中国地质大学（武汉）：《信号与系统 Signals and Systems》课程教学资源（课件讲稿）第五章 拉普拉斯变换

第五章拉普拉斯变换 ·§5.1定义、存在性 ● §5.2性质 §5.3拉普拉斯逆变换 §5.4系统函数 §5.5线性定常系统频率响应 ·§5.6B1B0稳定性 ·§5.7全通系统/最小相移系统 2

2 第五章 拉普拉斯变换 • §5.1 定义、存在性 • §5.2 性质 • §5.3 拉普拉斯逆变换 • §5.4 系统函数 • §5.5 线性定常系统频率响应 • §5.6 BIBO稳定性 • §5.7 全通系统/最小相移系统

§5.1定义、存在性 ·信号f(t)的傅里叶变换存在要求： f(t)∈L[-oo,+oo],但sgn(t)EL, F {sgn(t))=lim Feof(t)>0. 考虑是否可以将o纳入积分核？ ·对因果信号f(t)=f(t)u(t), F ea()f(t)emJemdif(t)edi =0f()e“dt=L{f()} 3

3 §5.1 定义、存在性 • 信号f (t)的傅里叶变换存在要求： 考虑是否可以将 纳入积分核？ •             1 1 0 L , , sgn L , sgn lim , 0 t f t t t e f t          F F   但 。 t e                      -j j 0 0 0 , d d d t t t t st f t f t u t e f t f t e e t f t e t f t e t f t                          F L 对因果信号

§5.1定义、存在性 ·定义信号f(t)的（单边）拉普拉斯变换为 F(s)门L{f()}DDf()e“dt,s=o+jo f(t)e(t)ewdrd 令s=o+jo,o为常数，ds=jd0 f0=2r(o)es f07L{(加2Fo)eas 4

4 §5.1 定义、存在性 • 定义信号f (t)的（单边）拉普拉斯变换为                           0 j j 0 j j j j 1 j d , j 1 d d 2 j , d jd 1 d 2 j 1 d 2 j st t t t t s t F s f t f t e t s f t e f t e t e s s f t F s e s f t F s F s e s                                                         L L 令 为常数

§5.1定义、存在性 ● 定义（指数阶函数）：指f(t)分段连续（存 在有限个第一类间断点)，且3M>0,T>0, 使f(t)≤Me,对∀t>T。 注：f(t)=0(e) ·F(s)存在：F(s)<o。 ·命题：指数阶信号的拉式变换存在。 5

5 §5.1 定义、存在性 • 定义（指数阶函数）：指f (t)分段连续（存 在有限个第一类间断点），且 注： • • 命题：指数阶信号的拉式变换存在。    M T 0, 0,   0 , t f t Me t T  使    对 。     O 0 t f t e  F s F s  存在：    

§5.1定义、存在性 e,e,…,t≥0为非指数阶信号。 ·p(t)e"为指数阶信号，其中p()为多项式。 。( 为收敛坐标，过o垂直于σ轴的垂线为收 敛轴，o>σ收敛域（已知收敛域）。 10 S=0+j10 O> 6

6 §5.1 定义、存在性 • 为非指数阶信号。 • 为指数阶信号，其中p(t)为多项式。 • 为收敛坐标，过 垂直于 轴的垂线为收 敛轴， 收敛域（已知收敛域）。 2 3 , , , 0 t t e e t    t p t e  0  0    0 σ o jω  0   0 s j    

§5.1定义、存在性 ·例：f(t)=u(t) u(t)≤1e",M=1,T=0,o。=0,o>0收敛 好-c- 6>01 S ·例： L fe)ee 0>-Q 1 a+s a+s 7

7 §5.1 定义、存在性 • 例： • 例：          0 0 0 0 0 1 , 1, 0, 0, 0 1 d | t st st f t u t u t e M T e u t e t s s                    L 收敛     0 0 1 d | s t t t st e e e e t s s                        L

§5.1定义、存在性 ·例：L{r}=ed-0L{-} Laoy-日 L{eey- 1 Lrao-g ! 8

8 §5.1 定义、存在性 • 例：              1 0 2 1 d 1 1 ! n n st n n n n t t e t t s u t s tu t s n t u t s           L L L L L

§5.1定义、存在性 ·积分下限：当f(t)在t=0处第一类间断， F(s)=L{f()}=0f()e“dt =∫f()e"dt =0f()e"d -注：∫'(t)o~δ()，”(t)儿o~8(t)，解微分方程 的初（边）值问题。 9

9 §5.1 定义、存在性 • 积分下限：当 f (t)在t = 0处第一类间断， – 注： ，解微分方程 的初（边）值问题。            0 0 0 d d d st st st F s f t f t e t f t e t f t e t                L f t t f t t     | ~ , | ~ t t   0 0        

§5.2性质 ·1.代数性质 -能性：L位a0-立aL -卷积：L{f()*()}=F(s)F(s) 零状态响应 f h(@=方(@) (t) →f()*f()=y() ① ① F(S) 0 F(S(S) H()=Lh(=F(S) 10

10 §5.2 性质 • 1. 代数性质 – 线性： – 卷积：      1 1 n n i i i i i i   f t f t          L L   L  f t f t F s F s 1 2 1 2              1 1 f t F S           1 2 1 2 f t f t y t F S F S              2 2 h t f t H h t F S     L 零状态响应

§5.2性质 -像卷积(s域卷积)： L(00}25(s5(间 =2g-e f() 乘 +f(t)f2(t) 2(t) 11

11 §5.2 性质 – 像卷积（s域卷积）：              1 2 1 2 + j 1 2 - j 1 2 j 1 d 2 j f t f t F s F s F z F s z z            L 乘 f t 2   f t 1   f t f t 1 2    