中国地质大学（武汉）：《信号与系统 Signals and Systems》课程教学资源（课件讲稿）第三章 泛函分析初步

第三章泛函分析初步 ·§3.1线性空间 §3.2线性子空间 §3.3距离空间 ·§3.4 Banach空间 ·§3.5 Hilbert空间 ·§3.6完备规范正交集上广义傅里叶展开 2

2 第三章 泛函分析初步 • §3.1 线性空间 • §3.2 线性子空间 • §3.3 距离空间 • §3.4 Banach空间 • §3.5 Hilbert空间 • §3.6 完备规范正交集上广义傅里叶展开

§3.1线性空间 ·线性空间：设W0（W为非空集合) -（1)W中元对“+”构成交换群，即对V三，平，Z∈W, 有 1.X+Y∈W(加法封闭性) 半群 i.(X+Y)+Z=X+(Y+Z)(结合律) iii.0∈W,使0+X=X(存在零元) 群 交换群 iv.3-X∈W,使(-X)+X=0(存在逆元) V.X+Y=Y+X(交换律) 3

3 §3.1 线性空间 • 线性空间：设W≠Ø（W为非空集合） – (1) W中元对“+”构成交换群，即对 X,Y,ZW, 有 ⅰ. ⅱ. ⅲ. ⅳ. ⅴ.       , , W W W                               0 0 + + 0 + + + = + + = = + = + （加法封闭性） 半群 （结合律） 使 （存在零元） 群 交换群 使 （存在逆元） （交换律） X Y X Y Z X Y Z X X X X X X Y Y X

§3.1线性空间 -(2)对VX,Y∈W,Va,B∈X(复数域)有： vi.a(BX)=(p)X∈W vii.(a+B)X=aX+BX vi.a(X+Y)=ax+aY ix.1.X=X 称W为线性空间；若a,∈X,则W为复线性空 间；若a,BeP,则W为实线性空间。 4

4 §3.1 线性空间 – (2)对 X,YW， α,βC（复数域）有： ⅵ. ⅶ. ⅷ. ⅸ. 称W为线性空间；若α,βC ，则W为复线性空 间；若α,βR，则W为实线性空间。            W            1 + + = + = X X X X X X Y X Y X X

§3.1线性空间 1)加法封闭 2)数乘封闭 台X,∈W,a,∈口有∑a,X,∈W i=l ·C[a,b][a,]上所有连续函数的全体)是线性空间。 ·span{X1,X2,,Xn}是由X1,X2,,Xn张成的线性 空间。 5

5 §3.1 线性空间 • • • 1 , N i i i i i W W           1)加法封闭 有 2)数乘封闭 X X C , , [a b a b ][ ]上所有连续函数的全体是线性空间。 span 1 2 1 2 , , , , , , n n 是由 张成的线性 空间。 X X X X X X

§3.1线性空间 ·线性空间W上的算子L为线性算子 t空xy言al! ·零状态线性系统一系统算子为线性算子 6

6 §3.1 线性空间 • 线性空间W上的算子L为线性算子 • 零状态线性系统系统算子为线性算子   1 1 L L N N i i i i i i               X X

§3.2线性子空间 ·线性子空间：设OVcW,V是W的线性 子空间 台对VX,Y∈V,V,B∈口，有X+BY∈V ·直和：设W,W2,…,W是W的子空间，若VX∈W, X可唯一表示成X=X,+…+Xo,其中X,∈W (i=1,…,p),则称W是W,W,…,W的直和， 记为：W=W⊕W,田…田W, 7

7 §3.2 线性子空间 • 线性子空间：设 Ø ≠V  W， V是W的线性 子空间 • 直和：设       对 X Y X Y , , , , V V     有 +   1 2 1 1 2 1 2 , , , , , 1, , , , , , p p i p p W W W W W W i p W W W W W W W W         = + + 是 的子空间,若 可唯一表示成 其中 则称 是 的直和, 记为: 。 X X X X X X

§3.3距离空间（度量空间 Metric Space) 距离空间：设W≠0，称W为距离空间，指在 W中定义了映射：p(X,Y):W×W→R包 括0)，三，平∈W满足以下三条公理： i.p(X,Y)≥0，且p(X,Y)=0台X=Y(正定性) ii.p(X,Y)=e(Y,X) (可交换性) iii.p(X,Z)sp(X,Y)+p(Y,Z) (三角不等式) ·p(X,Y)称为W上的距离，(W,p)为度量空间。 8

8 §3.3 距离空间（度量空间—— Metric Space） • 距离空间：设W≠Ø ，称W为距离空间，指在 W中定义了映射： （包 括0）， X,YW 满足以下三条公理： • 称为W上的距离， 为度量空间。  X Y, : W W R                  i. , 0, , 0 ii. , , iii. , , ,              且 = （正定性） （可交换性） （三角不等式） X Y X Y X Y X Y Y X X Z X Y Y Z  X Y,  W,  

§3.3距离空间 ·例：0,0 p(X,Y)=X-Y ·例：c[a,b] p(x(④，Y()=maxx()-r() 9

9 §3.3 距离空间 • 例： • 例：   ,  X Y X Y ,   [ ]          , , max a t b C a b  X t Y t X t Y t    

§3.3距离空间 X y ·例：口”，VX= ,Y= ∈☐” Lxn」 LynJ p(X,Y)=∑x,-y i=1 - p(X,Y)=maxx,-y. 10

10 §3.3 距离空间 • 例：       1 1 1 1 2 2 1 , , max n n n n n i i i n i i i i i i x y x y x y x y x y                                             , , , X Y X Y X Y X Y

§3.3距离空间一收敛 ·收敛：度量空间(W,P)中的点列{x}”收敛于x) 台x是{x}的极限 台p(xn,x)→0，当n→0 台limx=xo n->co ·定理：在(W,P)中，每个收敛点列有唯一的 极限点。 11

11 §3.3 距离空间－收敛 • 收敛： • 定理：在 中，每个收敛点列有唯一的 极限点。         1 0 0 1 0 0 , , 0 , lim n n n n n n n W x x x x x x n x x                度量空间 中的点列 收敛于 是 的极限 当 W,  