D0I:10.13374/1.issnl00103.2009.05.022 第31卷第5期 北京科技大学学报 Vol.31 No.5 2009年5月 Journal of University of Science and Technology Beijing May 2009 基于LMⅦ的鲁棒H∞容错动态输出反馈控制设计 陈 明 童朝南 北京科技大学信息工程学院，北京100083 摘要针对线性不确定系统，研究了其执行器失效情况下鲁棒容错H动态输出反馈控制设计问题.基于连续型执行器故 障模型，利用线性矩阵不等式(LM)方法提出了线性不确定系统动态输出反馈H©容错控制器存在的充分条件，给出了动态 输出反馈H控制器的设计方法。所获得的控制器不仅能使故障系统鲁棒稳定，并且能达到给定的H©性能指标·仿真实例 证明了所提出设计方法的有效性， 关键词线性矩阵不等式；容错控制；输出反馈；H©控制：鲁棒性 分类号TP273 Design of robust Ho fault-tolerant output feedback control based on LMI CHEN Ming.TONG Chao-nan School of Information and Engineering.University of Science and Technology Beijing.Beijing 100083,China ABSTRACT For linear uncertain systems with actuator faults,the problem of robust fault-tolerant He dynamic output feedback control was studied.Based on an actuator failure model with continuous gain.the sufficient condition for dynamic output feedback H robust fault-tolerant controllers was proposed by using a linear matrix inequality (LMI)approach.and the corresponding design method of a dynamic output feedback Ho controller was given.The proposed controller not only enables the system to keep robust stabilization but also achieves the given H performance.A simulation experiment shows that the proposed method is effective. KEY WORDS linear matrix inequality:fault-tolerant control:output feedback:Hoo control:robustness 容错控制是系统对故障的容忍技术，在设计控 控制设计的线性矩阵不等式(linear matrix inequality, 制器时，无论闭环系统控制部件是否发生故障都能 LM)方法，并把取得的理论成果应用到一个实际 保证系统稳定运行，在实际系统中，由于模型不确 F一16歼击机模型上，取得了较好的控制效果. 定性及外界扰动的广泛存在性，使得鲁棒容错控制 基于上述文献的研究成果，本文提出了一种鲁 的研究更具有实际意义]. 棒容错动态输出反馈控制的LMI设计方法，与其 近年来，关于不确定系统的鲁棒容错控制设计 他文献研究的不同之处在于：基于连续型执行器故 的研究成果很多3]，文献[5]针对线性不确定系 障模型，利用有界实引理和线性矩阵不等式，通过引 统，研究其在传感器故障情况下的鲁棒H©可靠输 入变量代换，把动态输出反馈控制器的求解条件转 出反馈控制问题，通过求解两个Riccati方程获得控 换为标准的LM1,仿真结果表明，得到的动态输出 制器参数.文献[6]研究了范数有界参数时变不确 反馈控制器不仅能使闭环系统在容许的执行器故障 定系统的鲁棒可靠H©控制问题，把执行器故障作为 模式下具有鲁棒性及容错性，并且满足预先给定的 系统的随机扰动信号，设计鲁棒可靠状态反馈控制 H∞干扰衰减指标. 器；该控制器不仅保证系统对所有容许的参数不确定 1问题描述 及执行器故障是稳定的，并且能达到给定的H∞性能 指标，文献[7]给出了连续系统的可靠鲁棒飞行跟踪 考虑如下形式的线性不确定系统： 收稿日期：2008-03-27 基金项目：北京市教委重点学科共建项目(N。,XK100080537) 作者简介：陈明(1977-)，女，博士研究生，E-mail:cm8061@ima·com:童朝南(1955一)，男，教授，博士生导师
基于 LMI 的鲁棒 H∞容错动态输出反馈控制设计 陈 明 童朝南 北京科技大学信息工程学院北京100083 摘 要 针对线性不确定系统研究了其执行器失效情况下鲁棒容错 H∞动态输出反馈控制设计问题．基于连续型执行器故 障模型利用线性矩阵不等式（LMI）方法提出了线性不确定系统动态输出反馈 H∞容错控制器存在的充分条件给出了动态 输出反馈 H∞控制器的设计方法．所获得的控制器不仅能使故障系统鲁棒稳定并且能达到给定的 H∞性能指标．仿真实例 证明了所提出设计方法的有效性． 关键词 线性矩阵不等式；容错控制；输出反馈；H∞控制；鲁棒性 分类号 TP273 Design of robust H∞ fault-tolerant output feedback control based on LMI CHEN MingT ONG Chao-nan School of Information and EngineeringUniversity of Science and Technology BeijingBeijing100083China ABSTRACT For linear uncertain systems with actuator faultsthe problem of robust fault-tolerant H∞ dynamic output feedback control was studied．Based on an actuator failure model with continuous gainthe sufficient condition for dynamic output feedback H∞ robust fault-tolerant controllers was proposed by using a linear matrix inequality （LMI） approachand the corresponding design method of a dynamic output feedback H∞ controller was given．T he proposed controller not only enables the system to keep robust stabilization but also achieves the given H∞ performance．A simulation experiment shows that the proposed method is effective． KEY WORDS linear matrix inequality；fault-tolerant control；output feedback；H∞ control；robustness 收稿日期：2008-03-27 基金项目：北京市教委重点学科共建项目（No．XK100080537） 作者简介：陈 明（1977—）女博士研究生E-mail：cm8061＠sina．com；童朝南（1955—）男教授博士生导师 容错控制是系统对故障的容忍技术．在设计控 制器时无论闭环系统控制部件是否发生故障都能 保证系统稳定运行．在实际系统中由于模型不确 定性及外界扰动的广泛存在性使得鲁棒容错控制 的研究更具有实际意义［1—2］． 近年来关于不确定系统的鲁棒容错控制设计 的研究成果很多［3—4］．文献［5］针对线性不确定系 统研究其在传感器故障情况下的鲁棒 H∞可靠输 出反馈控制问题通过求解两个 Riccati 方程获得控 制器参数．文献［6］研究了范数有界参数时变不确 定系统的鲁棒可靠 H∞控制问题把执行器故障作为 系统的随机扰动信号设计鲁棒可靠状态反馈控制 器；该控制器不仅保证系统对所有容许的参数不确定 及执行器故障是稳定的并且能达到给定的 H∞性能 指标．文献［7］给出了连续系统的可靠鲁棒飞行跟踪 控制设计的线性矩阵不等式（linear matrix inequality LMI）方法并把取得的理论成果应用到一个实际 F—16歼击机模型上取得了较好的控制效果． 基于上述文献的研究成果本文提出了一种鲁 棒容错动态输出反馈控制的 LMI 设计方法．与其 他文献研究的不同之处在于：基于连续型执行器故 障模型利用有界实引理和线性矩阵不等式通过引 入变量代换把动态输出反馈控制器的求解条件转 换为标准的 LMI．仿真结果表明得到的动态输出 反馈控制器不仅能使闭环系统在容许的执行器故障 模式下具有鲁棒性及容错性并且满足预先给定的 H∞干扰衰减指标． 1 问题描述 考虑如下形式的线性不确定系统： 第31卷 第5期 2009年 5月 北 京 科 技 大 学 学 报 Journal of University of Science and Technology Beijing Vol．31No．5 May2009 DOI:10．13374／j．issn1001－053x．2009．05．022
第5期 陈明等：基于LM的鲁棒H容错动态输出反馈控制设计 .649. (t)=(A+AA)x(t)+B1w(t)+ 其中，x(t)为控制器状态.由式(1)和式(3)构成的 (B2+△B2)uF(t) 闭环系统为： (1) z(t)=Cix(t)+D1u(t) xcl(t)=Acixel(t)+Beiw(t) (4) y(t)=C2x(t)+D21w(t) z(t)=Cexel 其中， 其中，x(t)∈R",u(t)∈Rm,z(t)∈RP,y(t)∈R9 xe(t)=[xT(t)x(t)]T, 分别为系统的状态向量、控制输入向量、控制输出向 量和量测输出向量；“(t)表示具有执行器故障的 「Acl Bel1 控制输入向量，满足uF(t)=Mu(t);w(t)∈R'能 量有限的外部干扰输入向量；A、B1、B2、C1、C2、 T「A+△A(B2+△B2)MCe1「 B D12和D21为适当维数的常值矩阵；△A、△B2分别表 L B.C2 LB.D21- 示参数的不确定性，且它们满足以下条件： [C1 D12MC] 0 定义1线性不确定系统(4)，对于系统参数不 [△A△B2]=L⊙(t)[E1E2] (2) 确定性及容许的执行器故障，给定一个常数Y>0, 其中，L、E1和E2是已知矩阵；O(t)是具有适当维 若存在动态输出反馈控制器K(s),使得下列条件 数的未知函数矩阵，其元素是Lebesgue可观测的， 满足： 且满足⊙(t)⊙(t)≤I. (1)闭环系统的所有极点均位于复平面的左半 本文采用文献[2]提出的连续型执行器故障模 平面， 式.该故障模型既包含离散故障模型，又表示离散 (2)从扰动输入w(t)到被控输出z(t)的传递 故障模型不能表示的故障情况.定义故障阵： 函数矩阵满足‖Gw(s)‖0,有 常；0≤mh0,使得 N=diag(n1,n2,…,nm）. BR1 URI+B1R2UR20,满足如下矩阵 moi 不等式： 由此得：M=Mo(I+N),|N≤J≤I. ATP+PA+y-2PBBTP+CTC0, 出z(t)的传递函数矩阵G(s)满足‖Gm(s)‖m< 若存在正常数e1、e2以及对称正定矩阵X、Y和矩 Y,其中Y是预先给定的干扰衰减指标. 阵A、B、d,使得下列矩阵不等式组LMs存在可行 对于系统(1)，设其动态输出反馈控制器为： 解： sc(t)=Acxe(t)+Bcy(t) (3) (5) u(t)=C.x
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.650, 北京科技大学学报 第31卷 元11 π21 π22 0 LTY -1。 0 π42 0 -e21I 米 r(X,Y,A,B,C,e1,e2)= BT 元52 0 0 -YI 0可以等价写成如下 形式： T21=AT+A+62 YB2 MoJMOBI, U-(XYX-X)U-T-VTY-1V>0 (9) 22=YA+ATY+BC2+(BC2)T, 把式(8)代入式(9)中，整理可以得到： π42=JiM6B5Y,π2=(YB1+BD21)T, U-(XYX-X)U-T-VTY-1V= U-[XYX-X-(I-XY)Y-1(I-YX)]U-T= 61=C1X+D12MoC+E2D12MoJMGB2, U-1(x-Y1)U-T>0, π62=C1+e2D12 MoJMo B7Y, 即X-Y-1>0,所以得到式(5). 66=-yI+E2D12MoJMO D12, 根据引理3，‖G2w（s)‖0,满足如下不等 式： π2=e2E2MoJM0BiY,π76=e2E2MoJM6D, Ad Xe+XclAcl+y2XeBe BaXel+CaCel<0 =-261I+62E2MoJME o=J (10) 如果上述矩阵不等式组的可行解为X“、Y“、 也就是 X、B·和C,则故障系统(4)在H指标约束下 AdXe+XelAd< 的鲁棒容错动态输出反馈控制器各参数如下： -Y2XcBe BaXel-CaCel<0, Ac=V-1(X”-Y"AX"- 所以A日X+XA是负定的，即A1为负定的，系 统为渐近稳定的，将式(10)写成如下形式： Y'B2MoC'-B'C2X*)U-T (7) 「AXa+XeAa XelBel C B。=V-1B* BaXd -yI 0<0(11) C。=d"U-T Cel 0 -YI 证明设X具有如下形式： 令变换矩阵： vrU-l(xYx-x)U-T小 g-[=X-0] 02)
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第5期 陈明等：基于LMⅫ的鲁棒H~容错动态输出反馈控制设计 .651. 将式（11)两边分别左乘diag(T,0,0)和右乘 定义： diag(g1,0,0),有 TET(AaXa+XclAe)E1 EIXcBe ETCa] p11 里0= BeXelE1 0 <0 Ψ1= 21 p22 Ce31 0 -yl BT (YB+BD21)T] -YI (13) 将式(12)代入式(13)中，经推导得到： [CX+D2MC C]0-YI 「[中11+△11 (15) Lφ21+421中2+△2 其中 Ψ0= <0 [BT (YB1+VB.D21)T]-yI u1=AX+XAT+B2M+(B2MC)T L[C1X+D12MC.UT C]0-yI (14) 21=AT++YB2MC 其中 22=YA+ATY+BC2+(BC2)T (1=AX+XAT+B2MC.UT+(B2MC.UT)T 根据式(2)，里。可以改写成： 21=AT+YAX+VB.C2X+YB2 MC.UT+VA.UT 「L1 22=YA +ATY+VB.C2+(VB.C2)T 41=△AX+XAAT+△B2MCUT+(△B2MC.UT)T 里0=平1+ 0 o(t)[(E1+E2MC)E:00]+ 421=△AT+Y△AX+Y△B2MCUT T A22=Y△A+△ATY 引入如下矩阵变换： YL o(t)[(E1+E2Md)E100] <0 0 A=YAX+VB C2X+VA.UT 0 B=VBe 由引理1和矩阵Schur补性质可知，对任意满足 d=C.UT ⑧T(t)⊙(t)≤I,存在正常数e1使得： 中1+e1LLT 21+61YLLT 中2+e1 YLLTY Ψ0≤ Bi (YB1+BD21)T-yI 关 =里2 C1X+D12Md C1 0 -yI E1+E2Md E1 0 0 设 Ψ3= AX+XAT+B2Mo@+(B2MoC)T+eLLT AT+A+E1YLLT YA+ATY+BC2+(BC2)T+YLLTY BT CiX+D12MoC Ci 0 -yI E1+E2MoC E1 0 0 (16)
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.652 北京科技大学学报 第31卷 其中A=A+YB2MC 进一步考虑执行器故障M=Mo(I+N),有 B2Mo B2Mo T YB2Mo YB2Mo Ψ2=里3+ 0 N[0000]+ 0 N[d0000] (17) D12Mo D12M0 LE2Mo E2Mo 根据引理2，有 +T+B2Mo0+(B2Mo0)T:LT+E282MoMG B2 T+t:1uT+t2B2MowG过 ATC2+C2)T1TV+:22MOMG2Y T (B1+021T CI+D12MoD2M C1*:2D12MoBY M+2D12MMD12 (E1+E2Mo)+E2E2MoM6 B2 E1+2E2MoMO B7Y 0 1252MoMD12112E2MONG E o 0 21 0 J[d0000] (18) 0 0 由矩阵Schur补性质，可将上式等价变为： +T+B2MO0+(B2Mo0TLT+E2B2MoMB2 T,i1uT+e22o6明 +ATY+C2)TTY+E22MMGB2Y 旺 (B+iDznT - G1Il2Mod+212MoG设 C+:2D12MBY 1-212063 (E1+E2Mo+M E1+2F2MoMGBZY 0 226E-1+22MM65 0 0 -2 (19) 利用矩阵Schur补性质可以把式(I9)等效变换成式 3 仿真实例验证 (6),定理1获证. 根据定理1，给出不确定系统(4)在执行器故障 某钢铁集团热连轧活套系统的标称系统数学模 下的鲁棒容错动态输出反馈控制器的设计步骤： 型为： (1)给定H。干扰指标Y>0,选取适当正常数 (t)=Ax(t)+B2u(t) e1,e2,利用LMI工具箱中的Feasp求解矩阵不等式 y(t)=C2x(t) (5)和(6)； (2)若上述不等式组有解，则从任意一个可行 名 解出发，通过SVD技术，对矩阵UVT=I-XY进 x= 行奇异值分解，确定两个满秩矩阵U、V； (3)利用式(7)求得动态输出反馈控制器各参 数
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第5期 陈明等：基于LMⅫ的鲁棒H~容错动态输出反馈控制设计 .653. T 0 0 0 0 o 0 0 0 0.1 0 1 0 0 0 0 0 0 M 07 D12=00 ,D21= ,L= 0.1 0 -元 0 0 00 0.1 0 L0」 0 K Ma KMe JL 01J 0 0 0 1 0 E1=[0.10.500.10], E2=[0.10.1]. T 0 执行器故障模型Mo=diag{0.975,1{,J= 0 M diag0.0256,0.这里取y=1,e1=10,e2=10,根 0 据定理1，求得： 0 X= 0 0 0 1.5782 0.1875 1.77261.3829 -0.1692 0.1875 3.2573 0.5657-0.2731-0.1244 1.7726 0.5657 6.9094-0.8912 0.1366 M 0 0 1 007 1.3829-0.2731-0.8912 6.5732-0.8059 3=Lo]- o 0 00 1」 -0.1692-0.1244 0.1366-0.8059 0.6042 Y= 2.9685 0.0640 -0.1544-0.1100 -0.0236 其中，状态变量x=[vM。a]T分别为带 0.0640 5.0805 0.0598 4.9034-0.5506 钢出口速度、活套电枢力矩、机架之间带钢张力、活 -0.1544 0.059830.0522 -0.1489-6.2423 套电机转速和活套高度（角度），详细定义参见文献 -0.1100 4.9034-0.148910.7942-0.1093 [11].考虑系统参数摄动及外界干扰输入，系统(1) L-0.0236-0.5506-6.2423-0.109336.9729」 中各参数取值如下： 动态输出反馈控制器各参数为： A= A。=103× -0.0229 0.0128 -11.3 0 0 0 -0.0091 0 -0.2119 -0.0002 0 -30.86 0 0 0 0.0770 0.0263 -0.0028 -0.0241 -0.0022 210 0 -75.31 -55.25 4.0659 0.3169 -0.0411 -0.4003 -0.0086 -0.5313-7.142 -4.167 0.0568 0.0823 0 0.0522-0.0519-0.0023 20.83 0 0 -0.8494 -0.0727 0.0158 0 1 0.0903 0.0010 -6.3225 1.3099 0.1 12.32 0 7 0.0076 0.0026 0.1 0 15.43 B。=103× 2.2302 -0.2298 B1=0.1,B2= 0 0 1.6517 -0.3426 0.1 0 0 -0.2472 -0.0305 0.1 0 0 C.= 「100007 -1.1174 -0.0368-7.4938 0.7816-0.12097 01000 L0.3038 3.5787 0.0179-3.2608-0.1385」 0 0100 通过MATLAB程序，可以求得闭环系统的极 「001007 C1= 00010,C2= L00001 点为：-30.53，-1.79，-1.07，-6.47，-13.21 00001 ±11.38i,-36.97±44i,-36.51±938.03i.因此 00000 可知系统是渐近稳定的.图1表示系统在执行器故 00000 障模式下活套张力和高度的状态响应曲线.从图中
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.654 北京科技大学学报 第31卷 可以看出，系统在发生故障的情况下仍能可以保证 [2]Yao B.Wang F Z.Zhang Q L.LMI-based design of reliable 系统的渐近稳定性，更进一步说明本文给出的动态 tracking controller.Acta Autom Sin,2004.30(6):863 (姚波，王忠福，张庆灵，基于LM可靠跟踪控制器设计.自 输出反馈控制器的有效性 动化学报，2004,30(6)：863) 1.5 [3]Jin X Z.Yang G H.Robust fault tolerant control via linear frac- tional transformations//16th IEEE International Conference on Control Applications.CCA 2007:Part of IEEE Multi-confer- 1.0 ence on Systems and Conrol.,Singapore,Kent Ridge,2007: 640 6 [4]Zhou K M.Zhang R.A new controller architecture for high per- 0.5 formance robust and fault-tolerant control.IEEE Trans A utom Control..2001,46(10):1613 [5]Seo C J.Kim B K.Design of robust reliable Hoooutput feedback control for a class of uncertain linear systems with sensor failure- s 1 nt J Syst Sei,1996.27(10):963 [6]Seo C J.Kim B K.Robust and reliable Hoo control for linear sys- 图1故障时张力σ和套高的响应曲线 tems with parameter uncertainty and actuator failure.A utomati- FigI Response curves of tension and looper height 0 with faults ca,1996,32(3):465 [7]Liao F.Wang J L.Yang G H.Reliable robust flight tracking 4结论 control:an LMI approach.IEEE Trans Control Syst Technol, 2002,10(1):76 本文研究了线性不确定系统在执行器失效情况 [8]Li X,De SouzaC E.Delay-dependent stability and stabilization of 下的动态输出反馈H∞鲁棒容错控制设计问题，利 uncertain linear delay systems:A linear matrix inequalities ap 用线性矩阵不等式LMI提出了系统动态输出反馈 proach.IEEE Trans Autom Control.1997.42(8):1144 H∞容错控制器存在的充分条件，并给出了控制器 [9]Zhang G.Han X L.Wang Z Q.Dynamic output feedback reliable control with pole and state variance constraints.Control Decis, 的设计方法，文中所获得的控制器不仅能使故障系 2007,22(3):289 统鲁棒稳定，并且能达到给定的H∞性能指标，仿 (张刚，韩祥兰，王执铨·极点与状态方差约束下的动态输出 真示例验证了所提出设计方法的有效性， 反馈可靠控制.控制与决策，2007,22(3)：289) [10]Mita T.Hee Control.Tokyo:Shokodo Co Ltd,1995 参考文献 [11]Fu X J.Tong C N.Zong S Y.Hoo control and simulation study [1]Fahmida A F,Chowdhury N.A robust fault tolerant control for loop system of hot strip rolling mill.JSyst Simul.2006. strategy for a class of nonlinear uncertain systems//Proceedings of 18(1):162 the 2006American Control Conference Minneapolis.Minnesota. (付兴建，童朝南，宗胜悦，带钢热连轧活套系统的H∞控制 2006,5474 及仿真研究.系统仿真学报，2006,18(1)：162)
可以看出系统在发生故障的情况下仍能可以保证 系统的渐近稳定性更进一步说明本文给出的动态 输出反馈控制器的有效性． 图1 故障时张力 σ和套高θ的响应曲线 Fig．1 Response curves of tension σand looper height θwith faults 4 结论 本文研究了线性不确定系统在执行器失效情况 下的动态输出反馈 H∞鲁棒容错控制设计问题．利 用线性矩阵不等式 LMI 提出了系统动态输出反馈 H∞容错控制器存在的充分条件并给出了控制器 的设计方法．文中所获得的控制器不仅能使故障系 统鲁棒稳定并且能达到给定的 H∞ 性能指标．仿 真示例验证了所提出设计方法的有效性． 参 考 文 献 ［1］ Fahmida A FChowdhury N．A robust fault tolerant control strategy for a class of nonlinear uncertain systems∥ Proceedings of the2006A merican Control Conference Minneapolis．Minnesota 2006：5474 ［2］ Yao BWang F ZZhang Q L．LMI-based design of reliable tracking controller．Acta A utom Sin200430（6）：863 （姚波王忠福张庆灵．基于 LMI 可靠跟踪控制器设计．自 动化学报200430（6）：863） ［3］ Jin X ZYang G H．Robust fault-tolerant control via linear fractional transformations∥16th IEEE International Conference on Control ApplicationsCCA 2007：Part of IEEE Multi-conference on Systems and Control．SingaporeKent Ridge2007： 640 ［4］ Zhou K MZhang R．A new controller architecture for high performance robust and fault-tolerant control．IEEE T rans A utom Control200146（10）：1613 ［5］ Seo C JKim B K．Design of robust reliable H∞ output feedback control for a class of uncertain linear systems with sensor failure． Int J Syst Sci199627（10）：963 ［6］ Seo C JKim B K．Robust and reliable H∞ control for linear systems with parameter uncertainty and actuator failure．A utomatica199632（3）：465 ［7］ Liao FWang J LYang G H．Reliable robust flight tracking control：an LMI approach．IEEE T rans Control Syst Technol 200210（1）：76 ［8］ Li XDe Souza C E．Delay-dependent stability and stabilization of uncertain linear delay systems：A linear matrix inequalities approach．IEEE T rans A utom Control199742（8）：1144 ［9］ Zhang GHan X LWang Z Q．Dynamic output feedback reliable control with pole and state variance constraints．Control Decis 200722（3）：289 （张刚韩祥兰王执铨．极点与状态方差约束下的动态输出 反馈可靠控制．控制与决策200722（3）：289） ［10］ Mita T．H∞ Control．Tokyo：Shokodo Co Ltd1995 ［11］ Fu X JTong C NZong S Y．H∞ control and simulation study for loop system of hot strip rolling mill．J Syst Simul2006 18（1）：162 （付兴建童朝南宗胜悦．带钢热连轧活套系统的 H∞控制 及仿真研究．系统仿真学报200618（1）：162） ·654· 北 京 科 技 大 学 学 报 第31卷