D0I:10.13374/i.issnl00It03.2008.02.019 第30卷第2期 北京科技大学学报 Vol.30 No.2 2008年2月 Journal of University of Science and Technology Beijing Feh.2008 利用FEMLAB模拟微电磁石的磁场区域 傅 伟)熊平) 陈沛玲2) 彭飞武)刘建庭) 1)中南大学信息物理工程学院，长沙4100832)中南大学倍息科学与工程学院，长沙410083 摘要利用FEMLAB软件模拟出在2D和3D的情况下微电磁石的电磁感应对磁场强度的影响.因为在3D界面下不能完 全将实际模型重建，采用缩小实体的方法，将缩小后的模型在2D环境下模拟，可以显示出与大空间范围构造相似的仿真结 果.3D仿真结果显示的大体结构及空间范围的情况与2D仿真结果大致相同，且3D仿真结果的误差在正常情况下至少为 10%,因此3D与2D仿真环境下的磁体结构是可以比较的. 关键词电磁石：磁场；软件模拟；FEMLAB软件 分类号0441.5 Modeling the magnetic field of a micro-electromagnet in FEMLAB FU Wei.XIONG Ping.CHEN Peiling?,PENG Feiwu,LIU Jianting) 1)School of Info physics and Geomatics Engineering Central South University.Changsha 410083.China 2)School of Information Science and Engineering.Central South University,Changsha 410083.China ABSTRACT In 2D and 3D.the magnetic flux density from a micro electromagnet used for magnetic bio"separation was simulated with FEMLAB software.Due to the complexity of the structure,a fine meshing of the 3D structure is not possible.In order to mini- mize the memory consumption by reducing the size of the space domain surrounding the magnetic structure and by using a relatively coarse mesh,the effects of reducing the size of the space domain and using a coarse mesh that it is possible to perform a reference sim- ulation with a large space domain and a fine mesh,and the errors made by the approximations were quantified.3D simulations were carried out with space domain and coarse meshing conditions identical to those in 2D simulations.and it is shown that the approxima- tions in 3D simulations result in an underestimation of the order of 10%.The magnetic structure of 3D simulations can be compared with that of 2D simulations. KEY WORDS electromagnet:magnetic field:software simulation:FEMLAB 用微硅片加工技术制造的微电磁石在系统中无 由于几何空间的复杂性和高曲率性，12圈缠绕 论是作为磁场发生器还是变压器都有许多的用 的磁体不能细分为网格。因此考虑用只有两圈缠绕 途山.在微流控制系统中，利用微电磁石来产生磁 的简单几何体，即使是这样，几何体的复杂也使得内 场，并从流体中获得磁力束，磁力束的磁场强度与 存消耗过大，所以很难用FEMLAB进行模拟③].因 磁通量密度平方的梯度有关].为了计算这个强 此，当前的工作目标是把内存消耗降到最低，本文 度，利用FEMLAB模拟微电磁石的磁通量密度，在 采用的方法是用2D图形进行模拟，这样既可以得 3D图形中，微电磁石的模型包括三部分：铜线圈，具 出空间尺度和网格条件改变产生影响的参考数据， 有高穿透性的透磁合金制成的磁体及周围的空间· 也不存在内存消耗过大的问题.，在2D图形中，本文 在3D图中，展现出的线圈是螺旋的；在2D的图中， 研究了空间尺寸的影响，找到了在尽量不损失精度 展现出的是3D线圈中同一区域的横截面，通过比 情况下的最小元数，在3D图形中，使用这些数据， 较，可以看出二者都是根据类似的求解环境和网格 研究并最优化解决方法和网格化参数， 来模拟的 1 模拟方法 收稿日期：2006-10-29修回日期：2006-12-15 基金项目：国家自然科学基金资助项目(N。·30371626) 1.1问题描述 作者简介：傅伟(1981一)，男，硕士研究生；熊平(1959一)，男， 教授，博士 模拟的偏微分方程是在准稳态限定下磁向量势
利用 FEMLAB 模拟微电磁石的磁场区域 傅 伟1） 熊 平1） 陈沛玲2） 彭飞武1） 刘建庭1） 1） 中南大学信息物理工程学院长沙410083 2） 中南大学信息科学与工程学院长沙410083 摘 要 利用 FEMLAB 软件模拟出在2D 和3D 的情况下微电磁石的电磁感应对磁场强度的影响．因为在3D 界面下不能完 全将实际模型重建采用缩小实体的方法将缩小后的模型在2D 环境下模拟可以显示出与大空间范围构造相似的仿真结 果．3D 仿真结果显示的大体结构及空间范围的情况与2D 仿真结果大致相同且3D 仿真结果的误差在正常情况下至少为 10％因此3D 与2D 仿真环境下的磁体结构是可以比较的． 关键词 电磁石；磁场；软件模拟；FEMLAB 软件 分类号 O441∙5 Modeling the magnetic field of a micro-electromagnet in FEMLAB FU Wei 1）XIONG Ping 1）CHEN Peiling 2）PENG Feiw u 1）LIU Jianting 1） 1） School of Info-physics and Geomatics EngineeringCentral South UniversityChangsha410083China 2） School of Information Science and EngineeringCentral South UniversityChangsha410083China ABSTRACT In2D and3Dthe magnetic flux density from a micro electromagnet used for magnetic bio-separation was simulated with FEMLAB software．Due to the complexity of the structurea fine meshing of the3D structure is not possible．In order to minimize the memory consumption by reducing the size of the space domain surrounding the magnetic structure and by using a relatively coarse meshthe effects of reducing the size of the space domain and using a coarse mesh that it is possible to perform a reference simulation with a large space domain and a fine meshand the errors made by the approximations were quantified．3D simulations were carried out with space domain and coarse meshing conditions identical to those in2D simulationsand it is shown that the approximations in3D simulations result in an underestimation of the order of 10％．T he magnetic structure of 3D simulations can be compared with that of 2D simulations． KEY WORDS electromagnet；magnetic field；software simulation；FEMLAB 收稿日期：2006-10-29 修回日期：2006-12-15 基金项目：国家自然科学基金资助项目（No．30371626） 作者简介：傅 伟（1981—）男硕士研究生；熊 平（1959—）男 教授博士 用微硅片加工技术制造的微电磁石在系统中无 论是作为磁场发生器还是变压器都有许多的用 途［1］．在微流控制系统中利用微电磁石来产生磁 场并从流体中获得磁力束．磁力束的磁场强度与 磁通量密度平方的梯度有关［2］．为了计算这个强 度利用 FEMLAB 模拟微电磁石的磁通量密度．在 3D 图形中微电磁石的模型包括三部分：铜线圈具 有高穿透性的透磁合金制成的磁体及周围的空间． 在3D 图中展现出的线圈是螺旋的；在2D 的图中 展现出的是3D 线圈中同一区域的横截面．通过比 较可以看出二者都是根据类似的求解环境和网格 来模拟的． 由于几何空间的复杂性和高曲率性12圈缠绕 的磁体不能细分为网格．因此考虑用只有两圈缠绕 的简单几何体即使是这样几何体的复杂也使得内 存消耗过大所以很难用 FEMLAB 进行模拟［3］．因 此当前的工作目标是把内存消耗降到最低．本文 采用的方法是用2D 图形进行模拟这样既可以得 出空间尺度和网格条件改变产生影响的参考数据 也不存在内存消耗过大的问题．在2D 图形中本文 研究了空间尺寸的影响找到了在尽量不损失精度 情况下的最小元数．在3D 图形中使用这些数据 研究并最优化解决方法和网格化参数． 1 模拟方法 1∙1 问题描述 模拟的偏微分方程是在准稳态限定下磁向量势 第30卷 第2期 2008年 2月 北 京 科 技 大 学 学 报 Journal of University of Science and Technology Beijing Vol．30No．2 Feb．2008 DOI:10．13374／j．issn1001－053x．2008．02．019
.194 北京科技大学学报 第30卷 能和电势能的安培定理表达式[.下面的部分讨论 来的纵横比，尽管如此，这种方法并没有对现有的 来自于电磁学模块参考指导 结构做出任何富有意义的改进， 应用方位角电流来模拟2D图形，这种模拟把 在复杂的3D几何情况下要生成很好的网孔是 结构看作电流只在角方位围绕Z轴对称，空间的边 不可能的，所以研究2D的几何结构，建立一个可接 界设置成磁绝缘，输入参数不同于表1中给出的空 受的最小尺寸的空间区域，选择最好的方法，并将其 间电导率，将其设置为零，两个线圈的向内电流密度 网格化与最优化，这样将提供一些对提高精度有帮 置成3.333×107Am-2,相应地通过每个线圈的电 助的参数（在3D模拟中最优化的方法很难实现，因 流为0.1A. 为内存的要求过高)，这个模型需要在1G内存、 在3D模型中，有两个变量：电势能V和磁势能 Pentium4处理器及Windows2000系统上实现. A,在FEMLAB中可以通过两种方式解决：第一， 22D模拟 应用物理特征，把静电模型同静磁模型联系起来；第 二，准静态应用模型，在这种模型下通过时间谐波和 2.1空间区域的最优化 电流的差异，利用安培定理在这种模型下计算出两 在3D情况下，为了减少节点的数量，对空间区 变量，选择后一种方式是为了适时地根据感应器模 域中的磁性物质所产生的影响进行了研究，目的就 拟出频率，空间边界的磁向量势能和电压都压制成 是在不影响结果精度的情况下让空间区域越小越 零，3D的准静态应用模型的偏微分方程表明如果 好，在2D情况下模拟出这个空间区域，获得的精度 电导率置为零会产生数字的不稳定可).因此把空间 能够与在较大的空间区域中使用较精细的网格模拟 的电导率置成1sm,相对主要部件的电导率来 获得的结果相比，在最优化方案中，磁通量密度是 说这个数值很小，对结果的影响可以忽略不计·通 在线圈z=200m(z为柱坐标系Z轴方向的距离) 过把磁场空间连接器的边界电压置为零而把线圈区 处的一个半径r=100m的圆上进行计算得出的. 域边界电压设置为Vo=5.73mV,可以使线圈传输 所得出的结果依赖于磁物体在空间领域中的位置及 0.1A的电流.其他输入变量在表1中列出 所给定的空间领域的大小，因为磁通量密度是定义 电磁体重要的参数，所以磁介质最好是放在空间领 表1材料属性 域中接近下部的位置，图1为垂直尺度上的空间区 Table 1 Properties of materials 域，以及一些侧面空间区域所获得的磁通量密度的 材料 电导率/(MSm-) 磁导率 绝对值 Ni Fe 6.71 3000Ho 59.50 0.10日 Cu o 2D 006日 空气 Po 002日 注：ho=410-7Hm-1,为真空中的磁导率. -0.02日 -0.06 1.2网孔和内存分配 0.10日 模型的几何构成是由前面提到过的三个区域组 0.14 成的，利用有限元的方法[)，把区域划分成网孔， 0 0.10.20.30.40.50.60.70.80.9 rmm 每一个网孔都包含了若干的节点，显而易见，好的 网孔需要更多的有限元，以及更多的自由度(degree 图1 FEMLAB中模拟的对称圆柱2D图形 of freedom,DOF)和更多的内存. Fig.I 2D symmetric cylindrically geometry simulated in FEMLAB FEMLAB网孔生成器按照默认方式产生出很 从图1中可以看出因为空间尺度的不同以及内 多的四面体，这些四面体按照顺序组成整体，如果 存需求的不同而造成在精度上的一些合理的退让， 四面体的几何构型越精细，大量的网孔将使得内存 在这种情况下，计算的代价将比那些较大的空间领 的消耗变得非常大，并且可能导致内存空间不够， 域小3%. 在本文的结构中，相对侧面而言垂直方向上是很细 2.2网格化效果 小的，并且有高达26的纵横比. 由于内存容量的限制，在3D情况下想要建立 在3D情况下，几何构型有更多的转脚以至于 非常好的网孔是不现实的，2D模型的网孔保持与 不能网格化，可行的方法是在生成网孔之前对结构 3D模型的网孔相似的粗糙程度，以便在2D情况下 定标来获得接近于1的纵横比，然后重新定标回原 使用的粗网孔能得出在3D情况下所产生的错误
能和电势能的安培定理表达式［4］．下面的部分讨论 来自于电磁学模块参考指导． 应用方位角电流来模拟2D 图形这种模拟把 结构看作电流只在角方位围绕 Z 轴对称．空间的边 界设置成磁绝缘输入参数不同于表1中给出的空 间电导率将其设置为零两个线圈的向内电流密度 置成3∙333×107 A·m —2相应地通过每个线圈的电 流为0∙1A． 在3D 模型中有两个变量：电势能 V 和磁势能 A．在 FEMLAB 中可以通过两种方式解决：第一 应用物理特征把静电模型同静磁模型联系起来；第 二准静态应用模型在这种模型下通过时间谐波和 电流的差异利用安培定理在这种模型下计算出两 变量．选择后一种方式是为了适时地根据感应器模 拟出频率空间边界的磁向量势能和电压都压制成 零．3D 的准静态应用模型的偏微分方程表明如果 电导率置为零会产生数字的不稳定［5］．因此把空间 的电导率置成1S·m —1相对主要部件的电导率来 说这个数值很小对结果的影响可以忽略不计．通 过把磁场空间连接器的边界电压置为零而把线圈区 域边界电压设置为 V0＝5∙73mV可以使线圈传输 0∙1A 的电流．其他输入变量在表1中列出． 表1 材料属性 Table1 Properties of materials 材料 电导率／（MS·m —1） 磁导率 Ni—Fe 6∙71 3000μ0 Cu 59∙50 μ0 空气 — μ0 注：μ0＝4π10—7 H·m —1为真空中的磁导率． 1∙2 网孔和内存分配 模型的几何构成是由前面提到过的三个区域组 成的．利用有限元的方法［6—7］把区域划分成网孔 每一个网孔都包含了若干的节点．显而易见好的 网孔需要更多的有限元以及更多的自由度（degree of freedomDOF）和更多的内存． FEMLAB 网孔生成器按照默认方式产生出很 多的四面体这些四面体按照顺序组成整体．如果 四面体的几何构型越精细大量的网孔将使得内存 的消耗变得非常大并且可能导致内存空间不够． 在本文的结构中相对侧面而言垂直方向上是很细 小的并且有高达26的纵横比． 在3D 情况下几何构型有更多的转脚以至于 不能网格化可行的方法是在生成网孔之前对结构 定标来获得接近于1的纵横比然后重新定标回原 来的纵横比．尽管如此这种方法并没有对现有的 结构做出任何富有意义的改进． 在复杂的3D 几何情况下要生成很好的网孔是 不可能的所以研究2D 的几何结构建立一个可接 受的最小尺寸的空间区域选择最好的方法并将其 网格化与最优化．这样将提供一些对提高精度有帮 助的参数（在3D 模拟中最优化的方法很难实现因 为内存的要求过高）这个模型需要在1G 内存、 Pentium4处理器及 Windows2000系统上实现． 2 2D 模拟 2∙1 空间区域的最优化 在3D 情况下为了减少节点的数量对空间区 域中的磁性物质所产生的影响进行了研究目的就 是在不影响结果精度的情况下让空间区域越小越 好．在2D 情况下模拟出这个空间区域获得的精度 能够与在较大的空间区域中使用较精细的网格模拟 获得的结果相比．在最优化方案中磁通量密度是 在线圈 z ＝200μm（ z 为柱坐标系 Z 轴方向的距离） 处的一个半径 r＝100μm 的圆上进行计算得出的． 所得出的结果依赖于磁物体在空间领域中的位置及 所给定的空间领域的大小．因为磁通量密度是定义 电磁体重要的参数所以磁介质最好是放在空间领 域中接近下部的位置．图1为垂直尺度上的空间区 域以及一些侧面空间区域所获得的磁通量密度的 绝对值． 图1 FEMLAB 中模拟的对称圆柱2D 图形 Fig．1 2D symmetric cylindrically geometry simulated in FEMLAB 从图1中可以看出因为空间尺度的不同以及内 存需求的不同而造成在精度上的一些合理的退让． 在这种情况下计算的代价将比那些较大的空间领 域小3％． 2∙2 网格化效果 由于内存容量的限制在3D 情况下想要建立 非常好的网孔是不现实的．2D 模型的网孔保持与 3D 模型的网孔相似的粗糙程度以便在2D 情况下 使用的粗网孔能得出在3D 情况下所产生的错误． ·194· 北 京 科 技 大 学 学 报 第30卷
第2期 傅伟等：利用FEMLAB模拟微电磁石的磁场区域 .195 图2是在不同空间点的磁感应强度值，图中右边图 以看出，网格的细化会导致自由度数值的变大 例为空间宽度值 3,2解决的选项 0.45 解一个线性偏微分方程，需要解决Ax=b形式 0.44 ◆一1.251d 的简单线性系统，其中A是正方形矩阵，结果为x, 量-1.501d ▲-1.751d 方程右边b是向量，利用迭代法解决线性或者非线 -2.001d 米4.001d 性静态偏微分方程[⑧]，在迭代法中，收敛的速度和 0.41 ◆-8.001d 0.40 一个条件数值密切相关，这个数值就是矩阵A最大 0.50 1.25 2.253.003.75 空间高度1d 特征值和最小特征值的比率。通过预处理使得这个 条件数值趋于一致，表4包括了用来进行3D模拟 图22D模型中反映磁性流体密度特征的点(ld=1.6mm) 的预处理和解决的选项，对于电流的部分，如果把 Fig.2 Magnetic flux density at a representative point in 2D simula- 下落允许值设置低，会导致细化网格时出现内存错 tions 误.表格中给出了OOM(out of memory)错误不发 三网孔M1~M3在表2中列出，另外附加了精 生所需要的最小数值。由于内存原因，模拟的磁部 细的网孔M4作为参考.网孔M2到M4中有限元 分不能用不相关的LU系数分解方式预处理，取而 最大的距离和卷距是有限制的，按照表格来改进这 代之的是内存消耗小的SSOR(symmetric successive 些区域中网格化的质量，对于不同的网孔，比较 over relaxation)方式预处理 B1o0(r=100m,z=200m)(B表示磁感强度) 表4迭代求解3D几何体的参量 的值和在z=2O0m处获得的最大值Bmam,可以发 Table 4 Parameters for iteratively solving a 3D geometry 现M2网孔的值Bms和B1o0减少了0.06%和 电流LU预处理 磁SSOR预处理 0.12%. 3D网孔 微量公差 迭代公差 表2三种网孔的节点和自由度数 MI 10-15 10-3 Table 2 Number of nodes and degree of freedom for three different M2 10-8 10-3 meshes M3 10-5 00M 2D网孔 距离/m 卷距/4m 节点数 自由度 MI 792 3111 比较B10o(r=100m,z=200m)和Bmm的 M2 160 100 792 3111 值（当z=200m,在x一y平面上获得的最大值） M3 120 80 831 3266 对于M1网孔，发现Bmm=3.91X10-5T和B1o0= M4 25 73858 294565 1.71×10-4T;在M2网孔中，Bmm=1.71×10-4 T,B100=1.27X10-4T.因此，B100和Bma都因这 3 3D模拟 个因素而增大，从M1和M2来看，M1网孔远远不 够.不足的是，因为内存限制，不能为更加细致的 下面讨论的模型，横向和纵向的空间尺寸分别 M3网孔获得解决办法 是1.5ld和ld(1d=1.6mm).磁体顶部置于0.25倍 的纵向空间尺寸上， 4讨论 3.1网孔 图3(a)展示了在对较大区域（空间宽度4ld,高 通过类似于2D模拟的网格选项进行网格化， 度4ld)使用细密的网格化方法M4进行模拟所得到 表3列出了相关的自由度和节点的数值.从表中可 的结果.作为对比，图3(b)展示了对于整个空间宽 表3网格化后三种网孔的节点和自由度 度1.51d,高度ld,并且使用M2网格化方法的情况 Table 3 Number of nodes and degree of freedom for the three different 可以看到图3(a)与图3(b)在最大偏移上具有很好 meshes after meshed 的一致性。偏移的原因是有限的空间区域和粗糙的 3D网孔距离/m 卷距/m 节点数/103自由度/103 网格化方法造成的，图3(c)中展示了在系统给定的 M1 21 82 内存容量下利用最好的网格化方法(M2)进行3D M2 160 100 31 127 模拟的结果.图3(b)中则是用相同的空间领域尺度 M3 120 80 47 187 在2D中模拟的情况
图2是在不同空间点的磁感应强度值图中右边图 例为空间宽度值． 图2 2D 模型中反映磁性流体密度特征的点（ld＝1∙6mm） Fig．2 Magnetic flux density at a representative point in2D simulations 三网孔 M1～M3在表2中列出另外附加了精 细的网孔 M4作为参考．网孔 M2到 M4中有限元 最大的距离和卷距是有限制的按照表格来改进这 些区域中网格化的质量．对于不同的网孔比较 B100（ r＝100μmz ＝200μm） （ B 表示磁感强度） 的值和在 z ＝200μm 处获得的最大值 Bmax可以发 现 M2 网 孔 的 值 Bmax 和 B100 减 少 了 0∙06％ 和 0∙12％． 表2 三种网孔的节点和自由度数 Table2 Number of nodes and degree of freedom for three different meshes 2D 网孔 距离／μm 卷距／μm 节点数 自由度 M1 — — 792 3111 M2 160 100 792 3111 M3 120 80 831 3266 M4 25 5 73858 294565 3 3D 模拟 下面讨论的模型横向和纵向的空间尺寸分别 是1∙5ld 和 ld（ld＝1∙6mm）．磁体顶部置于0∙25倍 的纵向空间尺寸上． 3∙1 网孔 通过类似于2D 模拟的网格选项进行网格化． 表3列出了相关的自由度和节点的数值．从表中可 表3 网格化后三种网孔的节点和自由度 Table3 Number of nodes and degree of freedom for the three different meshes after meshed 3D 网孔 距离／μm 卷距／μm 节点数／103 自由度／103 M1 — — 21 82 M2 160 100 31 127 M3 120 80 47 187 以看出网格的细化会导致自由度数值的变大． 3∙2 解决的选项 解一个线性偏微分方程需要解决 Ax＝b 形式 的简单线性系统其中 A 是正方形矩阵结果为 x 方程右边 b 是向量．利用迭代法解决线性或者非线 性静态偏微分方程［8］在迭代法中收敛的速度和 一个条件数值密切相关这个数值就是矩阵 A 最大 特征值和最小特征值的比率．通过预处理使得这个 条件数值趋于一致．表4包括了用来进行3D 模拟 的预处理和解决的选项．对于电流的部分如果把 下落允许值设置低会导致细化网格时出现内存错 误．表格中给出了 OOM （out of memory）错误不发 生所需要的最小数值．由于内存原因模拟的磁部 分不能用不相关的 LU 系数分解方式预处理取而 代之的是内存消耗小的 SSOR （symmetric successive over-relaxation）方式预处理． 表4 迭代求解3D 几何体的参量 Table4 Parameters for iteratively solving a3D geometry 3D 网孔 电流 LU 预处理 微量公差 磁 SSOR 预处理 迭代公差 M1 10—15 10—3 M2 10—8 10—3 M3 10—5 OOM 比较 B100（ r＝100μmz ＝200μm）和 Bmax的 值（当 z ＝200μm在 x—y 平面上获得的最大值）． 对于 M1网孔发现 Bmax＝3∙91×10—5 T 和 B100＝ 1∙71×10—4 T；在 M2网孔中Bmax ＝1∙71×10—4 TB100＝1∙27×10—4 T．因此B100和 Bmax都因这 个因素而增大．从 M1和 M2来看M1网孔远远不 够．不足的是因为内存限制不能为更加细致的 M3网孔获得解决办法． 4 讨论 图3（a）展示了在对较大区域（空间宽度4ld高 度4ld）使用细密的网格化方法 M4进行模拟所得到 的结果．作为对比图3（b）展示了对于整个空间宽 度1∙5ld高度 ld并且使用 M2网格化方法的情况． 可以看到图3（a）与图3（b）在最大偏移上具有很好 的一致性．偏移的原因是有限的空间区域和粗糙的 网格化方法造成的．图3（c）中展示了在系统给定的 内存容量下利用最好的网格化方法（M2）进行3D 模拟的结果．图3（b）中则是用相同的空间领域尺度 在2D 中模拟的情况． 第2期 傅 伟等： 利用 FEMLAB 模拟微电磁石的磁场区域 ·195·
.196 北京科技大学学报 第30卷 1.0 1.0r 0.8 (a) ◆200μm (b) ◆-2=-2001m (c) ◆-2=200um 0.8 量-2=1S0μm 0.8 量x=150μm 量-2=150um ★-g-100um 金-z=100μm 0.6 0.61 2=50 um 0.6 米一2=50μm 0.4 西0.4 ◆ ★-100m 0.2 0.2 0.2 -50m 0 02 0.4 0.6 0.8 0 0.2 0.4 0.6 0.8 0 0.2 0.4 0.6 0.8 rmm r/mm r/mm 图3不同网孔模式下模拟结果.(a)M4模式，2D模拟：(b)M2模式，2D模拟；(c)M2模式，3D模拟 Fig.3 Simulation results with different meshes:(a)2D simulation for mesh M4:(b)2D simulation for mesh M2:(c)3D simulation for mesh M2 mesh nodes.J Beijing Univ Aeronaut Astronaut,2002,28(3): 5结论 339 综上所述，在2D和3D模拟之间，使用一些近 (欧阳兴，陈中奎，施法中.有限元网格结点编号，北京航空 航天大学学报，2002,28(3)：339) 似值所产生的误差是等量齐观的·由于3D的边界 [4]Ma H W.Wang L L,Zhao X H.Theory of Electrical-Magnetic 所产生的效果，将使得相关的小尺寸空间领域产生 Field.Beijing:Beijing University of Post and Telecommunication 的作用加大，3D模拟中大量的偏差在于使用了更 Press,2004:98 大的空间区域，细密的网格化将使有序度减小 (马海武，王丽黎，赵仙红·电磁场理论，北京：北京邮电大学 10%.因此与在2D情况下使用相似的条件进行模 出版社，2004：98) [5]Liu Z Y.Zero drift of differential amplifiers.J Guizhou Educ 拟相比，3D模拟下使用M2网格化方法对比2D来 College,2003,14(2):59 说取得的效果并不是最佳的，从2D与3D模拟所取 (刘竹影。差动式放大器的零点漂移，贵州教育学院学报. 得的结果比较中可以看出，2D和3D模拟用相同的 2003,14(2):59) 材料、相同的材料厚度、相同的电流以及相同的磁性 [6]Ma A J.Patran and Nastran Infinite Analysis Professional 结构，可以预想结果应该是相似的，尽管3D几何结 Course.Beijing:Tsinghua University Press,2005:38 (马爱军.Patran和Nast ran有限元分析专业教程，北京：清华 构上的细节会造成局部的偏差 大学出版社，2005：38) 参考文献 [7]Zhang Y O.ANSYS 7.0 Infinite Element Analysis Professional Course.Beijing:Tsinghua University Press,2004:45 [1]Wang B.LiS J.Yao J Q,et al.Experimental observation of the (张亚欧.ANSYS7.0有限元分析实用教程.北京：清华大学 linewidth narrowing of electromagnetically induced transparency 出版社，2004：45) resonance.Chin Opt Lett,2005.3(8):486 [8]Zhang E Z.Peng S S.He XX.et al.Application of SSOR pre- [2]Zi B T,Wang H.Xu G M,et al.Finite-clement numerical simu- conditioned BICG method to the analysis of 3-D electromagnetie- lation of pulsed magnetic flux density and Lorentz force.Rare field boundary value problems based on vector FEM.J Huaiyin Met Mater Eng.2003.23(9):689 Teachers College Nat Sci Ed.2005,4(4):292 (訾炳涛，王辉，许光明，等.脉冲磁通量密度和Lorentz力的 (张恩泽，彭树生，何小祥，等，超松弛驰迭代一双共轭梯度在三 数值模拟.稀有金属材料与工程，2003,32(9)：659) 维电磁问题有限元分析中的应用，准阴师范学院学报：自然科 [3]Ouyang Xing.Chen Z K.Shi F Z.Numbering of finite clement 学版，2005,4(4)：292)
图3 不同网孔模式下模拟结果．（a） M4模式2D 模拟；（b） M2模式2D 模拟；（c） M2模式3D 模拟 Fig．3 Simulation results with different meshes：（a）2D simulation for mesh M4；（b）2D simulation for mesh M2；（c）3D simulation for mesh M2 5 结论 综上所述在2D 和3D 模拟之间使用一些近 似值所产生的误差是等量齐观的．由于3D 的边界 所产生的效果将使得相关的小尺寸空间领域产生 的作用加大．3D 模拟中大量的偏差在于使用了更 大的空间区域细密的网格化将使有序度减小 10％．因此与在2D 情况下使用相似的条件进行模 拟相比3D 模拟下使用 M2网格化方法对比2D 来 说取得的效果并不是最佳的从2D 与3D 模拟所取 得的结果比较中可以看出．2D 和3D 模拟用相同的 材料、相同的材料厚度、相同的电流以及相同的磁性 结构可以预想结果应该是相似的尽管3D 几何结 构上的细节会造成局部的偏差． 参 考 文 献 ［1］ Wang BLi S JYao J Qet al．Experimental observation of the linewidth narrowing of electromagnetically induced transparency resonance．Chin Opt Lett20053（8）：486 ［2］ Zi B TWang HXu G Met al．Finite-element numerical simulation of pulsed magnetic flux density and Lorentz force． Rare Met Mater Eng200323（9）：689 （訾炳涛王辉许光明等．脉冲磁通量密度和 Lorentz 力的 数值模拟．稀有金属材料与工程200332（9）：659） ［3］ Ouyang XingChen Z KShi F Z．Numbering of finite element mesh nodes．J Beijing Univ Aeronaut Astronaut200228（3）： 339 （欧阳兴陈中奎施法中．有限元网格结点编号．北京航空 航天大学学报200228（3）：339） ［4］ Ma H WWang L LZhao X H．Theory of Electrical-Magnetic Field．Beijing：Beijing University of Post and Telecommunication Press2004：98 （马海武王丽黎赵仙红．电磁场理论．北京：北京邮电大学 出版社2004：98） ［5］ Liu Z Y．Zero drift of differential amplifiers．J Guiz hou Educ College200314（2）：59 （刘竹影．差动式放大器的零点漂移．贵州教育学院学报． 200314（2）：59） ［6］ Ma A J． Patran and Nastran Infinite A nalysis Professional Course．Beijing：Tsinghua University Press2005：38 （马爱军．Patran 和 Nastran 有限元分析专业教程．北京：清华 大学出版社2005：38） ［7］ Zhang Y O．A NSY S7∙0 Infinite Element A nalysis Professional Course．Beijing：Tsinghua University Press2004：45 （张亚欧．ANSYS 7．0有限元分析实用教程．北京：清华大学 出版社2004：45） ［8］ Zhang E ZPeng S SHe X Xet al．Application of SSOR preconditioned BICG method to the analysis of 3-D electromagneticfield boundary value problems based on vector FEM．J Huaiyin Teachers College Nat Sci Ed20054（4）：292 （张恩泽彭树生何小祥等．超松弛迭代—双共轭梯度在三 维电磁问题有限元分析中的应用．淮阴师范学院学报：自然科 学版20054（4）：292） ·196· 北 京 科 技 大 学 学 报 第30卷