D0I:10.13374/i.i8sn1001t153.2011.08.020 第33卷第9期 北京科技大学学报 Vol 33 No 9 2011年9月 Journal of Un iversity of Science and Techno lgy Beijing Sp2011 轴对称荷载作用下圆形隧道围岩变形解析 崔芳12* 高永涛2)吴顺川2) 1)河南理工大学土木学院，河南4540002)北京科技大学土木与环境工程学院，北京100083 *通信作者，Email cuixfang163cm 摘要根据隧道开挖后围岩中三向应力状态的渐变规律，分析了围岩的变形特性，对隧道围岩进行了合理分区.基于双剪 统一强度理论中针对岩土材料提出的双剪三参数准则，推导了轴对称荷载下圆形隧道围岩中塑性区应力场、应变场、支护力 和塑性区半径的解析解.经实例分析表明，所选强度理论符合岩体材料自身特殊的强度特性，考虑了中间主应力的影响，分析 结果贴近围岩的真实状态· 关键词隧道；岩体：变形：轴对称荷载：解析解 分类号U451.2 Ana lytic so ltions for surround ing rock m ass defom ation of circu lar tunnels subjected to ax isymm etric loads CUI Fang,GAO Yong"tao,WU Shun"chuan 1)School ofCivil Engneering Henan Polytechnic University Henan 454000.China 2)School ofCivil and Envimmmental Engineering University of Science and Technobgy Beijing Beijing 100083 China *Corresponding author Email cuixfing@163.com ABSTRACT Acconding to the gradual defomation principle of surrounding rock mass under the in"situ threediensional stress con- dition after tunnel excavation the defomation characteristics of the rock mass was analyzed and the mock mass was zoned rationally It is assum ed that the rock mass is govemed by the w in shear stress threeparameter criterion in the un ified strength theory The analyti- cal soltions of sae factors were deduced under axisymmetric bads inclding the stress fiel strain fiel support force and plastic radius in the plastic zone The case analysis result shows that this selected strength theory matches to the actual strength characteristics of the rock mass due to tak ing the effect of intemediate principal stress in to account KEY WORDS tunnels rock mass defomation:axisymmetric boading analytical solutions 隧道围岩变形及围岩压力的弹塑性分析是工程 零，首次推导了具有内压力和远场应力的弹性理 支护参数设计的理论基础，围岩塑性区大小和围岩 想塑性材料构成的圆形隧道的Fenner公式，给出了 变形量是反映隧道围岩稳定性的主要指标，针对岩 塑性区范围，Kasinerx对其进行了修正可.随后出现 石材料特殊的物理力学性质，需要综合考虑其所处 了一些基于线性MohrCoulamb强度理论的以弹- 的复杂应力环境、地应力实际状态、岩石的应变软化 脆塑性模型和弹性应变软化模型为主的力学模 和扩容等变形特性的影响，采用合适的强度理论、本 型.国内俞茂宏等[一应用双剪统一强度理论得出 构模型进行隧道围岩弹塑性解析研究，其中强度理 压力隧道、一般圆形隧道极限荷载统一解，在一定程 论的选择是获取符合实际解析解的决定性因素，国 度上考虑了中间主应力的影响，减少了计算误差，降 内外学者就此问题做了大量的研究一).轴对称荷 低了工程成本，本文在分析三轴应力作用下围岩变 载作用下，Fenner将岩体视为理想弹塑性介质，使用 形特性的基础上，选用俞茂宏双剪统一强度理论中 线性Mohr Coulab强度理论，并假定体积应变为 的双剪三参数准则，推导了轴对称荷载下圆形隧道 收稿日期：2010-09-07 基金项目：国家高技术研究发展计划资助项目(SQ2008AA11Z1469936)
第 33卷 第 9期 2011年 9月 北 京 科 技 大 学 学 报 ＪｏｕｒｎａｌｏｆＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙＢｅｉｊｉｎｇ Ｖｏｌ．33Ｎｏ．9 Ｓｅｐ．2011 轴对称荷载作用下圆形隧道围岩变形解析 崔 芳 12）* 高永涛 2） 吴顺川 2） 1） 河南理工大学土木学院河南 454000 2） 北京科技大学土木与环境工程学院北京 100083 * 通信作者Ｅ-ｍａｉｌ：ｃｕｉｘｆａｎｇ＠163．ｃｏｍ 摘 要 根据隧道开挖后围岩中三向应力状态的渐变规律分析了围岩的变形特性对隧道围岩进行了合理分区．基于双剪 统一强度理论中针对岩土材料提出的双剪三参数准则推导了轴对称荷载下圆形隧道围岩中塑性区应力场、应变场、支护力 和塑性区半径的解析解．经实例分析表明所选强度理论符合岩体材料自身特殊的强度特性考虑了中间主应力的影响分析 结果贴近围岩的真实状态． 关键词 隧道；岩体；变形；轴对称荷载；解析解 分类号 Ｕ451 ＋∙2 Ａｎａｌｙｔｉｃｓｏｌｕｔｉｏｎｓｆｏｒｓｕｒｒｏｕｎｄｉｎｇｒｏｃｋｍａｓｓｄｅｆｏｒｍａｔｉｏｎｏｆｃｉｒｃｕｌａｒｔｕｎｎｅｌｓ ｓｕｂｊｅｃｔｅｄｔｏａｘｉｓｙｍｍｅｔｒｉｃｌｏａｄｓ ＣＵＩＦａｎｇ 12）* ＧＡＯＹｏｎｇ-ｔａｏ 2）ＷＵＳｈｕｎ-ｃｈｕａｎ 2） 1） ＳｃｈｏｏｌｏｆＣｉｖｉｌＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇＨｅｎａｎＰｏｌｙｔｅｃｈｎｉｃＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙＨｅｎａｎ454000Ｃｈｉｎａ 2） ＳｃｈｏｏｌｏｆＣｉｖｉｌａｎｄＥｎｖｉｒｏｎｍｅｎｔａｌＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙＢｅｉｊｉｎｇＢｅｉｊｉｎｇ100083Ｃｈｉｎａ * ＣｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇａｕｔｈｏｒＥ-ｍａｉｌ：ｃｕｉｘｆａｎｇ＠163．ｃｏｍ ＡＢＳＴＲＡＣＴ Ａｃｃｏｒｄｉｎｇｔｏｔｈｅｇｒａｄｕａｌｄｅｆｏｒｍａｔｉｏｎｐｒｉｎｃｉｐｌｅｏｆｓｕｒｒｏｕｎｄｉｎｇｒｏｃｋｍａｓｓｕｎｄｅｒｔｈｅｉｎ-ｓｉｔｕｔｈｒｅｅ-ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌｓｔｒｅｓｓｃｏｎ- ｄｉｔｉｏｎａｆｔｅｒｔｕｎｎｅｌｅｘｃａｖａｔｉｏｎｔｈｅｄｅｆｏｒｍａｔｉｏｎｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓｏｆｔｈｅｒｏｃｋｍａｓｓｗａｓａｎａｌｙｚｅｄａｎｄｔｈｅｒｏｃｋｍａｓｓｗａｓｚｏｎｅｄｒａｔｉｏｎａｌｌｙ．Ｉｔ ｉｓａｓｓｕｍｅｄｔｈａｔｔｈｅｒｏｃｋｍａｓｓｉｓｇｏｖｅｒｎｅｄｂｙｔｈｅｔｗｉｎｓｈｅａｒｓｔｒｅｓｓｔｈｒｅｅ-ｐａｒａｍｅｔｅｒｃｒｉｔｅｒｉｏｎｉｎｔｈｅｕｎｉｆｉｅｄｓｔｒｅｎｇｔｈｔｈｅｏｒｙ．Ｔｈｅａｎａｌｙｔｉ- ｃａｌｓｏｌｕｔｉｏｎｓｏｆｓｏｍｅｆａｃｔｏｒｓｗｅｒｅｄｅｄｕｃｅｄｕｎｄｅｒａｘｉｓｙｍｍｅｔｒｉｃｌｏａｄｓｉｎｃｌｕｄｉｎｇｔｈｅｓｔｒｅｓｓｆｉｅｌｄｓｔｒａｉｎｆｉｅｌｄｓｕｐｐｏｒｔｆｏｒｃｅａｎｄｐｌａｓｔｉｃ ｒａｄｉｕｓｉｎｔｈｅｐｌａｓｔｉｃｚｏｎｅ．Ｔｈｅｃａｓｅａｎａｌｙｓｉｓｒｅｓｕｌｔｓｈｏｗｓｔｈａｔｔｈｉｓｓｅｌｅｃｔｅｄｓｔｒｅｎｇｔｈｔｈｅｏｒｙｍａｔｃｈｅｓｔｏｔｈｅａｃｔｕａｌｓｔｒｅｎｇｔｈｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓ ｏｆｔｈｅｒｏｃｋｍａｓｓｄｕｅｔｏｔａｋｉｎｇｔｈｅｅｆｆｅｃｔｏｆｉｎｔｅｒｍｅｄｉａｔｅｐｒｉｎｃｉｐａｌｓｔｒｅｓｓｉｎｔｏａｃｃｏｕｎｔ． ＫＥＹＷＯＲＤＳ ｔｕｎｎｅｌｓ；ｒｏｃｋｍａｓｓ；ｄｅｆｏｒｍａｔｉｏｎ；ａｘｉｓｙｍｍｅｔｒｉｃｌｏａｄｉｎｇ；ａｎａｌｙｔｉｃａｌｓｏｌｕｔｉｏｎｓ 收稿日期：2010--09--07 基金项目：国家高技术研究发展计划资助项目 （ＳＱ2008ＡＡ11Ｚ1469936） 隧道围岩变形及围岩压力的弹塑性分析是工程 支护参数设计的理论基础围岩塑性区大小和围岩 变形量是反映隧道围岩稳定性的主要指标．针对岩 石材料特殊的物理力学性质需要综合考虑其所处 的复杂应力环境、地应力实际状态、岩石的应变软化 和扩容等变形特性的影响采用合适的强度理论、本 构模型进行隧道围岩弹塑性解析研究其中强度理 论的选择是获取符合实际解析解的决定性因素．国 内外学者就此问题做了大量的研究 ［1－6］．轴对称荷 载作用下Ｆｅｎｎｅｒ将岩体视为理想弹塑性介质使用 线性 Ｍｏｈｒ-Ｃｏｕｌｏｍｂ强度理论并假定体积应变为 零首次推导了具有内压力和远场应力的弹性--理 想塑性材料构成的圆形隧道的 Ｆｅｎｎｅｒ公式给出了 塑性区范围Ｋａｓｔｎｅｒ对其进行了修正 ［7］．随后出现 了一些基于线性 Ｍｏｈｒ-Ｃｏｕｌｏｍｂ强度理论的以弹-- 脆--塑性模型和弹性--应变软化模型为主的力学模 型．国内俞茂宏等 ［4－6］应用双剪统一强度理论得出 压力隧道、一般圆形隧道极限荷载统一解在一定程 度上考虑了中间主应力的影响减少了计算误差降 低了工程成本．本文在分析三轴应力作用下围岩变 形特性的基础上选用俞茂宏双剪统一强度理论中 的双剪三参数准则推导了轴对称荷载下圆形隧道 DOI :10．13374／j．issn1001－053x．2011．09．020
,1044, 北京科技大学学报 第33卷 围岩内应力场、应变场、支护力和塑性区半径的解析 1 解，并结合算例验证其合理性，在此讨论的地下隧 FP1中b(o1十b2)-ag=0, 道埋深在10km以内，岩体开挖前处在原岩弹性 当≥1十时 1+a (2) 状态 式中：61、62和03分别为主平面上作用着的三个主 1双剪三参数准则 应力，通常按代数值大小排列为o1>o2>o3;a为 材料单轴强度拉压比：b为中间主剪应力及其作用 1.1强度理论的选择 面上的法向正应力对材料破坏的影响程度；·，为材 岩石材料具有独特的强度特征，主要有中间主 料的单轴抗拉强度， 应力效应、中间主应力效应的区间性和拉压差效应 对于适合该理论的材料，可提高15%到33%的 等，选用符合岩石自身实际的强度理论是正确进行 材料强度极限，从而更好发挥材料的强度潜力，取得 围岩弹塑性力学分析的基础，几百年来各国学者提 更大的经济效益.文献[4一6]均选用双剪统一强度 出了许多强度理论及准则，目前岩土类材料中应用 理论的表达式(1)和(2)对围岩弹塑性进行了分析， 最广的屈服准则和强度理论有Tresca准则、M ises?准 取得了较合理的围岩弹塑性统一解，事实上，式(1) 则、M ohr Coukomb强度理论和Dnucker Prager理论， 和(2)只适用于拉伸强度与压缩强度不等的材料， 其中Tresca准则和Mohr Coukmb强度理论没有考 与实际岩体的特性并不能很好吻合，俞茂宏考虑到 虑中间主应力的作用，在实际工程中偏于保守； 岩土材料单轴拉伸强度σ、单轴压缩强度σ。和双 Mise谁则和Dnucker Prager理论的表达式中包含了 向等压强度σ都不相等的特性，在双剪统一强度理 三个主应力，但当把它们转换为应力不变量表达式 论中引入三个强度参数，即双剪应力三参数准则， 时，其强度极限面的拉伸子午线和压缩子午线不能 1.2双剪应力三参数准则 同时匹配，更没有体现出中间主应力的区间效应 双剪应力三参数准则的表达式为： 近年俞茂宏提出了双剪统一强度理论，考虑了 中间主应力效应，能够反映中间主应力效应的区间 F-e-(0to) 2m=C 性，具有清晰而明确的物理概念，且数学表达式简 当2o≤3(61-o3)十o1十o3时 (3) 单，所要求的材料性能试验量少而简便易行，理论符 合于试验结果[⑧).双剪统一强度理论在应力空间π a+)-号+周 平面的极限面形状如图1所示，统一强度理论极限 当2o≥B(o1-63)十o1十3时 (4) 面是最大范围极限面，MohrCoulomb极限面是最小 式中，B为反映正应力对材料破坏的影响参数，α为 范围极限面，其余强度理论则介于两者之间， 静水应力对材料破坏的影响参数，。为静水应力， C为反映材料强度的参数， 双剪统强度理论 1.3三参数的标定 参数的选取一方面须尽可能趋近三轴状态，另 一方面必须在试验中容易实现，设σ为等向围压， 其他强度理论 o为轴向压力，则： (1)单向压缩，01=62=0,03=一0： Mohr-Coulomh (2)双向等压，61=002=03=一0 (3)普通三轴压缩，01=02=一0,03=一0m 图1π平面上强度理论极限面 Fig 1 Lin it srfaces of strength theories in the plane (a-1).一(o1十a+a)得到 双剪统一强度理论的表达式为： B=[3a.十ae(a-1-4ae)] F=011,(0:十a)=0, a=6a(ace-1)/. C=2 dee dm G。/Y 当K封 1.4极坐标下的表达式 (1) 使用极坐标计算圆形隧道围岩比直角坐标方便
北 京 科 技 大 学 学 报 第 33卷 围岩内应力场、应变场、支护力和塑性区半径的解析 解并结合算例验证其合理性．在此讨论的地下隧 道埋深在 10ｋｍ以内岩体开挖前处在原岩弹性 状态． 1 双剪三参数准则 1∙1 强度理论的选择 岩石材料具有独特的强度特征主要有中间主 应力效应、中间主应力效应的区间性和拉压差效应 等．选用符合岩石自身实际的强度理论是正确进行 围岩弹塑性力学分析的基础．几百年来各国学者提 出了许多强度理论及准则目前岩土类材料中应用 最广的屈服准则和强度理论有 Ｔｒｅｓｃａ准则、Ｍｉｓｅｓ准 则、Ｍｏｈｒ-Ｃｏｕｌｏｍｂ强度理论和 Ｄｒｕｃｋｅｒ-Ｐｒａｇｅｒ理论． 其中 Ｔｒｅｓｃａ准则和 Ｍｏｈｒ-Ｃｏｕｌｏｍｂ强度理论没有考 虑中间主应力的作用在实际工程中偏于保守； Ｍｉｓｅｓ准则和 Ｄｒｕｃｋｅｒ-Ｐｒａｇｅｒ理论的表达式中包含了 三个主应力但当把它们转换为应力不变量表达式 时其强度极限面的拉伸子午线和压缩子午线不能 同时匹配更没有体现出中间主应力的区间效应． 近年俞茂宏提出了双剪统一强度理论考虑了 中间主应力效应能够反映中间主应力效应的区间 性具有清晰而明确的物理概念且数学表达式简 单所要求的材料性能试验量少而简便易行理论符 合于试验结果 ［8］．双剪统一强度理论在应力空间 π 平面的极限面形状如图 1所示统一强度理论极限 面是最大范围极限面Ｍｏｈｒ-Ｃｏｕｌｏｍｂ极限面是最小 范围极限面其余强度理论则介于两者之间． 图 1 π平面上强度理论极限面 Ｆｉｇ．1 Ｌｉｍｉｔｓｕｒｆａｃｅｓｏｆｓｔｒｅｎｇｔｈｔｈｅｏｒｉｅｓｉｎｔｈｅπｐｌａｎｅ 双剪统一强度理论的表达式为： Ｆ＝σ1－ ａ 1＋ｂ （ｂσ2＋σ3）＝σｔ 当 σ2≤ σ1＋ａσ3 1＋ａ 时 （1） Ｆ＝ 1 1＋ｂ （σ1＋ｂσ2）－ａσ3＝σｔ 当 σ2≥ σ1＋ａσ3 1＋ａ 时 （2） 式中：σ1、σ2和 σ3分别为主平面上作用着的三个主 应力通常按代数值大小排列为 σ1 ＞σ2 ＞σ3；ａ为 材料单轴强度拉压比；ｂ为中间主剪应力及其作用 面上的法向正应力对材料破坏的影响程度；σｔ为材 料的单轴抗拉强度． 对于适合该理论的材料可提高 15％到 33％的 材料强度极限从而更好发挥材料的强度潜力取得 更大的经济效益．文献 ［4－6］均选用双剪统一强度 理论的表达式 （1）和 （2）对围岩弹塑性进行了分析 取得了较合理的围岩弹塑性统一解．事实上式 （1） 和 （2）只适用于拉伸强度与压缩强度不等的材料 与实际岩体的特性并不能很好吻合．俞茂宏考虑到 岩土材料单轴拉伸强度 σｔ、单轴压缩强度 σｃ和双 向等压强度 σｃｃ都不相等的特性在双剪统一强度理 论中引入三个强度参数即双剪应力三参数准则． 1∙2 双剪应力三参数准则 双剪应力三参数准则的表达式为： Ｆ＝σ1－ 1 2 （σ2＋σ3）＋ β 2 σ1＋ α＋ 3β 2 σｍ ＝Ｃ 当 2σ2≤β（σ1－σ3）＋σ1＋σ3时 （3） Ｆ＝ 1 2 （σ1＋σ2）－σ3＋ β 2 σ3＋ α＋ 3β 2 σｍ ＝Ｃ 当 2σ2≥β（σ1－σ3）＋σ1＋σ3时 （4） 式中β为反映正应力对材料破坏的影响参数α为 静水应力对材料破坏的影响参数σｍ 为静水应力 Ｃ为反映材料强度的参数． 1∙3 三参数的标定 参数的选取一方面须尽可能趋近三轴状态另 一方面必须在试验中容易实现设 σｒｃ为等向围压 σ′ｒｃ为轴向压力则： （1） 单向压缩σ1＝σ2＝0σ3＝－σｃ； （2） 双向等压σ1＝0σ2＝σ3＝－σｃｃ； （3） 普通三轴压缩σ1＝σ2＝－σｒｃσ3＝－σｒ′ｃ． 令 ａｃｃ ＝ σｃｃ σｃ ａｒｃ ＝ σｒｃ σｃ ａ′ｒｃ ＝ σ′ｒｃ σｃ γ＝ａｒｃ ＋ａｃｃ （ａ′ｒｃ－1）σｍ ＝ 1 3 （σ1＋σ2＋σ3）得到 β＝［3ａｒｃ＋ａｃｃ（ａ′ｒｃ－1－4ａｒｃ） ］／γ α＝6ａｒｃ（ａｃｃ－1）／γ Ｃ＝2ａｃｃａｒｃσｃ／γ． 1∙4 极坐标下的表达式 使用极坐标计算圆形隧道围岩比直角坐标方便 ·1044·
第9期 崔芳等：轴对称荷载作用下圆形隧道围岩变形解析 .1045. 许多.隧道围岩一般情况下·。>σ，（断面上的切向 应力和径向应力)，假设塑性区围岩体积应变为零 1 (e,=0)令g=01,0,=2=2(1十03)0，= G3,且满足2o≤3(o1一o3)十o1十c3,采用双剪应 力三参数准则式(3)，其极坐标下表达式为 ,=(3-2a-38)o+4c 塑性区 3+2a+53 (5) 由于地下岩体处在三向压应力作用下的相对平 弹性区 原岩弹性区 衡状态，而工程开挖后大部分围岩仍处在三向应力 作用下，统一强度理论中双剪三参数准则尤其能够 图2围岩变形分区 反映出围岩在三轴压缩状态下的强度特性，为地下 Fig 2 Defomation division of the rock mass 工程围岩应力状态分析的优选强度准则， 位移分量只在截面范围内变化，而不沿纵轴改变，属 2隧道围岩变形解析 于平面应变问题.ō和。，为切向和径向主应力， 和E,为切向和径向主应变，以右上角标e和p来区 2.1隧道围岩变形特性分析 分弹性区和塑性区参数，忽略围岩自重产生的影响， 隧道开挖前，岩体处于三向压应力平衡的原岩 山为隧道围岩的径向位移；E和μ为岩体的弹性模 弹性状态（¤>o,>o,)隧道开挖后，隧道壁岩体 量和泊松比；P为围岩内摩擦角，有实验表明，围岩 受力由三向变为两向，没有支护作用时6.(。)=0 发生塑性变形后，主要表现在黏结力显著降低，⑨值 平衡状态下物体受到的合力为零，若去掉其中一个 变化可忽略不计， 力后，物体所受合力大小与所去掉力相等，方向与之 极坐标系下平面应变问题的基本方程如下· 相反，因此隧道壁上任一点受力为径向力，方向垂 平衡方程： 直指向隧道中心轴线.由于岩体本身存在抗剪切摩 do+0,-00=0 擦的黏结力及剪切面上法向力产生的摩擦力，隧道 dr (6) r 壁没有立刻完全挤入洞中，建立支护作用前，只是在 几何方程： 蠕变等作用下沿径向产生一定松弛，由材料力学可 -业，e,-d (7) 知，洞壁必然出现应力集中现象，一般认为集中系数 dr 大于2而此时洞壁围岩强度明显低于开挖前，若应 物理方程： 力集中强度小于岩体强度，那么围岩将处于弹性稳 1-2 E 定状态；当应力超过围岩强度之后，隧道壁岩体将首 先塑性屈服，并逐渐向深部扩展，直至在一定深度取 E (8) 得三向应力平衡为止·隧道壁岩体受力屈服与实验 2.3塑性区的计算 室单轴压缩试验并不相同，有文献[一认为岩体全 假设围岩中某一点达到塑性状态，则它必须同 应力应变曲线与隧道围岩分区分别对应，实际地 时满足式(5)和式(6)，求解微分方程式(6)得 下隧道围岩可近似看作处在一个巨大的地质体中， 4a+83 部分隧道壁岩体受力超过其临时强度，发生屈服，随 h[4c-(4a+88)o,]=3+2a5hrt 即产生应力降.大部分围岩所处三轴应力环境中， (9) 很难发生实质性破裂（软岩环境除外） 将边界条件=，o,=p(支护力)代入式(9)得 由上述可得出围岩变形分区，见图2在D< G-4c-(4a+89n1+ga号n r<F范围内围岩塑性屈服，·，（)和围岩强度沿隧 道半径方向随增大而增大直到G,()=黯， (10) ≥的区域回归到原岩弹性区， 将式(10)代入式(9)并化简得 C 2.2理论基础 :pa+28 C a+28(11) 假定隧道任一截面中的应力分量、形变分量和 将式(11)代入式(5)得
第 9期 崔 芳等： 轴对称荷载作用下圆形隧道围岩变形解析 许多．隧道围岩一般情况下 σθ＞σｒ（断面上的切向 应力和径向应力 ）假设塑性区围岩体积应变为零 （εｖ＝0）令 σθ ＝σ1σｚ＝σ2 ＝ 1 2 （σ1 ＋σ3 ）σｒ＝ σ3且满足 2σ2≤β（σ1－σ3）＋σ1 ＋σ3采用双剪应 力三参数准则式 （3）其极坐标下表达式为 σθ＝ （3－2α－3β）σｒ＋4Ｃ 3＋2α＋5β （5） 由于地下岩体处在三向压应力作用下的相对平 衡状态而工程开挖后大部分围岩仍处在三向应力 作用下统一强度理论中双剪三参数准则尤其能够 反映出围岩在三轴压缩状态下的强度特性为地下 工程围岩应力状态分析的优选强度准则． 2 隧道围岩变形解析 2∙1 隧道围岩变形特性分析 隧道开挖前岩体处于三向压应力平衡的原岩 弹性状态 （σθ＞σｚ＞σｒ）．隧道开挖后隧道壁岩体 受力由三向变为两向没有支护作用时 σｒ（ｒ0）＝0． 平衡状态下物体受到的合力为零若去掉其中一个 力后物体所受合力大小与所去掉力相等方向与之 相反．因此隧道壁上任一点受力为径向力方向垂 直指向隧道中心轴线．由于岩体本身存在抗剪切摩 擦的黏结力及剪切面上法向力产生的摩擦力隧道 壁没有立刻完全挤入洞中建立支护作用前只是在 蠕变等作用下沿径向产生一定松弛．由材料力学可 知洞壁必然出现应力集中现象一般认为集中系数 大于2而此时洞壁围岩强度明显低于开挖前．若应 力集中强度小于岩体强度那么围岩将处于弹性稳 定状态；当应力超过围岩强度之后隧道壁岩体将首 先塑性屈服并逐渐向深部扩展直至在一定深度取 得三向应力平衡为止．隧道壁岩体受力屈服与实验 室单轴压缩试验并不相同有文献 ［9－10］认为岩体全 应力--应变曲线与隧道围岩分区分别对应．实际地 下隧道围岩可近似看作处在一个巨大的地质体中 部分隧道壁岩体受力超过其临时强度发生屈服随 即产生应力降．大部分围岩所处三轴应力环境中 很难发生实质性破裂 （软岩环境除外 ）． 由上述可得出围岩变形分区见图 2．在 ｒ0 ＜ ｒ＜ｒ ｐ范围内围岩塑性屈服σｒ（ｒ）和围岩强度沿隧 道半径方向随 ｒ增大而增大．直到 σｒ（ｒ ｅ ） ＝σ 原岩 ｒ ｒ≥ｒ ｅ的区域回归到原岩弹性区． 2∙2 理论基础 假定隧道任一截面中的应力分量、形变分量和 图 2 围岩变形分区 Ｆｉｇ．2 Ｄｅｆｏｒｍａｔｉｏｎｄｉｖｉｓｉｏｎｏｆｔｈｅｒｏｃｋｍａｓｓ 位移分量只在截面范围内变化而不沿纵轴改变属 于平面应变问题．σθ和 σｒ为切向和径向主应力εθ 和 εｒ为切向和径向主应变以右上角标 ｅ和 ｐ来区 分弹性区和塑性区参数忽略围岩自重产生的影响． ｕ为隧道围岩的径向位移；Ｅ和 μ为岩体的弹性模 量和泊松比；φ为围岩内摩擦角有实验表明围岩 发生塑性变形后主要表现在黏结力显著降低φ值 变化可忽略不计． 极坐标系下平面应变问题的基本方程如下． 平衡方程： ｄσｒ ｄｒ ＋ σｒ－σθ ｒ ＝0 （6） 几何方程： εθ＝ ｕ ｒ εｒ＝ ｄｕ ｄｒ （7） 物理方程： εθ＝ 1－μ 2 Ｅ σθ－ μ 1－μ σｒ εｒ＝ 1－μ 2 Ｅ σｒ－ μ 1－μ σθ （8） 2∙3 塑性区的计算 假设围岩中某一点达到塑性状态则它必须同 时满足式 （5）和式 （6）．求解微分方程式 （6）得 ｌｎ［4Ｃ－（4α＋8β）σｒ］ ＝－ 4α＋8β 3＋2α＋5β ｌｎｒ＋Ｃ1 （9） 将边界条件 ｒ＝ｒ0σｒ＝ｐ1（支护力 ）代入式 （9）得 Ｃ1＝ｌｎ［4Ｃ－（4α＋8β）ｐ1 ］ ＋ 4α＋8β 3＋2α＋5β ｌｎｒ0 （10） 将式 （10）代入式 （9）并化简得 σ ｐ ｒ＝ ｐ1－ Ｃ α＋2β ｒ0 ｒ 4α＋8β 3＋2α＋5β ＋ Ｃ α＋2β （11） 将式 （11）代入式 （5）得 ·1045·
,1046, 北京科技大学学报 第33卷 o-n afz 3-2a-3 稳定性，这一结论符合施工实际. 3+2a+53 C a+23 (12) 静水压力条件下，塑性区边界=P处的应力 与原岩应力存在以下关系： gl=e十o唱-#=2p (13) 联立式(5)和式(13)得 gl-。-D(3+2a+58-2C 3+3 (14) il--D(3-2a-38)+2℃ P/MPa 8 3+3 (15) 106 由式(11)和式(14)，或式(12)和式(15)得塑性区 图3塑性区半径与支护力及隧道半径的三维关系图 Fig3 Three dinensional relationship chart of plastic radus vs.sup- 半径 portng force and tunnel radius (3+B)[(a+23)p-C] 格 (3+2a+53)[(a+23)p-C] 采用不同强度理论得出的围岩塑性区半径差别 (16) 很大（见表1）由表1知，本文解答的值介于文 则支护力p为 献[5]和Kastener方程之间，双剪三参数强度准则 3+2a+53 将中间主应力考虑在内，与Mohr Coulan b强度理论 C 3+3 P a+28 相比，可在一定程度上降低支护成本.文献[5]利用 统一强度理论的双剪两参数准则，只考虑了岩石抗 C a+23 (17) 拉、抗压强度不同的特性：而本文采用的双剪三参数 由物理方程式(8)及式(14)、式(15)得切向应变和 准则，将岩石单轴拉伸强度G、单轴压缩强度σ。和 径向应变为 双向等压强度σ都不相等的特性考虑在内，通过岩 [a C-(a+28)p 石自身的强度特性得出强度规律，所得结果比文 [4a+83+(3- 献[5便偏于安全 2a-31 +af2(1-2y 表1不同强度理论得出的塑性区半径P (18) Table I Plastic mdius n different strength theories C-(a+28)B g[a22 [3+ 文献[5] 本文 Kastener方程 3.36 3.78 4.37 2a+5B+(6+28)] X 3结论 af(1-2) (19) (1)双剪三参数准则考虑岩土材料单轴拉伸强 度6、单轴压缩强度σ。和双向等压强度6都不相 2.4算例与分析 等的特性，真实反映了围岩在三轴压缩状态下的强 给定某隧道及其所处围岩各参数如下：= 度特性，可作为地下工程围岩变形解析的优选强度 3m.c=10MPa 9=30 p=40MPa p =5MPa E= 准则，双剪应力三参数准则进行参数标定时，参数 20GPa =0.3,6-38.9 MPa -50MPa 的选取须尽可能趋近三轴状态，且尽可能容易实现， 13.7MPa o:=65MPa (2)围岩变形解析必须考虑隧道围岩在三轴应 利用式(17)，可以得到如图3所示的塑性区半 力作用下的变形特性，进而进行围岩分区，这与基于 径P与支护力p及隧道半径D的三维关系，从图 全应力应变曲线解析方法有别 中可以看出，塑性区半径F与隧道半径，呈单调上 (3)非轴对称荷载作用下隧道变形解析有待今 升关系，与支护力p呈单调下降关系，即隧道半径 后进一步研究， 越大，塑性区半径越大，支护力越大，塑性区半径越 小，因而，在实际施工中，增大隧道开挖半径，需增 参考文献 大支护力，可使塑性区半径减小，有效提高隧道围岩 [1]Sharan S K.Exact and appmxmnate solutions to displcements
北 京 科 技 大 学 学 报 第 33卷 σ ｐ θ＝ ｐ1－ Ｃ α＋2β 3－2α－3β 3＋2α＋5β ｒ0 ｒ 4α＋8β 3＋2α＋5β ＋ Ｃ α＋2β （12） 静水压力条件下塑性区边界 ｒ＝ｒ ｐ 处的应力 与原岩应力存在以下关系 ［7］： σ ｐ ｒ ｒ＝ｒｐ ＋σ ｐ θ｜ｒ＝ｒｐ ＝2ｐ0 （13） 联立式 （5）和式 （13）得 σ ｐ ｒ ｒ＝ｒｐ ＝ ｐ0（3＋2α＋5β）－2Ｃ 3＋β （14） σ ｐ θ ｒ＝ｒｐ ＝ ｐ0（3－2α－3β）＋2Ｃ 3＋β （15） 由式 （11）和式 （14）或式 （12）和式 （15）得塑性区 半径 ｒ ｐ＝ｒ0 （3＋β） ［ （α＋2β）ｐ1－Ｃ］ （3＋2α＋5β） ［ （α＋2β）ｐ0－Ｃ］ 3＋2α＋5β 4α＋8β （16） 则支护力 ｐ1为 ｐ1＝ 3＋2α＋5β 3＋β ｐ0－ Ｃ α＋2β ｒ ｐ ｒ0 4α＋8β 3＋2α＋5β ＋ Ｃ α＋2β （17） 由物理方程式 （8）及式 （14）、式 （15）得切向应变和 径向应变为 ε ｐ θ＝ 1＋μ Ｅ Ｃ－（α＋2β）ｐ1 3＋2α＋5β ［4α＋8β＋μ（3－ 2α－3β） ］ ｒ0 ｒ 4α＋8β 3＋2α＋5β ＋ Ｃ α＋2β （1－2μ） （18） ε ｐ ｒ＝ 1＋μ Ｅ Ｃ－（α＋2β）ｐ1 （3＋2α＋5β）（α＋2β） ［3＋ 2α＋5β＋μ（6＋2β） ］ ｒ0 ｒ 4α＋8β 3＋2α＋5β ＋ Ｃ α＋2β （1－2μ） （19） 2∙4 算例与分析 给定某隧道及其所处围岩各参数如下：ｒ0＝ 3ｍｃ＝10ＭＰａφ＝30°ｐ0＝40ＭＰａｐ1＝5ＭＰａＥ＝ 20ＧＰａμ＝0∙3σｃ ＝38∙9ＭＰａσｃｃ ＝50ＭＰａσｒｃ＝ 13∙7ＭＰａσ′ｒｃ＝65ＭＰａ． 利用式 （17）可以得到如图 3所示的塑性区半 径 ｒ ｐ与支护力 ｐ1 及隧道半径 ｒ0 的三维关系．从图 中可以看出塑性区半径 ｒ ｐ与隧道半径 ｒ0呈单调上 升关系与支护力 ｐ1 呈单调下降关系即隧道半径 越大塑性区半径越大支护力越大塑性区半径越 小．因而在实际施工中增大隧道开挖半径需增 大支护力可使塑性区半径减小有效提高隧道围岩 稳定性这一结论符合施工实际． 图 3 塑性区半径与支护力及隧道半径的三维关系图 Ｆｉｇ．3 Ｔｈｒｅｅ-ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐｃｈａｒｔｏｆｐｌａｓｔｉｃｒａｄｉｕｓｖｓ∙ｓｕｐ- ｐｏｒｔｉｎｇｆｏｒｃｅａｎｄｔｕｎｎｅｌｒａｄｉｕｓ 采用不同强度理论得出的围岩塑性区半径差别 很大 （见表 1）．由表 1知本文解答的 ｒ ｐ 值介于文 献 ［5］和 Ｋａｓｔｅｎｅｒ方程之间．双剪三参数强度准则 将中间主应力考虑在内与 Ｍｏｈｒ-Ｃｏｕｌｏｍｂ强度理论 相比可在一定程度上降低支护成本．文献 ［5］利用 统一强度理论的双剪两参数准则只考虑了岩石抗 拉、抗压强度不同的特性；而本文采用的双剪三参数 准则将岩石单轴拉伸强度 σｔ、单轴压缩强度 σｃ和 双向等压强度 σｃｃ都不相等的特性考虑在内通过岩 石自身的强度特性得出强度规律所得结果比文 献 ［5］更偏于安全． 表 1 不同强度理论得出的塑性区半径 ｒｐ Ｔａｂｌｅ1 Ｐｌａｓｔｉｃｒａｄｉｕｓｉｎｄｉｆｆｅｒｅｎｔｓｔｒｅｎｇｔｈｔｈｅｏｒｉｅｓ ｍ 文献 ［5］ 本文 Ｋａｓｔｅｎｅｒ方程 3∙36 3∙78 4∙37 3 结论 （1） 双剪三参数准则考虑岩土材料单轴拉伸强 度 σｔ、单轴压缩强度 σｃ和双向等压强度 σｃｃ都不相 等的特性真实反映了围岩在三轴压缩状态下的强 度特性可作为地下工程围岩变形解析的优选强度 准则．双剪应力三参数准则进行参数标定时参数 的选取须尽可能趋近三轴状态且尽可能容易实现． （2） 围岩变形解析必须考虑隧道围岩在三轴应 力作用下的变形特性进而进行围岩分区这与基于 全应力--应变曲线解析方法有别． （3） 非轴对称荷载作用下隧道变形解析有待今 后进一步研究． 参 考 文 献 ［1］ ＳｈａｒａｎＳＫ．Ｅｘａｃｔａｎｄａｐｐｒｏｘｉｍａｔｅｓｏｌｕｔｉｏｎｓｔｏｄｉｓｐｌａｃｅｍｅｎｔｓ ·1046·
第9期 崔芳等：轴对称荷载作用下圆形隧道围岩变形解析 .1047. amound circular openings n elastic brittle plastic Hoek Bmown 3213 mock Int J Rock Mech M in Sci 2005.42(4):542 (范文，俞茂宏，陈立伟，等。考虑剪胀及软化的洞室围岩弹 [2]Sharan S K.Analytical solutions for stresses and displcements 塑性分析的统一解.岩石力学与工程学报，200423(19)： around a cirular opening in a generalized Hoek Bmown mock IntJ 3213) Rock Mech M in Sci 2008 45(1):78 [7]Yu X E.Zheng Y R.Liu H H.et al Stability Analysis to the [3]Yang R S Analytic sohtion to defomation of the mock tunnel con- Rock Wall n Undergmound Eng ineering Beijng Chna Coal In- silering the dilataney and plastic softening of mock mass JXi'an dustry Press 1983 Univ Sci Technol 2008 28(3):455 (于学馥，郑颗人，刘怀恒，等地下工程围岩稳定分析北京： (杨荣尚.隧道工程围岩扩容和塑性软化的变形解析·西安科 煤炭工业出版社，1983) 技大学学报，200828(3)：455) [8]Yu M H.Linear and nonlinear unified strength theory Chn J [4]Song L Zhang Y Q.Yu M H.Plastoelastic unified analysis of Rock Mech Eng 2007.26(4):662 pressure tunnel Eng Moch 1998 15(4):57 (俞茂宏，线性和非线性的统一强度理论。岩石力学与工程学 (宋俐，张永强，俞茂宏，压力隧洞弹塑性分析的统一解.工 报，200726(4)：662) 程力学，199815(4)：57) [9]Jing H W.Li Y H.Xu G A.et al Analysis of displacement of [5]Hu X R.Yu M H.Unified strength theory and its application in broken surounding mck of deep moadway JChina Univ M in Tech- elasto plastic analysis to tunnel Chin J NonfermousMet 2002 12 nol200635(5):565 (5):1021 (靖洪文，李元海，许国安，等，深埋巷道破裂围岩位移分析 (胡小荣，俞茂宏，统一强度理论及其在巷道围岩弹塑性分析 中国矿业大学学报，2006,35(5)：565) 中的应用.中国有色金属学报，200212(5)：1021) [10]Ma N J Zhang Y D.A new analysis on gmound pressumes amund [6]Fan W.Yu M H.Chen L W,et al Unified elastoplastic soution openngs Chin J Rock Mech Eng 1996,15(1):84 for suroundng mocks of openings w ith consileration ofmaterial di (马念杰，张益东.圆形巷道围岩变形压力新解法.岩石力 latancy and softening Chin J Rock Mech Eng 2004.23(19): 学与工程学报，1996,15(1)：84)
第 9期 崔 芳等： 轴对称荷载作用下圆形隧道围岩变形解析 ａｒｏｕｎｄ ｃｉｒｃｕｌａｒｏｐｅｎｉｎｇｓ ｉｎ ｅｌａｓｔｉｃ-ｂｒｉｔｔｌｅ-ｐｌａｓｔｉｃ Ｈｏｅｋ-Ｂｒｏｗｎ ｒｏｃｋ．ＩｎｔＪＲｏｃｋＭｅｃｈＭｉｎＳｃｉ200542（4）：542 ［2］ ＳｈａｒａｎＳＫ．Ａｎａｌｙｔｉｃａｌｓｏｌｕｔｉｏｎｓｆｏｒｓｔｒｅｓｓｅｓａｎｄｄｉｓｐｌａｃｅｍｅｎｔｓ ａｒｏｕｎｄａｃｉｒｃｕｌａｒｏｐｅｎｉｎｇｉｎａｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄＨｏｅｋ-Ｂｒｏｗｎｒｏｃｋ．ＩｎｔＪ ＲｏｃｋＭｅｃｈＭｉｎＳｃｉ200845（1）：78 ［3］ ＹａｎｇＲＳ．Ａｎａｌｙｔｉｃｓｏｌｕｔｉｏｎｔｏｄｅｆｏｒｍａｔｉｏｎｏｆｔｈｅｒｏｃｋｔｕｎｎｅｌｃｏｎ- ｓｉｄｅｒｉｎｇｔｈｅｄｉｌａｔａｎｃｙａｎｄｐｌａｓｔｉｃｓｏｆｔｅｎｉｎｇｏｆｒｏｃｋｍａｓｓ．ＪＸｉ’ａｎ ＵｎｉｖＳｃｉＴｅｃｈｎｏｌ200828（3）：455 （杨荣尚．隧道工程围岩扩容和塑性软化的变形解析．西安科 技大学学报200828（3）：455） ［4］ ＳｏｎｇＬＺｈａｎｇＹＱＹｕＭ Ｈ．Ｐｌａｓｔｏｅｌａｓｔｉｃｕｎｉｆｉｅｄａｎａｌｙｓｉｓｏｆ ｐｒｅｓｓｕｒｅｔｕｎｎｅｌ．ＥｎｇＭｅｃｈ199815（4）：57 （宋俐张永强俞茂宏．压力隧洞弹塑性分析的统一解．工 程力学199815（4）：57） ［5］ ＨｕＸＲＹｕＭ Ｈ．Ｕｎｉｆｉｅｄｓｔｒｅｎｇｔｈｔｈｅｏｒｙａｎｄｉｔｓａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｉｎ ｅｌａｓｔｏ-ｐｌａｓｔｉｃａｎａｌｙｓｉｓｔｏｔｕｎｎｅｌ．ＣｈｉｎＪＮｏｎｆｅｒｒｏｕｓＭｅｔ200212 （5）：1021 （胡小荣俞茂宏．统一强度理论及其在巷道围岩弹塑性分析 中的应用．中国有色金属学报200212（5）：1021） ［6］ ＦａｎＷＹｕＭＨＣｈｅｎＬＷｅｔａｌ．Ｕｎｉｆｉｅｄｅｌａｓｔｏｐｌａｓｔｉｃｓｏｌｕｔｉｏｎ ｆｏｒｓｕｒｒｏｕｎｄｉｎｇｒｏｃｋｓｏｆｏｐｅｎｉｎｇｓｗｉｔｈｃｏｎｓｉｄｅｒａｔｉｏｎｏｆｍａｔｅｒｉａｌｄｉ- ｌａｔａｎｃｙａｎｄｓｏｆｔｅｎｉｎｇ．ＣｈｉｎＪＲｏｃｋＭｅｃｈＥｎｇ200423（19）： 3213 （范文俞茂宏陈立伟等．考虑剪胀及软化的洞室围岩弹 塑性分析的统一解．岩石力学与工程学报200423（19）： 3213） ［7］ ＹｕＸＦＺｈｅｎｇＹＲＬｉｕＨ Ｈｅｔａｌ．ＳｔａｂｉｌｉｔｙＡｎａｌｙｓｉｓｔｏｔｈｅ Ｒｏｃｋ-ＷａｌｌｉｎＵｎｄｅｒｇｒｏｕｎｄＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ．Ｂｅｉｊｉｎｇ：ＣｈｉｎａＣｏａｌＩｎ- ｄｕｓｔｒｙＰｒｅｓｓ1983 （于学馥郑颖人刘怀恒等．地下工程围岩稳定分析．北京： 煤炭工业出版社1983） ［8］ ＹｕＭ Ｈ．Ｌｉｎｅａｒａｎｄｎｏｎｌｉｎｅａｒｕｎｉｆｉｅｄｓｔｒｅｎｇｔｈｔｈｅｏｒｙ．ＣｈｉｎＪ ＲｏｃｋＭｅｃｈＥｎｇ200726（4）：662 （俞茂宏．线性和非线性的统一强度理论．岩石力学与工程学 报200726（4）：662） ［9］ ＪｉｎｇＨＷＬｉＹＨＸｕＧＡｅｔａｌ．Ａｎａｌｙｓｉｓｏｆｄｉｓｐｌａｃｅｍｅｎｔｏｆ ｂｒｏｋｅｎｓｕｒｒｏｕｎｄｉｎｇｒｏｃｋｏｆｄｅｅｐｒｏａｄｗａｙ．ＪＣｈｉｎａＵｎｉｖＭｉｎＴｅｃｈ- ｎｏｌ200635（5）：565 （靖洪文李元海许国安等．深埋巷道破裂围岩位移分析． 中国矿业大学学报200635（5）：565） ［10］ ＭａＮＪＺｈａｎｇＹＤ．Ａｎｅｗａｎａｌｙｓｉｓｏｎｇｒｏｕｎｄｐｒｅｓｓｕｒｅｓａｒｏｕｎｄ ｏｐｅｎｉｎｇｓ．ＣｈｉｎＪＲｏｃｋＭｅｃｈＥｎｇ199615（1）：84 （马念杰张益东．圆形巷道围岩变形压力新解法．岩石力 学与工程学报199615（1）：84） ·1047·
