四维线性微分系统的混沌反控制理论及应用

D0I:10.13374/j.issn1001-053x.2004.06.051 第26卷第6期 北京科技大学学报 VoL.26 No.6 2004年12月 Journal of University of Science and Technology Beijing Dec.2004 四维线性微分系统的混沌反控制理论及应用 张丽丽 张晓丹 北京科技大学应用科学学院，北京100083 摘要提出了基于不连续的状态反馈方法，构造一类四维混沌系统的基本定理，实现了 类四维简单线性系统的混沌反控制，数值模拟验证了所提出理论的正确性，该理论为混沌系 统的构造及其应用提供了理论基础. 关键词线性微分系统：混沌反控制：不连续状态反馈：数值模拟 分类号0191 由于混沌的特性尤其是其对初值的敏感依 A至少有一个实部为负的特征值，若不加控制， 赖性，使得一方面需要对一个混沌系统实行控 上述系统在平衡点不稳定，现加状态反馈 制：另一方面，由于混沌在实际中的很多用途， (x)=B+k,使得控制后的系统在平衡点稳定，其 又需要对一个原来没有混沌的系统产生出混沌， 中x∈R,k∈R为常向量，即实现混沌反控制的 或对一个原来的混沌系统进一步增强其混沌行 方程为： 为或维持其混沌行为，即混沌的反控制.混沌反 化=Ax h(x)c 己经发现了许多混沌吸引子，同时也发现了 的部分，系统由外向中心旋转着收敛.因此B的 一些连续系统混沌反控制的方法，然而至今 选取应使A+B的全部特征值的实部均小于零，对 还没有一般系统的混沌反控制方法.有学者提出 于c的选择可以通过数值模拟函数h)关于时间t 的图像来确定. 用不连续状态反馈的方法实现了三维简单线性 事实上，上述方法适用于构造一类四维线性 连续系统的混沌反控制. 系统的混沌反控制.现给出如下定义及定理. 本文采用不连续状态反馈的方法，分别从理 定义1设fx)是从集合I到J的~个映射，若 论和实例两方面说明了该方法能够实现一类四 它是1一1的，映上的和连续的，而且其逆映射 维简单线性连续系统的混沌反控制，通过本文， f(x)在J上也是连续的，则称fx)是I到J的一个同 人们可以更自由地构造混沌系统，从而为混沌的 胚4， 应用提供了更大可能 定义2令f:A一A和g:B一B为两个映射，如果 1方法描述 A,B之间存在同胚h,而且有hf=gh,则称f和g 为拓扑共轭或拓扑等价的. 对于四维简单线性系统 定理对于任意的四维简单线性连续系统， 文=gx)=Axx∈R,A∈R4 (1) 文=fx)=Bxx∈R,B∈R4 (3) 假设矩阵A有特征值ra=ai邙，a,>0,且矩阵 假设B和A具有相同的特征值，且都有完全 收稿日期20040302张丽丽女，23岁，硕士研究生 的特征向量系，则系统(3)与系统(1)可以通过完 *国家自然科学基金资助项目No.70271068) 全相同的方法实现混沌反控制

第 卷 第 期 ‘ 年 月 北 京 科 技 大 学 学 报 让 飞 心 四维线性微分系统的混沌反控制理论及应用 张 丽 丽 张 晓 丹 北 京 科技 大学 应 用 科学 学 院 ， 北 京 摘 要 提 出了基 于 不 连 续 的状 态 反 馈 方法 ， 构造 一 类 四维混 沌 系 统 的基 本 定 理 ， 实现 了 类 四维简单线性 系统 的混 沌 反控 制 数值 模拟验 证 了所 提 出理 论 的正 确 性 该 理 论 为混 沌 系 统 的构 造及 其应 用提 供 了理 论 基 础 关 键 词 线 性 微 分 系统 混 沌 反 控 制 不 连 续 状 态 反 馈 数 值 模拟 分 类号 由于 混 沌 的特 性 尤 其 是 其 对 初 值 的敏 感 依 赖 性 ， 使 得 一 方 面 需要 对 一 个 混 沌 系 统 实行 控 制 另一 方面 ， 由于 混沌在 实 际 中的很 多用途〔 ‘ ， ‘ ， 又 需要对 一个 原来 没 有混 沌 的系 统产 生 出混 沌 ， 或 对 一 个 原 来 的混 沌 系 统 进 一 步增 强 其 混 沌 行 为或 维持 其 混 沌 行 为 ， 即 混 沌 的反 控 制 混 沌 反 控 制 是 一 个全新 的控 制 论 问题 ， 它 在 理 论 上 和 技 术上 都 极 富挑 战性 ， 而 且 在 高科 技 的应 用 上 具有 十 分 广 阔和 诱 人 的前 景‘ 对 离 散 系 统 的混 沌 反 控 制 的算 法 己经 有 学 者提 出‘ 一 ， 对 连 续 系 统混 沌 反控 制 的研 究过程 中 已 经 发现 了许 多混 沌 吸 引子 ，一 ， ， 同 时也 发现 了 一 些 连 续 系统 混 沌 反控 制 的方 法 ‘格 ’刃， 然 而 至 今 还 没有 一般 系统 的混沌 反控 制 方法 有学者提 出 用 不 连 续状 态 反 馈 的方 法 实现 了三 维 简单 线 性 连 续 系 统 的混 沌 反控 制 ‘， ， ， 本文采用 不连 续状 态 反馈 的方法 ， 分 别 从 理 论 和 实例 两 方 面 说 明 了 该 方 法 能够 实 现 一 类 四 维 简 单 线性连 续 系统 的混 沌 反控 制 通 过 本 文 ， 人们 可 以更 自由地 构 造混 沌 系统 ， 从而 为混沌 的 应 用 提 供 了更 大可 能 通 至 少有 一 个 实部 为 负 的特 征值 若 不 加 控 制 ， 上 述 系 统 在 平 衡 点 不 稳 定 ， 现 加 状 态 反 馈 “ 二 刀比 ， 使 得 控 制 后 的系 统在 平 衡 点稳 定 ， 其 中 任 ， 任 为 常 向量 ， 即实 现 混 沌 反控 制 的 方程 为 文二 通尤 充二 刁义 五比 七 任 ‘ ， 任 ‘ 方 法 描 述 对 于 四维 简单 线 性 系 统 玄 施 二 滋 任 猪 ， 任 牙 叫 假 设矩 阵 有特 征 值， 土泌 ， ， 且 矩 阵 收稿 日期 刁 张 丽 丽 女 ， 岁 ， 硕 士 研 究 生 国家 自然 科 学基 金 资助 项 目伽 。 其 中 ， ，， 为 ， 为 ， 从 为 一 分 割 状 态 空 间 的 函 数 由上 述 假 设及 方程 可 以看 出 ， 在 状 态 空 间 、抚 任 ‘ 的 部 分 ， 系 统 在 相 空 间 的轨 迹 由 中心 向外 旋 转 着 发 散 而 在只 任 贸 】 的部 分 ， 系统 由外 向中心 旋 转 着 收敛 因 此 的 选 取 应 使 十 的全 部特 征值 的实 部均 小于 零 对 于 。 的选 择 可 以通 过 数值 模 拟 函 数 关 于 时 间 的 图像 来确 定 事 实上 ， 上 述 方 法 适 用 于 构 造 一 类 四维 线性 系 统 的混 沌 反控 制 现 给 出如 下 定 义 及 定 理 定 义 设八戈 是 从集 合 到了的 一 个 映射 ， 若 它 是 一 的 ， 映上 的和 连 续 的 ， 而 且 其 逆 映射 厂 一 ’ 在了 也 是连 续 的 ， 则称八义 是了到 的一 个 同 胚 ， ， ，，， 定义 令厂 一月和 一 为两 个 映射 ， 如果 ， 之 间存 在 同胚 ， 而 且 有 ’ ， 则称 和 为拓 扑共 辘 或 拓 扑等 价 的〔，， 定理 对 于 任 意 的 四维 简 单 线 性 连 续 系 统 ， 文气八界 任 ， 任 “ 假 设 和 具 有 相 同 的特 征值 ， 且 都 有 完全 的特 征 向量 系 ， 则 系 统 与 系 统 可 以通 过 完 全 相 同 的方 法 实现 混 沌 反 控 制 DOI ：10．13374／j ．issn1001－053x．2004．06．051

674 北京科技大学学报 2004年第6期 证明设A(或B)的特征值为： r4=a±iB2a<0,B,≠0： 4=a+i6,k=1,2,3,4 r3=a2,r4=a.a2<0或a<0. A和B与之相对应的特征向量分别为：，，M,4: 根据以上讨论，分情况构造出多个实例以说 W1,W,w,w4:设 明通过非连续状态反馈实现混沌反控制的方法， 2:0001 并从数值模拟图像和求得的全部Lyapunov指数 01200 D- ,=[y1,2,,Va],W=[w,w2,w,wa, 两方面说明了该方法的有效性.在此选择a=2, 000 B1=20. 0004 则可以得到AV=D:BW=WD.由假设V和W可 例14=a±邛，a2<0,B2+0.系统(2)中的参数 分别取为： 逆，设P=W,则P可逆且可以得到A=PBP aB001 「-6000 下面证明系统(3)和系统(1)拓扑等价 A= 1-Ba00 0-600 ,B= 设p:R一R,p(x)=Px,则p为连续的一一映 00aB 0000 射，且有p:R一R,p(x)=Px,p也连续，从而 0.0-Ba L0000 说明p是R一R的同胚映射.同时对任意的 0 0 x∈R,可以得到： a2=-20 k= 60 ,其中 o(g(x))=p(Ax)=P(Ax)=P(PBP)x=B(Px)= A2=2 60 B(p(x)=f八px) 选择分割状态空间的函数为h(x)=x+√+， 这说明映射/和g是拓扑等价的，即系统(3)和系统 c=6.在上述参数的选择下，系统(2)变为： (1)具有完全相同的拓扑结构，从而这两系统的 「220001x 平衡点、周期轨道、各种不变集或是各种轨道都 2 -2020 0 (4a) 可以在同胚映射p下建立连续的对应关系，从而 x+√x+x<6 3 0 0-20 2 说明了系统(3)与系统(1)可以通过完全相同的方 00 -2 -20儿x4 法实现混沌反控制 -4200 01xl「0 -20-40 0 x2 0 x4+/x+≥6(4b) 2实例及其数值模拟 00-20 2 60 00-2 -20x60 对于四阶实矩阵A,根据其特征值的情况，可 通过数值模拟得到的混沌反控制的结果见 知满足上述假设的A总的可分为以下两种情况： 图1 3 2 (c) (d) 1 0 0 0 -1-5 1-5 图1系统（④）的四个三维混沌图像.(a)变量x,x,的混沌相轨迹图：()变量x,,x的混沌相轨迹图：（©）变量x, 的混沌相轨迹图：(@变量，，x的混沌相轨迹图 Fig.1 Four three-dimensional chaotic graphics of system (4):(a)the chaotic space trajectory of variablesxx,x,;(b)the chaotic space trajectory of variablesx,x,x;(c)the chaotic space trajectory of variables x,(d)the chaotic space tra- jectory of variablesxx,x

一 北 京 科 技 大 学 学 报 年 第 期 证 明 设月 或 的特 征 值 为 只 讽 ， ， ， ， 和 与 之 相 对 应 的特 征 向量 分 别 为 ，，，’ ，， ， ，，从 设 又 ” ” “ 企…吉呈… ， 卜 一 〕 ， 价 ‘ ’ ， ‘ ’ ， ‘ ” “ 〕 ’ 成 ， 二 士 讽 吸 ，燕羊 儿 头 ， 八 二 屿 吸 或 民 根 据 以上 讨 论 ， 分情 况 构 造 出 多个 实例 以说 明通过 非 连续状态 反馈 实现 混沌 反控制 的方 法 ， 并 从数 值 模 拟 图像 和 求 得 的全 部 指 数 两 方 面 说 明 了该 方 法 的有 效性 在 此选 择 ， 刀 ， 例 汽 二 士 磷 久 ，几羊 系 统 中 的参 数 分 别 取 为 一 。 从灸 谁 ， 刀 一刀 ， ， 其 中 份 燕 一 卫昔‘ ， 一 选 择 分割 状 态 空 间 的 函 数 为 二 甲 产云不森 ， 二 ， 在 上 述 参 数 的选 择 下 ， 系 统 变 为 厂胃， 下 ， ， 石 斌不十戏 ‘ 斗 局 礴」 二句奸蕊 二 否 八 戈丸从 则 可 以得 到 下刃尹尸 仲刀 由假 设 和 砰可 逆 ， 设 尸犷 ’ ， 则 可 逆 且 可 以得 到 产，尸 下 面 证 明系 统 和 系 统 拓 扑等 价 设 尹 一 夕 六 ， 则 势为 连 续 的 一 一 映 射 ， 且 有 一 ‘ 官 一 食尸 一 ’ 产份 ， 尹 一 ‘ 也 连 续 ， 从 而 说 明尹 是 一 的 同 胚 映 射 同 时 对 任 意 的 任 ， 可 以得 到 势烤你 “ 切份伙 州月工 洲尸 ’丑尸玩 八 二 甲 势 这 说 明映射拜口 是 拓 扑等 价 的 ， 即系 统 和 系 统 具 有 完全 相 同 的拓 扑 结 构 ， 从 而 这 两 系统 的 平 衡 点 、 周 期轨 道 、 各 种 不变 集 或 是 各 种 轨 道 都 可 以在 同胚 映射 毋下 建 立 连 续 的对 应 关 系 ， 从 而 说 明 了 系 统 与 系 统 可 以通 过 完 全 相 同 的方 法 实现 混 沌 反 控 制 实例 及 其 数 值 模 拟 对 于 四阶 实矩 阵 ， 根据 其特 征 值 的情 况 ， 可 知满 足 上 述 假 设 的月 总 的可 分 为 以下 两 种 情 况 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 阮卜卜比内户防阵 通 过 数 值 模 拟 得 到 的混 沌 反 控 制 的 结 果 见 图 一 一 刁 从﹁ 从， ‘汽，，﹄ 礴 图 系 统 的 四 个三 维 混 沌 图 像 变量石，两 ，劝 的 混 沌 相 轨 迹 图 变 量石，及 ，两 的 混 沌 相 轨迹 图 变量 ，与，为 的 混 沌 相 轨 迹 图 变 量及，石 ， ’ 的 混 沌 相 轨迹 图 比 一 “ ， ，与 叮 ，， ， ’ 叮 ，两 ，石 叮 介 ，局 ，

Vol.26 No.6 张丽丽等：一类四维线性微分系统的混沌反控制理论及其应用 ·675 根据文献[16，求得系统(4)的全部Lyapunov 「x}「2200 01x 指数为0,9.24，-15.41，-18.37，从而从图1的模 -20200 x: x+/x+x好0, 数值模拟混沌反控制的结果如图3 aB00] 「-60001 「0 据文献[l6],求得系统(6)的全部Lyapunov指 -Ba00 0-600 A- ,B= ,k= 数为0,4.80,0.97，-8.71，从而从图3的模拟结果 002B2 0000 % 和全部Lyapunov两方面说明系统(6)实现了混沌. 000a 0000 60 例4选取 其中对B无要求，在此取B=-2,a=-15,a%=1, 「2100 01 「-6000 0 选择分割状态空间的函数hx)=x+V+x,c=6. -40200 0-600 0 在上述参数的选择下，系统(2)变为： A= ,B= 00-202 0000k= 60 「x]「220001x 00-2-20 0000 60 -20200x x+√X+x<6 (6a) 则此时系统(2)变为： 00 -152x [xl「210007x L文4 00 0 1儿x4 -40200x -420 0 0[x1「0 00-202 -20-40 0 0 x+√/x+x2≥6(6b) 4 0 0-2-20x4 0-15-2 60 x+√/1.581Ix)+0.7906x)P<6 (7a) x4 0 0 0 -19x 60

从〕 张歹丽 等 一 类四 维 线 性微 分 系统 的 混 沌 反 控 制理 论 及 其应 用 了 指 呢 以‘ 一 十 勺 毛 么在藉 根据 文 献 〔 山比厂产阮比 ， 求 得 系 统 的全 部 指数 为 ， ， 一 ， 一 ， ， 从 而 从 图 的模 拟 结 果 和 全 部 两 方 面 说 明 了系 统 实 现 了混 沌 ， 例 几 决 ， 八 且 灸 ， 伪 ， ” 一 ” 拼 一 …洲 粉 一 」 …， 一 … 。 一 …矛 一 一 一 …秘…旅 · 了 」 」 “ 刀 矛 一 数 值 模 拟 混 沌 反 控 制 的结 果 如 图 据 文 献 ， 求 得 系 统 的全 部 场 曰 节场 月一 其 中 ， 对从无 要 求 ， 在此 取八二 ， 灸 一 一 ， 选 择 分割状 态 空 间 的 函 数 十 异滚 ， 。 二 ， 在 上述 参 数 的选 择 下 ， 系 统 变 为 数 为 ， ， ， 一 ， 从 而 从 图 的模 拟 结 果 和 全 部 场 两 方 面 说 明系统 实现 了混沌 内乙 浦 缺﹁ 为 一 一 ， 售 浑 图 系统 的 四 个 三 维 混 沌 图像 变 量 ，朴 ， 的 混 沌 相 轨迹 图 变 量 ，为 ， 。 的 混 沌 相 轨 迹 图 变量 ，丸 ，石 的混 沌 相 轨迹 图 变 量丸 ，肠 ， 。 的 混 沌 相 轨 迹 图 一 ， ， ， 幻 ， ， 对 ，， ， 价 ，为 ，石 例 凡 久 ， 八 且久 ， 免 ， 刀 一 数值 模 拟 混 沌 反控 制 的结 果 如 图 据 文献 【 ， 求得 系 统 的全 部 指 数 为 ， ， ， 一 ， 从 而 从 图 的模 拟 结 果 和 全 部 两方 面 说 明系 统 实现 了混沌 例 选 取 一 凡孔 巧 一 声角 节 月一 一 一 砚 其 中对从无 要 求 ， 在 此 取从二 一 ， 二 一 ， ， 选 择 分 割 状 态 空 间 的 函 数 二 、 气反开无〕 ， 在 上 述 参数 的选 择 下 ， 系 统 变 为 一 一 一 一 一 一 … ， 为十寸不 ‘ ’ 仁瓜」… 一 一 一 一 一 则此 时 系 统 变 为 卜山盯阮 一 一 一 一 一 卜丙盯巨嗦门 …艾… · …一 全 ‘ ， 」 」 丫币亏宕 而拜瓦于面 赢乃 万 佗 ︸﹃ ‘ 匕山门户匹阮队一户 国

·676。 北京科技大学学报 2004年第6期 4 6 (a (b) 0 10 0 0 10 0 -10-10 -10-10 6 6 (c) (d) 5 5 10 0 10 0 -5-10 -5-10 X2 图3系统（⑥的四个三维混沌图像，(a)变量，2，的混沌相轨迹图：(b)变量，，x4的混沌相轨迹图：(C)变量x,x,x 的混沌相轨迹图：(d变量x,x,x的混沌相轨迹图 Fig.3 Four three-dimensional chaotic graphics of system(6):(a)the chaotic space trajectory of variables x,x:,x,;(b)the chaotic space trajectory of variablesx,x:,x;(c)the chaotic space trajectory of variablesx,x,x;(d)the chaotic space tra- jectory of variables x,xx [[-410 0 01[x,l 0 此时A的特征值与例1中的完全相同，而且 -40-40 0 X2 0 两者均有完全特征向量.数值模拟结果见图4. 0 0-202 60 从图4可以看出，例4与例1通过完全相同 0 0 -2-20儿x 60 的方法实现了混沌反控制，同时从实例上说明了 x+√1.5811x+0.7906x)226 (7b) 定理的准确和该方法的有效性， (a) -105 -10-5 2 (d) 10 0 0-5 X1 0-10 图4系统()的四个三维混沌图像.()变量，x,x的混沌相轨迹图：(b)变量x,x,x,的混沌相轨迹图：(c)变量x,x,x4 的混沌相轨迹图：（变量，x3,x,的混沌相轨迹图 Fig.4 Four three-dimensional chaotic graphics of systems(7):(a)the chaotic space trajectory of variablesx(b)the chaotic space trajectory of variables x,x:,x;(c)the chaotic space trajectory of variablesxx,x;(d)the chaotic space tra- jectory of variables x,xx

一 北 京 科 技 大 学 学 报 年 第 期 汀 伟，胜 舜 考 一 一 图 系 统 的 四 个三 维 混 沌 图像 变量 ，肠 ，石 的混 沌 相 轨 迹 图 伪 变 量 ，两， ’ 的 混 沌 相 轨迹 图 变量 ，与 ， ’ 的 混 沌相 轨 迹 图 变 量毛 ，与 ，从 的 混 沌 相 轨 迹 图 一 盯 加 ， ， 口 ，， ， ’ 卜 ，，匀 ，从 · 肠 ，与 ，石 “ “ 卜 】 “ 燕 一 “ “ 一 一 」医」 匡 分 分今 一 一 十 一 丫 ， 七 此 时 的特 征 值 与例 中 的完 全 相 同 ， 而 且 两 者 均 有完 全 特 征 向量 数 值 模 拟 结 果 见 图 从 图 可 以看 出 ， 例 与例 通 过 完 全 相 同 的方 法 实现 了混沌 反控制 ， 同时从 实例 上 说 明 了 定 理 的准 确 和 该 方 法 的有 效性 ，︸，立 从呼 一 且 汀 图 系统 的 四 个三 维 混 沌 图像 变量 ， ， ，的 混 沌相 轨迹 图 变 量 ， 丸 ， 的 混 沌 相 轨 迹 图 变 量 ，幻， ’ 的 混 沌相 轨 迹 图 变量 ，局 ， ’ 的 混 沌相 轨 迹 图 啥 一 叮 ， ，为 卜 叮 ， ， 一 ，，与 ，石 叮 朴 ，毛 ，从

YoL.26 No.6 张丽丽等：一类四维线性微分系统的混沌反控制理论及其应用 ·677· 3结语 7 Chen G.Designing feedback controller to generate chaos for engineering applications [A].Plenary Speech,Proc of 通过状态反馈实现了·一类四维简单线性连 19th Chinese Control Conference [C].Hong Kong.2000. 续系统的混沌反控制，数值模拟结果展示了丰富 14 的混沌现象，由于n阶矩阵有多对共轭特征值的 8 Chen G,Ueta T.Yet another chaotic attractor [J].Int J Bi- 情况，因此，笔者希望对四维情况的讨论能够使 fur Chaos..1999(9:1465 该方法推广到n维简单线性连续系统的混沌反控 9 Lu J,Chen G.A new chaotic attractor coined [J].Int J Bi- fure Chaos,.2002,12(3:659 制成为可能. 10 LuJ,Chen G,Zhang S.Dynamical analysis ofa new cha- otic attractor [J].Int J Bifurc Chaos,2002,12(5):1001 参考文献 11 Lu J.Chen G,Zhang S.The compound structure of a new 】方锦清.驾驭混沌与发展高新技术[M).北京：原子 chaotic attractor.Chaos IJ].Solitons and Fractals.2002. 能出版社，2002 14:669 2闵乐泉，杨淼，张先华.基于广义混沌同步的数字图 12 Yang XS,LiQ D.Chaotic attractor in a simple hybrid sys- 像隐藏方案[.北京科技大学学报，2003,25(5)：477 tem [J].Int J Bifurc Chaos,2002,12(10):2255 3 Wang X F,Chen G.Yet another algorithm for chaotifying 13 Yang X S,Li Q D.Chaotic dynamics in linear system with control of discrete chaos [J].J Control Theory Appl,2000, a simple switching feedback[A].第一十一届中国控制 17:336 会议论文集[C1.586 4 Wang X F,Chen G.On feedback anticontrol of discrete 14蔡大用，白峰杉.高等数值分析M北京：清华大 chaos [J].Int J Bifur Chaos,1999,9(7):1435 学出版社，2000 5 Chen G.Lai D.Feedback anticontrol of discrete chaos [J]. 15盛昭翰，马军海，非线性动力系统分析引论M)北 Int J Bifur Chaos,1998,8(7):1585 京：科学出版社 6 Chen G.Chaos:control and anti-control [J].IEEE Circuits 16刘秉正.非线性动力学与混沌基础M.长春：东北 Syst Newslett,1998(3):1 师范大学出版社，1995 Theorem of Chaotification for a Kind of 4-Dimensional Linear Differential System and its Applications ZHANG Lili,ZHANG Xiaodan Applied Sciences School,University of Science and Technology Beijing,Beijing 100083,China ABSTRACT The basic theorem for constructing a kind of 4-dimensional chaotic system is presented based on the feedback control method under discontinuous state.Chaotification of a kind of simple 4-dimensional linear differ- ential system is achieved.Numeric simulations verify the correctness of the theorem. KEY WORDS linear differential system;chaotification;discontinuous state feedback;numeric simulation

一 州 一 张丽 丽 等 一 类四 维线性微分系统的混 沌反控制理 论 及其应 用 · 结 语 通 过 状 态 反 馈 实 现 了一 类 四维 简 单 线 性 连 续 系统 的混 沌 反控 制 ， 数值模 拟 结 果展 示 了丰 富 的混 沌 现 象 由于 阶矩 阵有 多对 共 扼特 征值 的 情 况 ， 因此 ， 笔 者 希 望对 四维情 况 的讨 论 能够 使 该 方法推广 到 维 简单线性 连 续 系 统 的混 沌 反控 制 成 为可 能 参 考 文 献 方 锦 清 驾驭 混 沌 与 发 展 高新 技 术 〕 北 京 原 子 能 出版 社 ， 闽 乐 泉 ， 杨 森 ， 张 先 华 基 于广 义 混 沌 同 步 的数 字 图 像隐 藏 方 案 北 京 科 技 大 学 学报 ， ， 认 ， 斤 卿 ， ， 白 ， ， ， ， 【 ， ， 一 ， ， 〔 ， ， 」 ， ， 」 五止 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 、 ， ， ， 、 ， 阵 第 二 十 一 届 中 国控 制 会议 论 文集 〔 蔡大 用 ， 白峰杉 高等 数值 分 析 北 京 清华 大 学 出版 社 ， 巧 盛 昭 翰 ， 马 军 海 非 线 性 动 力系统 分 析 引 论 北 京 科 学 出版 社 刘 秉 正 非 线性 动 力 学 与 混 沌 基 础 长 春 东北 师 范 大 学 出 版社 ， 一 了月刃 ， 乙从咬刃 ， 邝 ’ ， ， 一 一 七 们以