第三章 進款醒情 函数的极值及其求法 二、最大值最小值问题 三、小结思考题 2023年7月16日星期日 蚌埠学院高等数学
2023年7月16日星期日 蚌埠学院 高等数学 1 三、小结 思考题 二、最大值最小值问题 一、函数的极值及其求法 第三章
一、函数的极值及其求法 1.问题的提出例如(P146例4)y f(x)=2x3-9x2+12x-3 2 x1=1,x2=2是函数的分界点 在(-oo,1]上单调增加； 1 在[1,2]上单调减少； 12x 在[2，+oo)上单调增加； . U(1,δ)，对∀x∈U(1,δ)有f(x)f(2)成立， 2023年7月16日星期日 蚌埠学院高等数学 2
2023年7月16日星期日 蚌埠学院 高等数学 2 ( ) 2 9 12 3 3 2 f x = x − x + x − x1 =1, x2 = 2是函数的分界点 在(−,1]上单调增加； 在[1,2]上单调减少； 在[2,+)上单调增加； 1.问题的提出 U(1, )，对 x U(1, )有 f (x) f (1) 成立; o o 1 2 o x y 1 2 例如 (P146例4) U(2, )，对 x U(2, )有 f (x) f (2) 成立; o o 一、函数的极值及其求法
2、函数极值的定义 图形分析： y y=f(x) x 0x2 x3 x xs xob Xo 0 Xo X 2023年7月16日星期日 蚌埠学院高等数学 3
2023年7月16日星期日 蚌埠学院 高等数学 3 o x y a b y = f (x) x1 2 x x3 4 x 5 x 6 x o x y o x y 0 x 0 x 2、函数极值的定义 图形分析：
定义设f(x)在U(xo)有定义，若对x∈U(x),有 f(x)f(x)), 就称f(x)是函数f(x)的一个极大值（或极小值） 函数的极大值与极小值统称为极值，使函数取得 极值的点称为极值点。 注意①极值点不唯 一。 极值是局部性的。 ③ 对一函数而言，极小值可能比极大值大 可导函数取极值的必要条件 定理1.设f(x)在点x,处可导取得极值→∫(x)=0 2023年7月16日星期日 蚌埠学院高等数学
2023年7月16日星期日 蚌埠学院 高等数学 4 ( ) ( ) ( ). ( ) ( ) ( ( ) ( )), ( ) ( ) , ( ), 0 0 0 0 0 就称 是函数 的一个极大值 或极小值 或 设 在 有定义 若对 有 f x f x f x f x f x f x f x U x x U x o 定义 函数的极大值与极小值统称为极值，使函数取得 极值的点称为极值点。 注意 ① 极值点不唯一。 ② 极值是局部性的。 ③ 对一函数而言，极小值可能比极大值大。 定理1. 可导函数取极值的必要条件 f (x) 0 x ( ) 0 0 ' 设 在点 处可导取得极值 f x =
注意：1.使导数为零的点（即f'(x)=0的实根）叫做 函数f(x)的驻点（稳定点）： 前面己定义 2.可导函数f(x)的极值点必定是它的驻 点，但函数的驻点却不一定是极值点 例如：y=x3,yx=0,但x=0不是极值点. 3.导数不存在的点也可能是极值点， 例如：y三x，x=0点不可导， 但函数在x=0点取得极小值， 因此驻点和'(x)不存在的点是极值可疑点 2023年7月16日星期日 蚌埠学院高等数学
2023年7月16日星期日 蚌埠学院 高等数学 5 ( ) ( ). 1. ( ( ) 0 ) 函数 的驻点 稳定点 使导数为零的点 即 的实根 叫做 f x f x = 前面已定义 注意: , . 2. ( ) 点 但函数的驻点却不一定是极值点 可导函数 f x 的极值点必定是它的驻 例如： , 3 y = x 0, y x=0 = 但 x = 0不是极值点. 3.导数不存在的点也可能是极值点. 例如： y =| x |, x = 0点不可导, 但函数在 x = 0点取得极小值. 因此驻点和 f (x) 不存在的点是极值可疑点
判定极值存在的第一充分条件 y f'(0>0 f'(x)0;而x∈(x,x+), 有f(x)0,则f(x)在x处取得极小值.左负右正 (3)如果当x∈(x-6,x)及x∈(x,x+δ)时，f(x) 符号相同，则f(x)在x,处无极值 2023年7月16日星期日 蚌埠学院高等数学
2023年7月16日星期日 蚌埠学院 高等数学 6 (1)如果 ( , ), 0 0 x x − x 有 ( ) 0; ' f x 而 ( , ) x x0 x0 + , 有 ( ) 0 ' f x ，则 f (x)在 0 x 处取得极大值. (2)如果 ( , ), 0 0 x x − x 有 ( ) 0; ' f x 而 ( , ) x x0 x0 + 有 ( ) 0 ' f x ，则 f (x)在 0 x 处取得极小值. (3)如果当 ( , ) 0 0 x x − x 及 ( , ) x x0 x0 + 时, ( ) ' f x 符号相同,则 f (x)在 0 x 处无极值. x y o x y x0 o 0 x f (x) 0 f (x) 0 f (x) 0 f (x) 0 判定极值存在的第一充分条件 左正右负 左负右正
(不是极值点情形) y 0 Xo X 0 Xo X 求极值的步骤： 1.求导数f'(x)方 2.求驻点（即方程f'(x)=0的根）与导数不存在的点； 3.检查f'(x)在驻点左右的正负号，判断极值点； 4.求极值. 2023年7月16日星期日 蚌埠学院高等数学
2023年7月16日星期日 蚌埠学院 高等数学 7 x y o x y o 0 x 0 x + − − + 求极值的步骤: 1.求导数 f (x); 2.求驻点(即方程 f (x) = 0的根)与导数不存在的点; 3.检查 f (x) 在驻点左右的正负号,判断极值点; 4.求极值. (不是极值点情形)
例1.求函数f(x)=(x-1)x 的极值 解：1)求导数∫(x)=x+(x-1)x3 53 25 2)求极值可疑点 令f'(x)=0,得x1=；当2=0 f'(x)=0, 3)列表判别 X (-∞，0)0 (0,) (3,+0) f'(x) 00 0 f(x) -0.33 .x=0是极大点，其极大值为f(0)=0 是极小点，其极小值为f()=-0.33 2023年7月16日星期日 蚌埠学院高等数学 8
2023年7月16日星期日 蚌埠学院 高等数学 8 例1. 求函数 的极值 . 解:1) 求导数 = 3 + 2 f (x) x 3 1 3 2 ( 1) − x − x 3 5 2 3 5 x x− = 2) 求极值可疑点 令 f (x) = 0 , 得 ; 5 2 x1 = 当 0 f (x) = , x2 = 3) 列表判别 x f (x) f (x) 0 5 2 0 + − + 0 − 0.33 (−, 0) (0 , ) 5 2 ( , ) 5 2 + 是极大点，其极大值为 是极小点，其极小值为
定理2（极值第二判别法）设函数∫(x)在点x处具有 二阶导数，且'(x)=0,f"(x)≠0 (①)若∫”"(x)0，则f(x)在点xo取极小值.七/ 证：0)f"(o)=1imf')-f'o)=1imf' 山61000; 当x<x<x+6时，f'(x)<0, x。6X0x+δ 由第一判别法知f(x)在x取极大值： (2)类似可证 2023年7月16日星期日 蚌埠学院高等数学
2023年7月16日星期日 蚌埠学院 高等数学 9 定理2 (极值第二判别法) 二阶导数,且 则 在点 取极大值 ; 则 在点 取极小值 . − + 证: (1) ( ) 0 f x 0 0 ( ) ( ) lim 0 x x f x f x x x − − = → 0 ( ) lim 0 x x f x x x − = → ( ) 0 , 由 f x0 知 存在 0, 0 , 当 x − x0 时 故当 x0 − x x0 时，f (x) 0; 当x0 x x0 +时，f (x) 0, 0 x 0 x0 − x + + − 由第一判别法知 在 取极大值. 0 f (x) x (2) 类似可证
例2.求函数f(x)=(x2-1)3+1的极值. 解：1)求导数 f'(x)=6x(x2-1)2,f"(x)=6(x2-10(5x2-1) 2)求驻点 令∫'(x)=0,得驻点x1=-1,x2=0,x3=1 3)判别 因f"(0)=6>0,故f(0)=0为极小值； 又∫"(-1)=∫"()=0，故需用第一判别法判别. 由于f'(x)在x=±1左右邻域内不变号， ∴.f(x)在x=±1没有极值 X 2023年7月16日星期日 蚌埠学院高等数学 10
2023年7月16日星期日 蚌埠学院 高等数学 10 例2. 求函数 的极值 . 解: 1) 求导数 ( ) 6 ( 1) , 2 2 f x = x x − ( ) 6( 1)(5 1) 2 2 f x = x − x − 2) 求驻点 令 f (x) = 0, 得驻点 x1 = −1, x2 = 0, x3 =1 3) 判别 因 f (0) = 6 0, 故 为极小值; 又 f (−1) = f (1) = 0, 故需用第一判别法判别. 1 x y −1