灰色大系统状态向量及方程解的判定

D0I:10.13374/j.issn1001053x.1994.01.020 第16卷第1期 北京科技大学学报 Vol.16 No.1 1994年2月 Journal of University of Science and Technology Beijing Feh.1994 灰色大系统状态向量及方程解的判定 丁左) 张杰2) 1)北京科技大学管理科学系，北京100083 2)北京科技大学计算机科学系，北京100083 摘要在现实的大系统分析中，常遇到由若干灰色子系统组成的灰色大系统，文章研究了这类灰色 大系统运动方程解的存在性与唯一性，给出了具体的判定方法，且给出了如何选择其状态向量的 具体方法。 关健词系统，状态变量，状态空间/灰色大系统 中图分类号TP13,0231 Methods for the Determination of State Vector and Equations Solution on Gray Large Scale Systems Ding Zuo Zhang Jie?) 1)Department of Management Science.USTB,Beijing 100083,PRC 2)Department of Computer Science.USTB ABSTRACT In the analysis and design of practical large scale systems,the Gray Large Scale Systems(GLSS)which are consisted of several gray subsystems are often contacted.In this pa- per,the solution's existence and uniqueness of the GLSS dynamical equation were discussed. And a concrete criteria was given.Moreover,a concrete method was concluded in order to de- termine GLSS state vector. KEYWORDS systems,state variables,state space/Gray LSS 目前，大系统理论研究的对象一般均是信息完全明确的白色系统，对于信息部分明确、 部分不明确的灰色大系统与信息完全不明确的黑色大系统研究的很少。而实际的大系统，由 于规模庞大、结构复杂、考虑的因素众多等特点，往往是灰色的或甚至是黑色的，因此开展 对这类大系统的研究非常必要， 1982年，邓聚龙教授提出了灰色系统概念[，为研究灰色系统指出一条切实可行的途 径。本文从灰色系统的概念出发，探讨灰色大系统问题.研究了对于由若干个灰子系统组成 的大系统，应如何建立其状态空间表达式以及在什么条件下，必须选择全部子系统状态变量 作为灰色大系统的状态变量才能全面描述大系统的性能，而在什么条件下只选择部分子系统 状态变量作为大系统状态变量就可以了，本文给出了判定准则与具体的推导方法· 1992-12-12收稿 第一作者男36岁副教授硕士

第 卷 第 期 年 月 北 京 科 技 大 学 学 报 百 功 灰色大系统状态 向量及方程解 的判定 丁 北京科技大 学管理科 学 系 ， 北 京 左 ’ 张 杰 〕 洲 北京科 技大学计算机科学 系 ， 北京 仪 摘要 在 现 实的大 系 统分析 中 ， 常遇到由若干灰色子系统组成的灰 色大系统 文章研究了这类灰色 大 系 统运 动方程解 的存在 性 与唯一性 ， 给出 了具体 的判定方法 ， 且 给出 了如何 选择其状态 向量 的 具体方法 关健词 系 统 ， 状态变量 ， 状态空 间 灰色大系 统 中图分类号 ， 块 五 氏 罗 翻 ， 压 田 ， 氏 助 ， “ ‘ ， 反堪 。 汀‘ 曰 拐 ， ’ 而以 化 似 ， 吧 认吸 时 把 山 另 。 沈 万 “ 巧 ， ， 目前 ， 大 系 统理论研究 的对象一 般均是 信息完 全 明确 的 白色 系 统 ， 对于 信 息 部 分 明 确 、 部分 不 明确 的灰色大 系 统 与信 息完 全 不 明确 的黑 色大 系统研究 的很少 。 而 实 际 的大 系 统 ， 由 于规模 庞大 、 结 构复 杂 、 考 虑 的 因素众 多等特 点 ， 往 往 是灰色 的或 甚至是 黑 色 的 ， 因此 开展 对这类大 系 统 的研究 非 常必要 年 ， 邓 聚龙 教 授提 出 了灰 色 系 统概 念 ’ ， ， 为研究 灰色 系统指 出一 条 切 实 可 行 的途 径 。 本文从灰 色 系 统 的概 念 出发 ， 探讨灰 色大 系 统 问题 研究 了对于 由若干个灰 子 系 统组成 的大 系 统 ， 应 如何建立 其状态 空 间表 达式 以 及 在什 么 条件下 ， 必须 选 择全部 子 系 统状态变量 作 为灰 色大 系统 的状 态 变量 才能全 面描述大 系统 的性 能 ， 而在什 么 条件下 只 选 择部分子 系统 状态 变 量作 为大 系 统状 态 变量 就 可 以 了 ， 本 文给 出 了判 定 准则 与具体 的推 导方 法 叩 一 一 收稿 第 一 作 者 男 岁 副教 授 硕 士 DOI ：10．13374／j ．issn1001－053x．1994．01．020

Vol.16 No.1 丁左等：灰色大系统状态向量及方程解的判定 95. 1灰色大系统模型 设灰色大系统S是由p个灰色子系统组成，灰色子系统S(i=1,2,"p)的状态空间表 达式如下： X=A,(因)X+B(☒)U: Y,=C(☒)X+D(☒)U i=1,2,…p 其中： A(⑧)∈G%*m C(⑧)∈Gm*n B(☒)∈G* D,(⑧)∈Gm,, 将全部子系统的状态方程与输出方程组合在一起得方程： X=A(⑧)X+B(⑧)UY=C(⑧)X+D(⑧)U 其中：X,Y,U分别为由X。Y。U(i=1,2,…,p)构成的列向量.A,B,C,D分别 为由A,B,C,D,组成的对角阵. 设灰色大系统的输人量V为r维，输出量Z为m维，构造矩阵F,G,J,K来描述大系统 的连接关系， (1)矩连F用来表示子系统的输人与子系统输出的关系 [Fu Fe…Fpl F-= Fn…Fp Fa Fe…Fp」 其中块阵F,=[(kI)】,xm中元素取值规定如下： 〔1当S的第1输出正接到S的第k个输人端时 ,)=-1当S的第1输出反接到S的第k个输入端时 0 当S析第I输出不接到S的第k个输人端时 (2)矩阵G表示大系统的输人与子系统输人间的连接关系 G=[G1G2…G,]T 其中块阵G,=[g:(k)],×,中元素取值规定如下： 1 当大系统的第I个输入正接到S的第k个输人端时 9,(1)= 一1当大系统的第1个输人反接到S,的第k个输入端时 0 当大系统的第I个输人不接到S的第k个输人端时 类似定义矩阵J来描述大系统输出和子系统的输出之间连接关系。矩阵K表示大系统输入与 输出之间的连接关系。 利用上述定义的4个矩阵就得方程： U=FY+GV Z=JY+KV 综上所述，就得全面描述大系统的运动方程： U=FY+GV Z=JY+KV X=A(因)X+B(因)U Y=C(⑧)X+D(⑧)U

丁左等 灰色大系 统状态向量及方程解 的判定 灰色大 系统模型 设灰色大 系 统 是 由 个灰色 子 系 统组成 ， 灰 色子 系 统 ， ， ， 二 ， 的状态 空 间 表 达式 如下 戈 二 ‘ ⑧ 戈 尽 ⑧ 认 艺 ⑧ 戈 ‘ 励 认 ， ， … 其 中 ‘ ⑧ 任 踌 氏 励 任 ，‘ ” “ 尽心 呀 ” ， ‘ ⑧ 任 ’ ·‘ ‘ 将全部子 系 统 的状态方程 与输出方程 组合在一起得方程 戈 通 必 刀 必 ⑧ ⑧ 其 中 ， ， 分别 为 盯 戈 ， 矶 ， 认 ， ， … ， 川 构 成 的 列 向 量 ， ， ， 分 别 为 由 戒 ， 乓 ， ， ‘ 组成 的对角 阵 设灰 色大 系 统的输人量 为 维 ， 输 出量 为 维 ， 构 造 矩 阵 ， ， 丈 来 描 述 大 系 统 的连接 关 系 矩连 用来表示 子 系统 的输人 与子系 统输 出的关 系 凡︸ 凡 凡 二 其 中块 阵 凡二 【无 。 、 、 中元素取值规定 如下 当 的第 输 出正接到 昆的第 个输人端 时 当 况的第 输 出反 接到 尽的第 个输人端 时 当 乓析第 输 出不接到 尽的第 个输人端 时 ，且 一 了、气 一 、尹 无 矩 阵 表示大 系 统的输人 与子系 统输人 间的连接 关 系 【 … … 炕 〕 其 中块 阵 仅 【 ‘ 。 、 中元 素取值规定 如 下 当大系 统 的第 个输人正接到 叹的第 个输入端 时 当大 系统 的第 个输人反 接到 叹的第 个输人端 时 当大 系 统 的第 个输人不接 到 叹的第 个输人端 时 曰 ，厂 一 老 、任、 一 ‘瓜了、 ‘夕、 了， 纽 类 似定义矩 阵 来描述大 系 统输 出和 子 系 统 的输 出之 间连接 关系 。 矩 阵 表示 大 系 统输 人 与 输 出之 间 的连接 关 系 。 利 用 上述 定 义 的 个矩 阵就得 方程 火 综上 所述 ， 就得 全 面描 述大 系 统 的运 动方程 一 畔 子 一 士叮 ‘ 二 曾 纵哟 凶 ⑧

.96. 北京科技大学学报 1994年No.1 其中： F(z(Em,G()x,Jx(Em,Kx,为相应维数阵。 2 灰色大系统运动方程解的存在性与唯一性判据 有了灰色大系统的运动方程后，就可以讨论灰色大系统的状态方程与输出方程了。对于 这个问题分两步考虑： (1)灰色大系统运动方程解的存在性与唯一性， (2)若方程解唯一存在，应如何选取状态变量。 下面先讨论第一个问题。对大系统运动方程两边进行零初始条件下的拉氏变换得： -F 0 0 「U(s)1 TG -D(⑧)1 0-C(☒) Y(s) 0 V(s) 0-J 0 Z(s) K -B(☒) 0 0(sl-A(⑧) X(s) 0 此方程组有唯一解的充要条件是灰多项式 -F0 0 -D☒ 10-C(☒) det 0 -J1 0 L-B(⑧) 0 0(s-A⑧) 不恒等于零。这个条件也就是大系统运动方程其解存在且唯一的条件。对此式进一步运算可得 1-F 0 0 det -D(⑧)1 0 -C(⑧) 0 -J 0 L-B(☒) 0 0(s-A(☒)J rI-F[D(☒)+C(☒)(s-A(☒》B(⑧)]00 0 -[D(图)+C(☒)(s-A(⑧》-B(⑧)]10 0 det 0 -J -B(⑧) 00(sl-A(☒) =det{I-F[C(⑧)(sl-A(☒)B(⑧)+D(☒)]}det(sI-A(⑧) 由于A(⑧以、B(⑧)、C⑧)、D⑧)均为块对角阵，故[C(⑧)(sl一A(⑧)B(⑧)+D⑧)]也是 块角对阵，且有 C(☒)(sl-A(☒》-'B(⑧)+D(☒)=H☒s) 其中H☒s)为H(⑧s)组成的对角阵。H,(⑧s)为子系统S的灰传递函数阵。 I-F00 故有 det -D⑧)10-C(☒) =det[I-FH(☒s)]det(sI-A(⑧) 0-J10 -B(⑧)00(sl-A⑧) 因此完全可以利用式dt[I-FH(⑧s)】来检验大系统运动方程解的存在与唯一性问 题。显然这个问题只与子系统灰传递函数H(⑧s)有关和与子系统间的连接矩阵F有关

北 京 科 技 大 学 学 报 关辫 年 其 中 ， 。 ， ， 、 ， ， 几 、 。 ， 凡 为相 应 维数阵 。 灰色大 系统运动方程解的存在性与唯一性判据 有 了灰 色大 系 统 的运 动方程后 ， 就可 以讨论灰 色大 系 统 的状态方 程 与 输 出方 程 了 。 对 于 这个 问题分 两步 考 虑 灰色大 系 统运 动方程解 的存在性 与唯一性 。 若方程解 唯 一存 在 ， 应如何 选取状态变量 。 下 面 先讨论第一个 问题 。 对大系 统运 动方程两边进行零初始 条件下 的拉 氏变换得 飞了 、少 ，二 一 、产、了、 ， 、 一 曰刀， ， 一 一 ⑧ 一 ⑧ 闪圆一 此方 程组有 唯 一解 的充要 条件是 灰多项式 孟了 一 伪 一 团 一 一 一 ⑧ 一 至力 不 恒等于 零 。 这个条件也就是大系 统运 动方程其解存 在且唯一 的条件 。 对此式进一步 运算可得 冈 一湘月 一 一 ⑧ 一 一 必 一 月几 门 ⑧ 一 工 了一 尸 【 ⑧ ⑧ 一 ⑧ 一 ’ ⑧ 一 【 ⑧ ⑧ 一 月 ⑧ 一 ’ ⑧ 一 励 一 一 因 一 凶 一 ’ 必川 一 因 由于 咏 、 必 、 国 、 侈 均 为块 对角 阵 ， 故 【 励 一 团 一 ’ 必 份 也是 块角 对阵 ， 且有 ⑧ 一 ⑧ 一 ’ ⑧ ⑧ 必 其 中 必 、 为 私 ⑧ 、 组成 的对角 阵 。 鱿 ⑧ 、 为子 系 统 叹的灰传递 函 数 阵 。 故有 丈 一 《珍 一 ⑧ 一 一 一 ⑧ 一 匆 一 付 ⑧ 一 ⑧ 因此 完全 可 以 利 用 式 【 一 尸仃 ⑧ 来 检 验 大 系 统 运 动 方 程 解 的存 在 与 唯 一 性 问 题 。 显然 这个 问题 只 与子 系 统灰传递 函 数 城 ⑧ 、 有 关 和 与子 系 统 间的连接矩 阵 有 关

Vol.16 No.I 丁左等：灰色大系统状态向量及方程解的判定 97. 3 确定灰色大系统状态向量的判定准则 在大系统运动方程解存在且唯一的条件下，就可以研究第二个问题了， 若大系统运动方程的解存在且唯一，应选择子系统S(=1,2,…p)的状态变量的全体 做为大系统状态变量才能全面描述大系统性能，还是只取选部分状态变量就够了· 为了讨论方便，记 -F] 2(⑧)= L-D(⑧) 对（⑧）中全体灰参数各赋予某一确定数值后得到的矩阵Q称为Q的一个白化矩阵。Q 的全体白化矩阵所构成的集合记做{⑨}.特别地，将Q的所有参数均赋0值的白化矩阵， 记做2。·若对V飞{9}，det2=0则称Q是恒降秩的；detQ≠0，则称Q是恒满秩 的.若Q是恒降秩或恒满秩的，则称Q是奇异性可判定的，否则是奇异性不可判定的·若？ 的1，，…元都是灰参数，且吃…与j2…各是互不相同的k个数，则称2中 划去…行、j行列所得到零化子阵的行列式为Q的关于灰参数因山1因，2…☒j的一 个n-k阶零化余子式，n为Q的阶数. 据灰色方阵奇异性的性质)，可知Q阵中所有零化余子式均为零时，Q阵的奇异性是 可判定的，并且V∈{}，detQ=0=det2。.进一步dct0=0,则Q恒降秩的，detQ≠0， 则Q是恒满秩的. 当Q是恒满秩时，有： -F001 I+FQ'(☒)D(☒) FQ-1(⑧) 0 01 -D(⑧☒)I00 2-(⑧)D(☒) 2'(⑧) 0 0 0 -J1 0 J21(⑧)D(⑧) JO- -B(☒) 001 B(⑧)[I+F21(⑧)D(⑧)】B(⑧图)FQ-(⑧) 01 对于大系统运动方程 -F001 U] 「0 G D(☒)I0 0 Y C(⑧ + 0 0 -J10 L-B(⑧) 001J 0 K A(⑧)」 0」 利用此结果则有： 「U1 Fp-'(☒)C(☒) 「[I+F2-'(⑧)D(☒)]G Y 2'(☒)C(⑧) 0-'(⑧)D(⑧)G J0'(☒)C(⑧) X+ JQ-(⑧)D(☒)G+K V LA(⑧)+B(☒)F2-'(⑧)C(☒) LB(⑧)[I+F2-1(⑧)D(⑧)】GJ 据上述分析，可得如下判定准则： 对于Q(⑧)阵所有零化余子式均为零的情况，若det2。=det[I-FD。]≠0，则可以选 子系统S:(i=1,2,“,P)的状态向量全体作为大系统的状态向量，得状态空间表达式：

丁 左等 灰色大系统状态向量及方程解 的判 定 确定灰色大 系统状态 向最的判定 准则 在大 系 统运动方程解存在且 唯一 的条件下 ， 就 可 以研究第二个 问题 了 若大系 统运动方程 的解存在且 唯 一 ， 应 选择子 系 统 吕 ， ， … 的 状态 变 量 的 全 体 做为大 系 统状态变量 才能全 面描述大 系 统性 能 ， 还是 只取 选部分状态变量 就够 了 为 了讨论方便 ， 记 “ 画 一 一蝙 一月 对 必 中全体灰参数各赋予某 一 确定数值后得到 的矩 阵 称 为 的一 个 白化 矩 阵 。 的全体 白化矩 阵所构成 的集 合记做 厄 特 别 地 ， 将 的 所 有 参 数 均 赋 。 值 的 白化 矩 阵 ， 记做 西 。 若 对丫 西 西 ， 则 称 是 恒 降 秩 的 手 。 ， 则 称 是 恒 满 秩 的 若 是 恒 降秩或 恒满秩 的 ， 则称 是 奇异性 可判定 的 ， 否 则是奇异性 不 可判定 的 若 的 ， 叭 ， … 元都是灰参数 ， 且 · 人与 运 … 人各是互 不相 同的 个 数 ， 则 称 中 划 去 … ‘ 行 、 … 列所得 到零化子 阵的行列 式 为 的关于灰参数 ⑧ 心 ， ⑧ … ⑧ 权人的一 个 一 阶零 化余子式 ， 。 为 的阶数 据灰色方阵奇异性 的性 质 【’ ， 可 知 阵 中所 有 零 化 余子 式 均 为零 时 ， 阵 的 奇 异 性 是 可判 定 的 ， 并且丫 西〔 厄 ， 一 。 一 泛 。 进一步 一 ， 则 恒 降秩 的 ， 举 ， 则 是 恒 满秩 的 当 是恒 满秩 时 ， 有 了 一 胆一 ’ 创 只圆 因 凶 一 ’ ， 剧 ⑧ 户迎 一 ’ ⑧ ⑧ 』 一 ’ ⑧ 一 ’ ⑧ 一 ’ ⑧ 一 ’ ⑧ · 二 二矛 一 卿 门月 ‘ 励 十 ‘ · 对于大 系统运 动方 程 「 ⑧ 一 ⑧ 一 一 利用此结果则有 一 ’ ⑧ ⑧ 一 ’ ⑧ ⑧ 一 ’ 勘 ⑧ ⑧ ⑧ 一 ’ ⑧ ⑧ 【 一 ’ ⑧ ⑧ 一 ’ ⑧ ⑧ 一 ’ ⑧ ⑧ 一 ’ ⑧ ⑧ ︸ 万‘ ， · 据上 述分析 ， 可得 如下 判定 准则 对于 ⑧ 阵所有零化余子式 均 为零 的情况 ， 若 。 【 一 手 ， 则 可 以 选 子 系 统 ‘ ， ， … ， 的状态 向量 全体 作为大 系 统 的 状 态 向量 ， 得 状 态 空 间表 达式

…98 北京科技大学学报 1994年No.1 「X=[A(⑧)+B(☒)F2-'(⑧)C(⑧】X+B(⑧)[I+F0-'(⑧)D(☒】GV Z=J0-'(⑧)C(⑧)X+[JQ'(⑧)D(☒)G+K]V 若dtQ。=0,则只选取各子系统S:状态向量的一部分作为大系统向量就可以了， 4 具体推导方法 对于？（⑧）阵所有零化余子式均为零的情况，可以通过初等变换，获得大系统的状态空 间表达式. 将大系统运动方程中系数矩阵排列成下列形式： 1-F00:0 C -D(☒)I00C(⑧)： 0 (1) 0-J10: 0 K L-B(☒)00IA(☒)：0」 若dtQ≠0，对上式进行行的初等变换，使左边的块阵变成单位阵，从而得到大系统状 态空间方程.这种初等变换的方法往往比矩阵直接求逆容易得多， 若dt2。=0,对式（1)进行初等变换，然后再进行适当的行与行及相应的列与列的对 换，相应的状态变量分量也做相应的对换，则得下述形式： lw0:Q'x,(⑧)：L(☒)：L(☒)： W(⑧) W(⑧图) (2) q{00ò② W,(⑧) ∑，+m)m+n=g9 n-q 这里假设式(I)左边系数矩阵秩为m+名+m+n)厂g,其中，=2m. 根据矩阵(2) 得下述等价的大系统运动方程如下： U Y lur 0 ; ,(⑧) 「 L(☒)：L(☒)1「X 「W(☒) x@ 00.2 c (闷) L2(⑧) 4… W,(☒)y (3) 0 0 0 工闷商 X LW(⑧)J 文1 由式(3)可知： 「X [4xI2x(⑧)] = [L(☒)川La(⑧)] +W(☒)V (4) 9 X LLi(☒)X+L(⑧☒)X+W(☒)V=0 5) 记1x三[22Q%】,且从式(5)中解出X: m n-q

北 京 科 技 大 学 学 报 望科 年 ⑧ ⑧ 一 ’ ⑧ ⑧ 】 ⑧ 一 ’ ⑧ ⑧ 一 ’ ④ ⑧ 一 ’ ④ ⑧ · 尸了 、 若 。 二 ， 则 只 选取各子 系 统 ‘ 状态 向量 的一部分作 为大 系 统 向量 就 可 以 了 具体推导方法 对于 ⑧ 阵所有零化余子式均 为零 的情 况 ， 可 以通过初等变换 ， 获得大 系 统 的状态空 间表 达式 将大 系 统运 动方程 中系数矩 阵排列 成 下列形 式 一 ⑧ 一 ⑧ 一 一 励 函 若 举 ， 对上式进行行 的 初等变换 ， 使左边 的块 阵变成单位 阵 ， 从而 得到大 系 统状 态空 间方程 这种初 等 变换 的方 法往往 比矩 阵直接 求逆容 易得 多 若 咕 ， 对式 进行初等 变换 ， 然后 再 进 行 适 当的 行 与 行 及 相 应 的 列 与 列 的 对 换 ， 相 应 的状态变 量分量 也做相 应 的对换 ， 则得下 述形 式 「 一 丛 一 一 旦一 一 外卿 一 一 侧塑 一 一 些终’一 一 竺一 丛 梦费 叩 丝竖 如一少 吸噢 叮 ⑧ 与 ⑧ 吃 ⑧ 、 一 尹一曰 艺价 二 ， 一 产 夕 月 、 声 口 一 犷一 口 刀 一 、 一、 一 一 、厂一曰 这 里假设式 左边 系数矩 阵秩 为 得下述等 价 的大系 统运 动方程 如下 十 至 。 ‘ 。 ‘ 一 。 ， 其 中 ， ， 艺 ‘ 根 据矩 阵 ‘了、 八 、产 一 城 ⑧ 姚 ⑧ 城 ⑧ 门 飞劳 「一 ， 《 回 一 一 瓜 一 一石必 一 户 一 一 卜 ， ， ⑧ ⑧ 一 石一 一 一 瓦 面 一 玩 一 因一飞一 瓦 卤 ︸ · 戈，’戈 由式 可 知 ‘‘、了、 ︼、 ︸ 、尹、了 「圣 戈 人 、 必 卜 · · … 二 【几 ， ⑧ 纯 剧 】 凡 了 “ 姚 ⑧ 戈 乌 ， ⑧ 戈 几 励 戈 琳 ⑧ 记 坛户 【 残 】 ， 且从式 中解 出 戈 八 一

Vol.16 No.1 丁左等：灰色大系统状态向量及方程解的判定 ·99. X=-L(⑧)L1(☒)X,-(⑧)W(⑧)V (6) 代人式(4)得 [2,12,⑧)-x(⑧L(图)L(图」=[山（②）-L(⑧)（⑧）b(⑧1x 「Z1 +[w,(⑧)-L2(⑧)L2(⑧)W(⑧)]V+Qx(⑧)L(☒)W,(⑧)立 (7) 将上式进行初等变换，就可以得到大系统的状态空间表达式，其X,为灰色大系统的状 态向量。 5小结 本文从灰色系统的概念出发，首先讨论了灰色大系统的状态空间表达式问题·其次， 明确了灰色大系统运动方程解的存在性及唯一性条件，接着给出了具体判惭如何选择灰色大系 统的状态向量的准则，并且还给出了推导简化状态空间表达式的条件及方法·为一进步研究 灰色大系统奠定了基础. 参考文献 】Deng Julong(邓聚龙，Control Problems of Grey Systems.Systems and Control Letter,I982, 1(5):58~62 2邓聚龙.灰色控制系统.华中工学院学报，1982,10(3)：9~18 3吴守治.灰色矩阵的奇异判断。华中工学院学报，1983,11(6)：1~12 4詹一辉.灰色系统的某些问题.华中工学院研究生报，1983，(1)：1~10 5涂序彦.大系统理论及应用讲座，信息与控制，1980，(1)~(4)：74；71；乃；卫 6须田信英等.自动控制中的矩阵理论，曹长修译，北京：科学出版社，1979.21~49

丁 左等 灰色大 系 统状态 向量及 方程解 的判定 戈 一写 卿 乌 卿 戈 一 味 卿 哄 ⑧ 代人式 得 「 〕 【县 ’“ 、 必，一 “ 、 ‘ 属 ‘ 划创 方 一 【与 ‘ 一 玩 ‘ 娜 “ 抓创 ，戈 机 ⑧ 一 ‘ ⑧ 嘱 ⑧ 姚 ⑧ 。 、 ⑧ 属 ⑧ 哄 ⑧ 护 将上 式进行初等 变换 ， 就可 以 得 到大 系 统 的状态空 间表 达 式 ， 其 戈 为 灰 色 大 系 统 的状 态 向量 小 结 本文从灰色 系 统 的概 念 出发 ， 首 先讨论 了灰 色 大 系 统 的状 态 空 间表 达 式 问题 其 次 ， 明确 了灰色大 系 统运 动方程解 的存在性及唯一 性条件 接着给出了具体判 断如何选择灰色大系 统 的状 态 向量 的准则 ， 并且 还 给 出 了推 导简化状态空 间表 达式 的条件 及方 法 为一 进步研究 灰色大 系 统奠定 了基础 参 考 文 献 众 山 邓 聚龙 〔 此 ” 巧 招 ￡ ， ， 一 邓 聚龙 灰 色控制 系 统 华 中工 学 院学报 ， ， 一 吴 守 治 灰 色矩 阵的奇异判 断 华 中工学 院学 报 ， ， 一 詹 一 辉 灰色 系 统 的某些 问题 华 中工 学 院研究生 报 ， ， 一 涂序彦 大 系 统理论及应 用讲座 信 息与控制 ， 即 ， 一 二 须 田 信英 等 自动控 制 中的矩 阵理论 曹 长修译 北京 科 学 出版社 ， 一