，闸门上所受的总压力为 F=20md=20rxd=205r=2560r 当r=1000x9.8w/3时，力F=2560.9800=25088×10'(0m. 案例12[棒对质点的引力)]设有一长度为，质量为M的均匀细直棒，另有一质量为刷
方成正比，计算物体由 x = 0 到 x a = 时，克服阻力所作的功. 解:由于媒质的阻力与速度的平方成正比，设比例系数为 k ，于是媒质的阻力为 2 2 4 ( ) 9 dx F k kc t dt = = ， 在 [x, x + dx] 上 克 服 阻 力 所 作 的 功 ( 功的微元 ) 为 2 2 4 3 3 6 ( ) 9 ( ) 27 dx dW k dx kc t d ct kc t dt dt = = = ， 当物体由 x = 0 移动到 x a = 时，时间 t 从 t = 0 到 1 a 3 t c = ，克服阻力所作的功为 1 3 ( ) 3 6 0 27 a W kc t dt c = = 1 3 ( ) 3 6 0 27 a c kc t dt 1 3 ( ) 3 7 0 1 27 ( ) 7 a c = = kc t 2 7 3 3 27 7 kc a ． 案例 11[水闸门所受的压力]一矩形水闸门，宽 20m，高 16m，水面与闸门顶齐，如下图 所示，求闸门上所受的总压力． 解:如图选取 x 轴，在 [x, x + dx] 上闸门所受压力（压力微元）为 dF pdA rx dx rxdx = = = 20 20 ，闸门上所受的总压力为 16 16 0 0 F rxdx r xdx = = 20 20 2 16 0 1 20 ( ) 2560 2 = = r x r ， 当 r = 1000 9.8 N/m3 时，力 F = 2560 9800 7 = 2.5088 10 (N)． 案例 12[棒对质点的引力] 设有一长度为 l ，质量为 M 的均匀细直棒，另有一质量为 m
的质点与细直棒在同一直线上，它到细直棒的近端距离为“，如下图所示。试计算该棒对质 点的引力。 解：建立直角坐标系如图所示，使棒位于轴上。取x为积分变量，它的变化区间为 [0,】.设，x+d为Q小上的任一小区间，把细直棒上相应于k,x+d的一段近地看 成质点。其质量为！。于是引力微元为 k·m- dF=I x+a， 该棒树质点的引力为 M 气4 a(l+a)
的质点与细直棒在同一直线上，它到细直棒的近端距离为 a ,如下图所示．试计算该棒对质 点的引力． 解:建立直角坐标系如图所示，使棒位于 x 轴上，取 x 为积分变量，它的变化区间为 0,l ．设 x, x + dx 为 0,l 上的任一小区间．把细直棒上相应于 x, x + dx 的一段近似地看 成质点，其质量为 x l M d ．于是引力微元为 2 d d ( ) M k m x l F x a = + ， 该棒对质点的引力为 2 0 d ( ) l M m l F k x x a = + x l x a kmM l d ( ) 1 0 2 + = 0 1 l kmM l x a = − + a(l a) kmM + = ．