无穷级数 案例】[分针与时针何时重合] 在下午一点到两点之间的什么时间，一个时钟的分针给好与时针重合？ 解：从下午一点开始，当分针走到1时，时针走到 时#又商前在到(：古后司) 依此类推，分针要追上时针雷费时 111.111 1 上试是一个首项五，公比9】 0三 92的等比级数，因为 1 9= ，故此级数收敛。 是5分零72 。2 其和为 12 即，分针要追上时针需煲的时间为5分零2了秒27，也就是说，分针与时针重合的时间 为下午1点零5分零27秒27. 此题也可用初等数学的方法求解，解容如下： 1 一般钟面分为60格，分针每分钟转过1格，时针1小时转过5格，即每分钟转12 格。 一点整时，时针在分针前5格，故分针追上时针的时间应是 1-5、-5(份)=5分零27秒27 11 1- 12 即。5分零27秒27后分针与时针重合， 思考思1 在i点与(i+1)点(i2,3.,11)之间的什么时间，分针与时针重合？ 容案 案例2[矩形林冲信号的频谱分析】
无穷级数 案例 1 [分针与时针何时重合] 在下午一点到两点之间的什么时间，一个时钟的分针恰好与时针重合？ 解：从下午一点开始，当分针走到 1 时，时针走到 + 12 1 1 ，当分针赶到 + 12 1 1 时， 时 针 又 向前 走 到了 + + 12 1 12 1 12 1 1 ， … ， 依此 类 推， 分 针要 追 上时 针 需费 时 + + + 12 1 12 1 12 1 12 1 12 1 12 1 上式是一个首项 12 1 a = ，公比 12 1 q = 的等比级数，因为 1 12 1 q = ，故此级数收敛， 其和为 ( ) ( ) 5 27 27 11 5 5 11 1 12 1 1 12 1 1 = 小时 = 分 分零 秒 − = − q a 即，分针要追上时针需要的时间为 5 分零 27 秒 27，也就是说，分针与时针重合的时间 为下午 1 点零 5 分零 27 秒 27。 此题也可用初等数学的方法求解，解答如下： 一般钟面分为 60 格，分针每分钟转过 1 格，时针1 小时转过 5 格，即每分钟转 12 1 格。 一 点 整 时 ， 时 针 在 分 针 前 5 格 ， 故 分 针 追 上 时 针 的 时 间 应 是 ( ) 5 27 27 11 5 5 12 1 1 5 = 分 分零 秒 − t = 即，5 分零 27 秒 27 后分针与时针重合。 思考题： 在 i 点与(i+1)点(i=2,3,…,11)之间的什么时间，分针与时针重合？ 答案： + , = 2,3, ,11 11 i i i 案例 2[矩形脉冲信号的频谱分析]
2π 0= 如图之知形脉冲，其周期为1，领率T,脉冲宽度为，高度为E。试通出它的 频错图并分析之。 图：矩形账神信号 解：傅里叶级数在电子技术中的重要应用之一是利用它作顿语分析。我们知道，一个周 期函数()展开为傅里叶级数，在物理上意味着将一个较复桑的周期被形分解为许多不阿 频率的正弦该的叠加。这些正弦波的频率通常称为[()的频率成分。如果(t)的周期为T, 令®，2®，3@，n,…,那么f()的频率成分（用角频率表示）就是在许多实际问避中， 还需要进一步搞清楚每一种顿率成分的正弦波的振幅有多大，这在物理和工程技术上就称为 “颜语分析”，而把各次需泼的叛解与颜幸®的函数关系西成的线图称为~频带图.这 里的计算由复数形式的博里叶系数公式给出，矩形脉冲信号的复数形式的傅里叶展开式及系 -sn T 数为： -0<1<+a,1*士5 有了C。,便可方便地作出它的颜带图，这里设脉冲宽度 3 e.l
如图之矩形脉冲，其周期为 T，频率 T 2π = ，脉冲宽度为 ，高度为 E。试画出它的 频谱图并分析之。 图：矩形脉冲信号 解：傅里叶级数在电子技术中的重要应用之一是利用它作频谱分析。我们知道，一个周 期函数 f(x)展开为傅里叶级数，在物理上意味着将一个较复杂的周期波形分解为许多不同 频率的正弦波的叠加。这些正弦波的频率通常称为 f(t)的频率成分。如果 f(t)的周期为 T， 令 ,2,3, ,n, ，那么 f(t)的频率成分（用角频率表示）就是在许多实际问题中， 还需要进一步搞清楚每一种频率成分的正弦波的振幅有多大，这在物理和工程技术上就称为 “频谱分析”。而把各次谐波的振幅 n c 与频率 的函数关系画成的线图称为“频谱图”。这 里的计算由复数形式的傅里叶系数公式给出。矩形脉冲信号的复数形式的傅里叶展开式及系 数为： + =− = = = + 0 0 e π sin 1 π ( ) π sin π n n j n t n T n n E T E f t T n n E c T E c − + , 2 , 2 t ,t T 有了 n c ，便可方便地作出它的频谱图，这里设脉冲宽度 3 T = 。 n n c y o E 2 − 2 − 2 T 2 − T T
直流分量 号 E 2x E I 2x2 0 5E1 2x4 √5E1 2x5 0 5E1 2x7 表：矩形账冲信号的“振幅频谐 从频谱图上看到，频率3@6@，“对应的c-0 《这些点称为谱线的零点，其中 3=3 T 叫第一个零值点)。在第一个零值点后，振幅相对减少，可以 葱略不计。因此，矩形林冲的顿带宽度（游线的第一个零值点以内的頓率范围称为信号的顿 d@=2n 带宽度) T,我们还看到，矩形琳冲的频谱是离收的，也就是说。它的游线是一 2开 四= 条一条分开的。其问的距离是 T,而且。当愁冲宽度？不变时，增大周期（即相细 的脉冲间隔加大)，情线之间的距离就缩小，也设是周期越大，普线越密。 案例3[如何计划家庭教育基金] 从199年开始，我国逐步实行了大学收费制度。为了保障子女将米的教育经费，小张 夫妇从能们的儿子出生时开始，每年向银行存入x元作为家庭教有基金。若银行的年复利率 为r,试写出第年后教育基金总额的表达式，预计当子女18岁选入大学时所需费用为30000
直流分量 3 E 1 2π 3E 2 2 1 2π 3E 3 0 4 4 1 2π 3E 5 5 1 2π 3E 6 0 7 7 1 2π 3E ┆ 表：矩形脉冲信号的“振幅频谱” 从频谱图上看到，频率 31 ,61 , 对应的 cn = 0 （这些点称为谱线的零点。其中 2 3 2 2 3 3 1 = = = T T 叫第一个零值点）。在第一个零值点后，振幅相对减少，可以 忽略不计。因此，矩形脉冲的频带宽度（谱线的第一个零值点以内的频率范围称为信号的频 带宽度）为 2π = ，我们还看到，矩形脉冲的频谱是离散的，也就是说，它的谱线是一 条一条分开的。其间的距离是 T 2 1 = ，而且，当脉冲宽度 不变时，增大周期（即相邻 的脉冲间隔加大），谱线之间的距离就缩小，也就是周期越大，谱线越密。 案例 3[如何计划家庭教育基金] 从 1994 年开始，我国逐步实行了大学收费制度。为了保障子女将来的教育经费，小张 夫妇从他们的儿子出生时开始，每年向银行存入 x 元作为家庭教育基金。若银行的年复利率 为r，试写出第n年后教育基金总额的表达式。预计当子女18岁进入大学时所需费用为30000
元，按年利率10%计算，小张每年应向银行存入多少元？ 解：设鱼年后教有基金总额为，每年向银行存入x元，依据复利计算公式有如下道 a=a4-0+r+x,k=12.…1) 推美系：4=x (2) 由 1) 可 得 a--a-+r）-(ae-a-0+r}=-(a-%+rj 初 始 条件 2) 可 a=x(+r)+xa-a=(+r)a-a=(+r,k=l,2…(3) 将（对k1,2,n求和 a20+小 所以，■年后的教育基金总额为 a+20+-宫0+y-x±- 欲使，=30000 将n18,=0.1代入(0 30000×0.1 x"+产1- 586.40（元） 因此，小张每年应向银行存入58640元。 思考题：按照本题的解法还可以解决分期付款问愿。设小张向银行贷款，元用于买房。 贷款年利率为，从第二年起，小张每年向银行还x元用年后小张尚欠银行贷款额记为人， 试推导的表达式。 解：A=A.A=0+小x,A=A0+小x ·A+-x+-」 解此递推式得 R 案例4[经济中的乘子效应] 设把联辄政府通过一项消减1的亿美元税收的法案。假设每人将花费这范额外收入的 9落，并把其会的存起米。试估算消减税对经济活动的总效应。 解：消减税后人们的收入增加了。(Q93)(10)亿美元将被用于消费。对某生人米说
元，按年利率 10%计算，小张每年应向银行存入多少元？ 解：设 n 年后教育基金总额为 n a ，每年向银行存入 x 元，依据复利计算公式有如下递 推关系： ( ) = = − + + = (2) 1 , 1,2, (1) 0 1 a x ak ak r x k 由 ⑴ 递 推 可 得 ( )( ) ( )( ) ( )( ) 1 1 0 2 1 1 2 1 2 3 1 1 − − − = − − − + = − − − + = = − + k k k k k k k a a a a r a a r a a r 由初始条件⑵可得 (1 ) , (1 ) (1 ) , 1,2, (3) a1 = x + r + x a1 − a0 = x + r a − a −1 = x + r k = k k k 将⑶对 k=1,2,…,n 求和 ( ) = − = + n k k n a a x r 1 0 1 所以， n 年 后 的 教 育 基 金 总 额 为 ( ) ( ) ( ) (4) 1 1 1 1 1 1 0 0 r r a a x r x r x n n k k n k k n + − = + + = + = + = = 欲 使 a18 = 30000 ， 将 n=18 ， r=0.1 代入⑷ ( ) 586.40(元) 1.1 1 30000 0.1 1 1 1 19 = − = + − = n+ n r a r x 因此，小张每年应向银行存入 586.40 元。 思考题：按照本题的解法还可以解决分期付款问题。设小张向银行贷款 A0 元用于买房， 贷款年利率为 r，从第二年起，小张每年向银行还 x 元。n 年后小张尚欠银行贷款额记为 An ， 试推导 An 的表达式。 解： A0 = A0 , A1 = A0 (1+ r) − x, , An = An−1 (1+ r) − x 解此递推式得 ( ) ( ) R R A A R x N N n 1 1 0 1 + − = + − 案例 4[经济中的乘子效应] 设想联邦政府通过一项消减 100 亿美元税收的法案，假设每人将花费这笔额外收入的 93%，并把其余的存起来。试估算消减税对经济活动的总效应。 解：消减税后人们的收入增加了。(0.93)(100)亿美元将被用于消费。对某些人来说
这些线变成了额外的牧入，它的93又核用于消费。因此又增加了(0.93)(093)(100)亿 美元的消费，这些钱(093×100亿美元)的接受者又将花费它的9%，即又增加了 (0.930.93X00)=(0.9(00）亿美元的消费。如此下去，清减税后所产生的新的清费 的总和由下列无穷级数给出：10009列+1000.93+1000.93)++1000.93+ 这是一个首项为100(093)，公比为0,3的几何缓数，此级数收数。它的和为： ÷g -￥1328.6亿美元 消被100亿美元的税牧将产生附加的消费大钓1328.6亿美元。 此例描述了乘子效应(the sultiplier effect)。每人将花费一美元额外收入的比例核 称作“边际消费领白”(the marginal propensity to consume),记为气。在本例中， 心0.93，正如我们上面所讨论的，消减税后所产生的附如消费的总和为： MPC 附加销费的总和10：0-销减税制 1-0.93 MPC 消诚税额乘以“乘子”I一MPC就是它的实际效应
这些钱变成了额外的收入，它的 93%又被用于消费，因此又增加了(0.93) (0.93) (100)亿 美元的消费，这些钱( 0.93 100 2 亿美元)的接受者又将花费它的 93%，即又增加了 (0.93)(0.93 )(100) (0.93) (100) 2 2 = 亿美元的消费。如此下去，消减税后所产生的新的消费 的总和由下列无穷级数给出： ( ) + ( ) + ( ) ++ ( ) + n 100 0.93 100 0.93 100 0.93 100 0.93 2 3 这是一个首项为 100(0.93) ，公比为 0.93 的几何级数，此级数收敛，它的和为： ( ) 1328.6亿美元 0.07 93 1 0.93 100 0.93 1 = − = − r a 消减 100 亿美元的税收将产生附加的消费大约 1328.6 亿美元。 此例描述了乘子效应(the multiplier effect)。每人将花费一美元额外收入的比例被 称作“边际消费倾向” (the marginal propensity to consume)，记为 MPC。在本例中， MPC=0.93 ， 正 如 我 们 上 面 所 讨 论 的 ， 消 减 税 后 所 产 生 的 附 加 消 费 的 总 和 为 ： 1 MPC MPC 1 0.93 0.93 100 − = − 附加消费的总和 = 消减税额 消减税额乘以“乘子” 1 MPC MPC − 就是它的实际效应