第七章目标规划 §1目标规划的提出 线性规划问题是讨论一个给定的线性目标函数在一组线性约束 条件下的最大值或最小值问题。对于一个实际问题，管理科学者根据 管理层决策目标的要求，首先确定一个目标函数以衡量不同决策的优 劣，且根据实际问题中的资源、资金和环境等因素对决策的限制提出 相应的约束条件以建立线性规划模型：然后用计算机软件求出最优方 案并作灵敏度分析以供管理层决策之用。而在一些问题中，决策目标 往往不只一个，且模型中有可能存在一些互相矛盾的约束条件的情 况，用已有的线性规划的理论和方法无法解决这些问题。因此，1961 年美国学者查恩斯(A.Charnes)和库柏(W.W.Coopor)提出了目标 规划的概念与数学模型，以解决经济管理中的多目标决策问题。 我们将通过几个例子来说明在实际应用中线性规划存在一系列 的局限性。 例1某厂生产A、B两种产品每件所需的劳动力分别为4个人工和 6个人工，所需设备的单位台时均为1。已知该厂有10个单位机器台 时提供制造这两种产品，并且至少能提供0个人工。又，A、B产品 的利润，每件分别为300元和500元。试问：该厂各应生产多少件A、 B产品，才能使其利润值最大？ 解设该厂能生产A、B产品的数量分别为x,x,件，则有
1 第七章 目标规划 §1 目标规划的提出 线性规划问题是讨论一个给定的线性目标函数在一组线性约束 条件下的最大值或最小值问题。对于一个实际问题，管理科学者根据 管理层决策目标的要求，首先确定一个目标函数以衡量不同决策的优 劣，且根据实际问题中的资源、资金和环境等因素对决策的限制提出 相应的约束条件以建立线性规划模型；然后用计算机软件求出最优方 案并作灵敏度分析以供管理层决策之用。而在一些问题中，决策目标 往往不只一个，且模型中有可能存在一些互相矛盾的约束条件的情 况，用已有的线性规划的理论和方法无法解决这些问题。因此，1961 年美国学者查恩斯（A.Charnes）和库柏（W.W.Coopor）提出了目标 规划的概念与数学模型，以解决经济管理中的多目标决策问题。 我们将通过几个例子来说明在实际应用中线性规划存在一系列 的局限性。 例 1 某厂生产 A、B 两种产品每件所需的劳动力分别为 4 个人工和 6 个人工，所需设备的单位台时均为 1。已知该厂有 10 个单位机器台 时提供制造这两种产品，并且至少能提供 70 个人工。又，A、B 产品 的利润，每件分别为 300 元和 500 元。试问：该厂各应生产多少件 A、 B 产品，才能使其利润值最大？ 解 设该厂能生产 A、B 产品的数量分别为 1 2 x x, 件，则有
max==300x+500x2 x,+x2≤10 s.1{4x+6.x2≥70 x,≥0，j=1,2 图解法求解如下： 4x+6x=70 5101520> 为+为3=10 图7-1 由上图可得，满足约束条件的可行解集为©，即机时约束和人工 约束之间产生矛盾，因而该问题无解。但在实际中，该厂要增加利润， 不可能不生产A、B两种产品，而由线性规划模型无法为其找到一个 合适的方案。 例2某厂为进行生产需采购A、B两种原材料，单价分别为70元/ 公斤和50元/公斤。现要求购买资金不超过5000元，总购买量不少 于80公斤，而A原材料不少于20公斤。问如何确定最好的采购方 案（即花掉的资金最少，购买的总量最大）？ 解这是一个含有两个日标的数学规划问题。设x,x,分别为购买两种 原材料的公斤数，(x,x)为花掉的资金，(x,x)为购买的总量。建 立该问题的数学模型形式如下：
2 1 2 1 2 1 2 max 300 500 10 . . 4 6 70 0, 1,2. j z x x x x s t x x x j = + + + = 图解法求解如下： 由上图可得，满足约束条件的可行解集为 ，即机时约束和人工 约束之间产生矛盾，因而该问题无解。但在实际中，该厂要增加利润， 不可能不生产 A、B 两种产品，而由线性规划模型无法为其找到一个 合适的方案。 例 2 某厂为进行生产需采购 A、B 两种原材料，单价分别为 70 元/ 公斤和 50 元/公斤。现要求购买资金不超过 5000 元，总购买量不少 于 80 公斤，而 A 原材料不少于 20 公斤。问如何确定最好的采购方 案（即花掉的资金最少，购买的总量最大）？ 解 这是一个含有两个目标的数学规划问题。设 1 2 x x, 分别为购买两种 原材料的公斤数， f x x 1 1 2 ( , ) 为花掉的资金， f x x 2 1 2 ( , ) 为购买的总量。建 立该问题的数学模型形式如下：
minf(x,x2）=70x+50x2 maxf(,)=x+x [70x+50x,≤5000 s.1. X+x2280 x≥20 (,x≥0 对于这样的多目标问题，线性规划很难为其找到最优方案。极可 能的结果是，第一个方案使第一目标的结果值优于第二方案，同时第 二方案使第二目标的结果值优于第一方案。也就是说很难找到一个最 优方案，使两个目标的函数值同时达到最优。另外，对于多目标问题， 还存在有多个目标存在有不同重要程度的因素，而这也是线性规划所 无法解决的。 在线性规划的基础上，建立了一种新的数学规划方法一一目标规 划法，用于弥补线性规划的上述局限性。总的来说，目标规划和线性 规划的不同之处可以从以下几点反映出来： 1、线性规划只能处理一个目标，而现实问题往往存在多个目标。 目标规划能统筹兼顾地处理多个目标的关系，求得切合实际需求的 解。 2、线性规划是求满足所有约束条件的最优解。而在实际问题中， 可能存在相互矛盾的约束条件而导致无可行解，但此时生产还得继续 进行。即使存在可行解，实际问题中也未必一定需要求出最优解。目 标规划是要找一个满意解，即使在相互矛盾的约束条件下也找到尽量 满足约束的满意解，即满意方案。 3
3 ( ) ( ) 1 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 min , 70 50 max , 70 50 5000 80 . . 20 , 0 f x x x x f x x x x x x x x s t x x x = + = + + + 对于这样的多目标问题，线性规划很难为其找到最优方案。极可 能的结果是，第一个方案使第一目标的结果值优于第二方案，同时第 二方案使第二目标的结果值优于第一方案。也就是说很难找到一个最 优方案，使两个目标的函数值同时达到最优。另外，对于多目标问题， 还存在有多个目标存在有不同重要程度的因素，而这也是线性规划所 无法解决的。 在线性规划的基础上，建立了一种新的数学规划方法——目标规 划法，用于弥补线性规划的上述局限性。总的来说，目标规划和线性 规划的不同之处可以从以下几点反映出来： 1、线性规划只能处理一个目标，而现实问题往往存在多个目标。 目标规划能统筹兼顾地处理多个目标的关系，求得切合实际需求的 解。 2、线性规划是求满足所有约束条件的最优解。而在实际问题中， 可能存在相互矛盾的约束条件而导致无可行解，但此时生产还得继续 进行。即使存在可行解，实际问题中也未必一定需要求出最优解。目 标规划是要找一个满意解，即使在相互矛盾的约束条件下也找到尽量 满足约束的满意解，即满意方案
3、线性规划的约束条件是不分主次地等同对待，这也并不都符合 实际情况。而目标规划可根据实际需要给予轻重缓急的考虑。 §2目标规划的基本概念与数学模型 §2.1基本概念 在这一小节里介绍与目标规划有关的基本概念。 1.偏差变量 对于例1，造成无解的关键在于约束条件太死板。设想把约束条 件“放松”，比如占用的人力可以少于0人的话，机时约束和人工约 束就可以不再发生矛盾。在此基础上，引入了正负偏差的概念，来表 示决策值与目标值之间的差异。 d一一正偏差变量，表示决策值超出目标值的部分，目标规划里 规定d≥0： d一一负偏差变量，表示决策值未达到目标值的部分，目标规划 里规定d≥0。 实际操作中，当目标值（也就是计划的利润值）确定时，所作的 决策可能出现以下三种情况之一： (1)决策值超过了目标值（即完成或超额完成计划利润值），表 示为d20,d=0:
4 3、线性规划的约束条件是不分主次地等同对待，这也并不都符合 实际情况。而目标规划可根据实际需要给予轻重缓急的考虑。 §2 目标规划的基本概念与数学模型 §2.1 基本概念 在这一小节里介绍与目标规划有关的基本概念。 1．偏差变量 对于例 1，造成无解的关键在于约束条件太死板。设想把约束条 件“放松”，比如占用的人力可以少于 70 人的话，机时约束和人工约 束就可以不再发生矛盾。在此基础上，引入了正负偏差的概念，来表 示决策值与目标值之间的差异。 i d + ——正偏差变量，表示决策值超出目标值的部分，目标规划里 规定 0 i d + ； i d −——负偏差变量，表示决策值未达到目标值的部分，目标规划 里规定 0 i d − 。 实际操作中，当目标值（也就是计划的利润值）确定时，所作的 决策可能出现以下三种情况之一： （1）决策值超过了目标值（即完成或超额完成计划利润值），表 示为 0 i d + ， 0 i d − = ；
(2)决策值未达到目标值（即未完成计划利润值），表示为d=0, d20: (3)决策值恰好等于目标值（即恰好完成计划利润指标），表示 为d=0,d=0 以上三种情况，无论哪种情况发生，均有d·d=0。 2.绝对约束与目标约束 绝对约束也称系统约束，是指必须严格满足的等式约束和不等式 约束，它对应于线性规划模型中的约束条件。 目标约束是目标规划所特有的。当确定了目标值，进行决策时， 允许与目标值存在正或负的偏差。因而目标约束中加入了正、负偏差 变量。 如，例1中假定该企业计划利润值为5000元，那么对于目标函数 maxz=300x+500x2,可变换为 300.x+500x2+d-d=5000 该式表示决策值与目标值5000之间可能存在正或负的偏差（请读 者分别按照上面所讲的三种情况来理解)。 绝对约束也可根据问题的需要变换为目标约束。此时将约束右端 项看作所追求的目标值。如，例1中绝对约束x+x≤10，可变换为目 标约束x+为+d-d=10。 3.目标规划的目标函数
5 （2）决策值未达到目标值（即未完成计划利润值），表示为 0 i d + = ， 0 i d − ； （3）决策值恰好等于目标值（即恰好完成计划利润指标），表示 为 0 i d + = ， 0 i d − = 。 以上三种情况，无论哪种情况发生，均有 i d + • i d − =0。 2．绝对约束与目标约束 绝对约束也称系统约束，是指必须严格满足的等式约束和不等式 约束，它对应于线性规划模型中的约束条件。 目标约束是目标规划所特有的。当确定了目标值，进行决策时， 允许与目标值存在正或负的偏差。因而目标约束中加入了正、负偏差 变量。 如，例 1 中假定该企业计划利润值为 5000 元，那么对于目标函数 max 300 500 1 2 z x x = + ，可变换为 1 2 300 500 5000 i i x x d d − + + + − = 。 该式表示决策值与目标值 5000 之间可能存在正或负的偏差（请读 者分别按照上面所讲的三种情况来理解）。 绝对约束也可根据问题的需要变换为目标约束。此时将约束右端 项看作所追求的目标值。如，例 1 中绝对约束 1 2 x x + 10 ，可变换为目 标约束 1 2 10 i i x x d d − + + + − = 。 3．目标规划的目标函数
对于满足绝对约束与目标约束的所有解，从决策者的角度来看， 判断其优劣的依据是决策值与目标值的偏差越小越好。因此目标规划 的目标函数是与正、负偏差变量密切相关的函数，我们表示为 minz=f(d,d)。它有如下三种基本形式： (1)要求恰好达到目标值，即正、负偏差变量都尽可能地小。此 时，构造目标函数为：minz=d矿+d (2)要求不超过目标值，即允许达不到目标值，正偏差变量尽可 能地小。此时构造目标函数为：min:=d (3)求超过目标值，即超过量不限，负偏差变量尽可能地小。此 时构造目标函数为：min:=d 4.优先次序系数与权系数 一个规划问题往往有多个目标。决策者在实现这些目标时，存在 有主次与轻重缓急的不同。对于有K级目标的问题，按照优先次序分 别赋予不同大小的大M系数：M,M2,Mx。M,M,M 为无穷大的正数，并且，M之M,》.》M(“》”符号表示“远大 于”)，这样，只有当某一级目标实现以后（即目标值为0），才能 忽略大M的影响，否则目标偏离量会因为大M的原因而无穷放大。 并且由于M:M1,所以只有先考虑忽略M,影响（实现第k级目标） 后，才能考虑第k+1级目标。实际上这里的大M是对偏离目标值的惩 罚系数，优先级别越高，惩罚系数越大。 权系数©，用来区别具有相同优先级别的若干目标。在同一优先级
6 对于满足绝对约束与目标约束的所有解，从决策者的角度来看， 判断其优劣的依据是决策值与目标值的偏差越小越好。因此目标规划 的目标函数是与正、负偏差变量密切相关的函数，我们表示为 min , z f d d ( i i ) + − = 。它有如下三种基本形式： （1）要求恰好达到目标值，即正、负偏差变量都尽可能地小。此 时，构造目标函数为： min i i z d d + − = + （2）要求不超过目标值，即允许达不到目标值，正偏差变量尽可 能地小。此时构造目标函数为： min i z d + = （3）求超过目标值，即超过量不限，负偏差变量尽可能地小。此 时构造目标函数为： min i z d − = 4．优先次序系数与权系数 一个规划问题往往有多个目标。决策者在实现这些目标时，存在 有主次与轻重缓急的不同。对于有 K 级目标的问题，按照优先次序分 别赋予不同大小的大 M 系数： M1，M2 ， ，MK 。M1，M2 ， ，MK 为无穷大的正数，并且， M1 M2 MK （“ ”符号表示“远大 于”），这样，只有当某一级目标实现以后（即目标值为 0） ，才能 忽略大 M 的影响，否则目标偏离量会因为大 M 的原因而无穷放大。 并且由于 M M k k+1 ，所以只有先考虑忽略 Mk 影响（实现第 k 级目标） 后，才能考虑第 k +1 级目标。实际上这里的大 M 是对偏离目标值的惩 罚系数，优先级别越高，惩罚系数越大。 权系数 i 用来区别具有相同优先级别的若干目标。在同一优先级
别中，可能包含有两个或多个目标，它们的正负偏差变量的重要程度 有差别，此时可以给正负偏差变量赋予不同的权系数o和。：。 各级目标的优先次序及权系数的确定由决策者按具体情况给出。 §2.2目标规划的数学模型 综上所述，目标规划模型由目标函数、目标约束、绝对约束以及 变量非负约束等几部分构成。目标规划的一般数学模型为： 目标函数minZ=之M,(oud+oid)） 目标约束∑c,x+d-d矿=8(1=1,2.) 绝对约束 2a,x=（s)6=l2.m) 非负约束x,≥0（j=1,2,.n d,d≥0(k=1,2,.,K) 例3在例1中，假定目标利润不少于15000元，为第一目标：占用 的人力可以少于70人，为第二目标。求决策方案。 解按决策者的要求分别赋予两个目标大M系数M,M,。列出模型如
7 别中，可能包含有两个或多个目标，它们的正负偏差变量的重要程度 有差别，此时可以给正负偏差变量赋予不同的权系数 i + 和 i − 。 各级目标的优先次序及权系数的确定由决策者按具体情况给出。 §2.2 目标规划的数学模型 综上所述，目标规划模型由目标函数、目标约束、绝对约束以及 变量非负约束等几部分构成。目标规划的一般数学模型为： 目标函数 ( ) 1 1 min K L k kl l kl l k l Z M d d − − + + = = = + 目标约束 ( ) 1 1,2, n ij j l l l j c x d d g l L − + = + − = = 绝对约束 ( ) ( ) 1 , 1,2, n ij j i j a x b i m = = = 非负约束 x j n j = 0 1,2, ( ) d d k K k k , 0 1,2, , ( ) − + = 例 3 在例 1 中，假定目标利润不少于 15000 元，为第一目标；占用 的人力可以少于 70 人，为第二目标。求决策方案。 解 按决策者的要求分别赋予两个目标大 M 系数 1 2 M M, 。列出模型如 下：
min=Md +M,d; 「300x+500x2+d-d=15000 4x+6x2+d5-d=70 s.t. x+x2≤10 x1,x2,d,d≥0i=1,2,3 例4某纺织厂生产A、B两种布料，平均生产能力均为1千米/小时， 工厂正常生产能力是80小时周。又A布料每千米获利2500元，B 布料每千米获利1500元。已知A、B两种布料每周的市场需求量分 别是70千米和45千米。现该厂确定一周内的目标为： 第一优先级：避免生产开工不足： 第二优先级：加班时间不超过10小时： 第三优先级：根据市场需求达到最大销售量： 第四优先级：尽可能减少加班时间。 试求该问题的最优方案。 解设x,x,分别为生产甲、乙布料的小时数。对于第三优先级目标， 根据A、B布料利润的比值2500：1500=5：3，取二者达到最大销量的权 系数分别为5和3。该问题的目标规划模型为： min==Md+Md;+M(5d5 +3d)+Mad x+x+d-d=80 +x2+5-d店=90 s1.x+5-d=70 x2+d-d-45 ,x,d,d20i=l,.,4
8 1 1 2 2 1 2 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 min 300 500 15000 4 6 70 . . 10 , , , 0 1,2,3. i i z M d M d x x d d x x d d s t x x x x d d i − + − + − + − + = + + + − = + + − = + = 例 4 某纺织厂生产 A、B 两种布料，平均生产能力均为 1 千米/小时， 工厂正常生产能力是 80 小时/周。又 A 布料每千米获利 2500 元，B 布料每千米获利 1500 元。已知 A、B 两种布料每周的市场需求量分 别是 70 千米和 45 千米。现该厂确定一周内的目标为： 第一优先级：避免生产开工不足； 第二优先级：加班时间不超过 10 小时； 第三优先级：根据市场需求达到最大销售量； 第四优先级：尽可能减少加班时间。 试求该问题的最优方案。 解 设 1 2 x x, 分别为生产甲、乙布料的小时数。对于第三优先级目标， 根据 A、B 布料利润的比值 2500:1500 5:3 = ，取二者达到最大销量的权 系数分别为 5 和 3。该问题的目标规划模型为： 1 1 2 2 3 3 4 4 1 ( ) 1 2 1 1 1 2 2 2 1 3 3 2 4 4 1 2 min 5 3 80 90 . . 70 45 , , , 0 1, , 4. i i z M d M d M d d M d x x d d x x d d s t x d d x d d x x d d i − + − − + − + − + − + − + − + = + + + + + + − = + + − = + − = + − = =
综上所述，目标规划建立模型的步骤为： 1、根据问题所提出的各目标与条件，确定目标值，列出目 标约束与绝对约束； 2、根据决策者的需要将某些或全部绝对约束转换为目标约束， 方法是绝对约束的左式加上负偏差变量和减去正偏差变量： 3、给各级目标赋予相应的惩罚系数M,(k=1,2,.K),M为无穷 大的正数，且M,》M2》.》Mx; 4、对同一优先级的各目标，再按其重要程度不同，赋予相应的 权系数ou: 5、根据决策者的要求，各目标按三种情况取值：①恰好达到目标 值，取d+d②允许超过目标值，取d③不允许超过目标值，取d: 然后构造一个由惩罚系数、权系数和偏差变量组成的、要求实现极小 化的目标函数。 §3目标规划的求解 3.1图解法 只有两个决策变量的目标规划数学模型，可以使用简单直观的图 解法求解。其方法与线性规划图解法类似，先在平面直角坐标系第 象限内作出各约束等式或不等式的图象，然后由绝对约束确定了可行 域，由目标约束和目标函数确定最优解或满意解
9 综上所述，目标规划建立模型的步骤为： 1、 根据问题所提出的各目标与条件，确定目标值，列出目 标约束与绝对约束； 2、根据决策者的需要将某些或全部绝对约束转换为目标约束， 方法是绝对约束的左式加上负偏差变量和减去正偏差变量； 3、给各级目标赋予相应的惩罚系数 Mk （ k K =1, 2, ）， Mk 为无穷 大的正数，且 M1 M2 MK ； 4、对同一优先级的各目标，再按其重要程度不同，赋予相应的 权系数 kl ； 5、根据决策者的要求，各目标按三种情况取值：①恰好达到目标 值，取 i i d d + − + ②允许超过目标值，取 i d −③不允许超过目标值，取 i d + ； 然后构造一个由惩罚系数、权系数和偏差变量组成的、要求实现极小 化的目标函数。 §3 目标规划的求解 3.1 图解法 只有两个决策变量的目标规划数学模型，可以使用简单直观的图 解法求解。其方法与线性规划图解法类似，先在平面直角坐标系第一 象限内作出各约束等式或不等式的图象，然后由绝对约束确定了可行 域，由目标约束和目标函数确定最优解或满意解
对于绝对约束，与线性规划中的约束条件画法完全相同。对于目 标约束方程，除作出直线外，还要在直线上要标出正负偏差变量的方 向，其可行域方向取决于目标函数中对应目标。另外，目标规划是在 前一级目标满足的情况下再来考虑下一级目标，很有可能尽可能满足 目标的解不是可行解（即非可行解），而是权衡以后得出的最优解一 一满意解。因而在目标规划里称求得的解为满意解。 注意在求解的时候，把绝对约束作最高级别考虑。 例5用图解法求解目标规划问题 min:=M(d+d")+Md+M d; x-x2+d-d=0 3x+5x2+d5-d=15 s1.{4x+3x2+d-d=24 x+2≤7 x,x2,d,d≥0i=1,2,3. 解在平面直角坐标系第一象限内作出各约束条件的图像，目标约束 要在直线旁标上d和d*。 五3个 4x+3x=24 d -3=0 6 d 4 +5-6 3 五+石=7 d对 012子4367890>m 图7-2
10 对于绝对约束，与线性规划中的约束条件画法完全相同。对于目 标约束方程，除作出直线外，还要在直线上要标出正负偏差变量的方 向，其可行域方向取决于目标函数中对应目标。另外，目标规划是在 前一级目标满足的情况下再来考虑下一级目标，很有可能尽可能满足 目标的解不是可行解（即非可行解），而是权衡以后得出的最优解— —满意解。因而在目标规划里称求得的解为满意解。 注意在求解的时候，把绝对约束作最高级别考虑。 例 5 用图解法求解目标规划问题 1 1 1 2 2 3 3 ( ) 1 2 1 1 1 2 2 2 1 2 3 3 1 2 1 2 min 0 3 5 15 . . 4 3 24 7 , , , 0 1, 2,3. i i z M d d M d M d x x d d x x d d s t x x d d x x x x d d i − + − + − + − + − + − + = + + + − + − = + + − = + + − = + = 解 在平面直角坐标系第一象限内作出各约束条件的图像，目标约束 要在直线旁标上 i d −和 di +