第五章 集节熱所分 不定积分 换元积分法 换元积分法 定积分 分部积分法 分部积分法 定积分的换元法 二、定积分的分部积分法 2023年7月16日星期日 蚌埠学院高等数学 ▣☒
2023年7月16日星期日 蚌埠学院 高等数学 1 不定积分 一、定积分的换元法 换元积分法 分部积分法 定积分 换元积分法 分部积分法 二、定积分的分部积分法 第五章
一、定积分的换元法 定理1.设函数f(x)∈C[a,b],单值函数x=p(t)满足： 1)p(t)EC'[a,B],p(a)=a,p(B)=b; 2)在[a,B]上a≤p(t)≤b, 则 ∫f()d=∫f[olo'd 证：所证等式两边被积函数都连续，因此积分都存在， 且它们的原函数也存在.设F(x)是f(x)的一个原函数， 则F[p(t)]是f[p(t)]p(t)的原函数，因此有 [f(x)dx=F(b)-F(a)=FI(B)]-FIp(@)] =∫f[p()】o'u)dt 2023年7月16日星期日 蚌埠学院高等数学
2023年7月16日星期日 蚌埠学院 高等数学 2 一、定积分的换元法 定理1. 设函数 单值函数 满足: 1) ( ) [ , ], 1 t C 2) 在 [ , ] 上 () = a,() = b; (t) (t) 证:所证等式两边被积函数都连续, 因此积分都存在, 且它们的原函数也存在. 则 是 的原函数, 因此有 = F(b) − F(a) = F[()] − F[()] (t) (t) (t) (t) (t) 则
fd-Id 说明： 1)当B<a,即区间换为[B,o]时，定理1仍成立. 2)必需注意换元必换限，原函数中的变量不必代回 3)换元公式也可反过来使用，即 2ILo(e)lood=∫f(x)dx(令x=o) 或配元 ∫fo(t)]p')dt=∫f[p(0]dp(t) 配元不换限 2023年7月16日星期日 蚌埠学院高等数学
2023年7月16日星期日 蚌埠学院 高等数学 3 说明: 1) 当 < , 即区间换为 [ ,]时， 定理 1 仍成立. 2) 必需注意换元必换限,原函数中的变量不必代回. 3) 换元公式也可反过来使用,即 f x x (令x =(t)) b a ( )d = 或配元 (t) d(t) 配元不换限 (t) (t) (t) (t) (t) (t)
例1.计算Va2-x2dr(a>0) 解：令x=asint,则dx=acostdt,且 当x=0时，t=0;x=a时，t= 原式=a2∫2cos21d1 yy=va2-x2 2ndr a x 2 匹2 πa 三 2 u+5n2 0 4 2023年7月16日星期日 蚌埠学院高等数学 4
2023年7月16日星期日 蚌埠学院 高等数学 4 例1. 计算 解:令 x = asint, 则 dx = acost dt , 当x = 0时,t = 0; . 2 x = a 时,t = ∴ 原式 = 2 a t t a (1 cos 2 )d 2 2 0 2 = + sin 2 ) 2 1 ( 2 2 t t a = + 0 2 2 0 cos t dt 2 2 2 y = a − x o x y a 且
例2计心2 dx. 解：令1=V2x+l,则x= t2-1 dx=tdt,且 2 当x=0时，t=1;x=4时，t=3. 武 1+2 2-idt -2f(+3d g 22 3 2023年7月16日星期日 蚌埠学院高等数学 5
2023年7月16日星期日 蚌埠学院 高等数学 5 例2. 计算 解:令 t = 2x +1, 则 , d d , 2 1 2 x t t t x = − = 当x = 0时, x = 4时, t = 3. ∴ 原式 = t t t t d 3 2 1 2 1 2 + − (t 3)dt 2 1 3 1 2 = + 3 ) 3 1 ( 2 1 3 = t + t 1 3 t =1; 且
补充题 设f=2-fc)dx+26fdx,求f 解：定积分为常数，故应用积分法定此常数· 设「 Jx)dx=a,f)dx=b,则 f(x)=x2-bx+2a a=7aag-26- 1 b +2a 2 6-aw2a6-26+4a 8 3 3 4 12 之a3 b= f9=2-4x+ 3 3 3 2023年7月16日星期日 蚌埠学院高等数学 6
2023年7月16日星期日 蚌埠学院 高等数学 6 补充题 解： 设 求 f (x). 定积分为常数, ( )d , 1 0 f x x = a 设 f x x = b 2 0 ( )d , 则 3 3 x = 3 3 x = 故应用积分法定此常数
例3.设f(x)∈CL-a,a, 偶倍奇零 (I)若f(-0=fx),则f(x)dr=2fx)dx (2)若f(-)=-f(),则f(x)dx=0 i证：∫af(adr=f(x)dr+∫6fax)dr =Jof(-)dt+Jof(x)dx 令x=-t =JIf(-x)+f(x)]dx 20f()dc,f-x)=fx)时 0 f(-x)=-f(x)时 2023年7月16日星期日 蚌埠学院高等数学 ▣a
2023年7月16日星期日 蚌埠学院 高等数学 7 例3. 证: (1) 若 − = a a a f x x f x x 0 则 ( )d 2 ( )d = − f x x a a ( )d (2) 若 ( )d = 0 − a a 则 f x x f x x a ( )d 0 − f x x a ( )d 0 + f t t a ( )d 0 = − f x x a ( )d 0 + f x f x x a [ ( ) ( )]d 0 = − + f (−x) = f (x)时 f (−x) = − f (x)时 偶倍奇零 令x = −t =
例4.计算 2x2+xcosx dx. 1+/1-x2 2x2 +5 xCOSx 解原式= d 1+V1-x2 1+V1-x2 偶函数 奇函数 =4 1+=4 dx 1-(1-x2) =4(1-v1-x2)c=4401-x2k 单位圆的面积 =4-元. 2023年7月16日星期日 蚌埠学院高等数学 8
2023年7月16日星期日 蚌埠学院 高等数学 8 奇函数 例4. 计算 解 . 1 1 1 2 cos 1 2 2 − + − + dx x x x x 原式 − + − = 1 1 2 2 1 1 2 dx x x − + − + 1 1 2 1 1 cos dx x x x 偶函数 + − = 1 0 2 2 1 1 4 dx x x − − − − = 1 0 2 2 2 1 (1 ) (1 1 ) 4 dx x x x = − − 1 0 2 4 (1 1 x )dx = − − 1 0 2 4 4 1 x dx = 4 − . 单位圆的面积
例5若f(x)在[0,1]上连续，证明： (1)f(sin x)dx f(cosx)d (2) 八smd=号fsm0达 由此计算 xsmn x dx 1+cos2 x 元 0 →t= 元 证(1)设x=)-t→k=-, 元 2 2 x= → t 三 0, 2 rsmx=m经- dt .=∫f(cost0dh=fosx); 2023年7月16日星期日 蚌埠学院高等数学 9
2023年7月16日星期日 蚌埠学院 高等数学 9 证 （1）设 x − t = 2 dx = −dt, x = 0 , 2 t = 2 x = t = 0, f (x) [0,1] = 2 2 0 0 (1) (sin ) (cos ) f x dx f x dx = 0 0 (sin ) 2 (2) x f (sin x)dx f x dx + 0 2 1 cos sin dx x x x 例5 若 在 上连续，证明: 由此计算 . 2 0 f (sin x)dx − = − 0 2 2 f sin t dt = 2 0 f (cost)dt (cos ) ; 2 0 = f x dx
X=0 →t=元， (2)设x=π-t→k=-t, X=元 →t=0, (sin x)d-(t)fsin(-t)ldt(t)f(sint)dt =元"f(sint))dt-f(sint0dt=元nf(sinx)d∫Df(sinx)k, ·sinw=Isin.)ds. xsInx = 5140=-1+ sinx 元 1 1+cos2 x d(cosx) =-2 r(=-及(-子-争-买 4 2023年7月16日星期日 蚌埠学院高等数学 10
2023年7月16日星期日 蚌埠学院 高等数学 10 （2）设 x = − t dx = −dt, x = 0 t = , x = t = 0, 0 xf (sin x)dx = − − − 0 ( t) f[sin( t)]dt ( ) (sin ) , 0 = − t f t dt = 0 f (sin t)dt − 0 tf (sin t)dt = 0 f (sin x)dx (sin ) , 0 − xf x dx (sin ) . 2 (sin ) 0 0 xf x dx = f x dx 0 + 2 1 cos sin dx x x x + = 0 2 1 cos sin 2 dx x x + = − 0 2 (cos ) 1 cos 1 2 d x x = − 0 arctan(cos ) 2 x . 4 2 ) = 4 4 ( 2 − − = −