第一章 节胞上超 最值定理 二、介值定理 三、关于连续函数知识点总结 四、典型例题 2023年7月16日星期日 蚌埠学院高等数学
2023年7月16日星期日 蚌埠学院 高等数学 1 一、最值定理 二、介值定理 三、关于连续函数知识点总结 四、典型例题 第一章
一、最值定理 1、定义：对于在区间I上有定义的f(x),若有x,∈I, 使得对于Vx∈I都有 f(x)≤f(x,) (f(x)≥f(x,) 则称f(x)是f(x)在区间I上的最大（小）值. 例如，y=5+2sinx,在[0,2π]上，ymax=7,ymin=3; y=Sgn七，在(-oo,+oo)上，ymx=1,ymin=一1； 在(0，+oo)上，ymx=ymin=1. 但y=2x在(4，b)上无最值 类比：没有最小的正数； 没有最大的负数； 但是有最小的正整数1和最大的负整数-1。 2023年7月16日星期日 蚌埠学院高等数学
2023年7月16日星期日 蚌埠学院 高等数学 2 0 ( ) ( ) ( ( ) ( )) ( ) ( ) 对于在区间 上有定义的 0 ( ),若有 ∈ , 使得对于 ∈ 都有 ≤ ≥ 则称 是 在区间 上的最大(小)值. 0 0 I f x x I x I f x f x f x f x f x f x I 1、定义: 例如, y = sgn x,在( , ) , − + 上 7, y max = 1; ymin = − 在(0, ) + 上, 1. ymax = ymin = y = 5 + 2sin x, 在[0,2 ] , 上 3; y min = 1, ymax = 一、最值定理 但y x a,b = 2 ( ) 在 上无最值. 类比：没有最小的正数；没有最大的负数； 但是有最小的正整数1和最大的负整数-1
2、最值定理 定理1.在闭区间上连续的函数在该区间上一定有最大 值和最小值 即：设f(x)∈C[a,b],则351,52∈[a,b],使 f(s)=min f(x) yy=f(x) a≤x≤b f(2)=max f(x) a≤x≤b (证明略) 0a5152bx 注意：若函数在开区间上连续，或在闭区间内有间断 点，结论不一定成立 2023年7月16日星期日 蚌埠学院高等数学
2023年7月16日星期日 蚌埠学院 高等数学 3 注意:若函数在开区间上连续, 结论不一定成立 . 2、最值定理 定理1.在闭区间上连续的函数 即:设 f (x)C[a, b], o x y a b y = f (x) 1 2 则 , [ , ], 1 2 a b 使 ( ) min ( ) 1 f f x a xb = ( ) max ( ) 2 f f x a xb = 值和最小值. 或在闭区间内有间断 在该区间上一定有最大 (证明略) 点
注1.将闭区间改为开区间不一定成立. 例如，y=x,x∈(0,1) 无最大值和最小值 X 注2.闭区间上函数有间断点不成立 -x+1,0≤x<1 2 1,x=1 +3,1<xs 也无最大值和最小值 2 x 注3.最大值、最小值可能相等。最值点可能不唯一。 f(x)=sinx x∈[0,4π] 2023年7月16日星期日 蚌埠学院高等数学
2023年7月16日星期日 蚌埠学院 高等数学 4 例如, 无最大值和最小值 o x y 1 1 x o y 1 1 2 2 也无最大值和最小值 注2. 闭区间上函数有间断点不成立. 注1. 将闭区间改为开区间不一定成立. 注3. 最大值、最小值可能相等。最值点可能不唯一。 f (x) = sin x x[0,4 ]
推论.在闭区间上连续的函数在该区间上有界. 证：设f(x)∈C[a,b],由定理1可知有 M=max f(x),m=min f(x) xEla,b] x∈[a,b1 =f(x) 故x∈[a,b],有m≤f(x)≤M, 因此f(x)在[a,b]上有界· 0a5152bx 二、介值定理 零点：如果有f()=0,则称为f(x)的零点。 2023年7月16日星期日 蚌埠学院高等数学
2023年7月16日星期日 蚌埠学院 高等数学 5 o b x y a y = f (x) 1 2 m M 推论. 由定理1可知有 max ( ) , [ , ] M f x x a b = min ( ) [ , ] m f x x a b = 证:设 上有界 . 二、介值定理 在闭区间上连续的函数在该区间上有界. 零点：如果有 f (ξ) = 0, 则称 ξ 为 f (x) 的零点
定理2.（零点定理）f(x)∈C[a,b], yy=f(以 且f(a)f(b)至少有一点 5∈(a,b),使f(5)=0.(证明略 ) 几何解释： 连续曲线弧y=f(x)的两个端点位 于x轴的不同侧则曲线弧与x轴至少有一个交点. 例1.证明方程x3-4x2+1=0在区间(0,1)内至少有 一个根 证：显然 f(x)=x3-4x2+1∈C[0,1,又 f(0)=1>0,f(1)=-2<0 故据零点定理，至少存在一点5∈(0,1)，使f(5)=0, 即 53-452+1=0 2023年7月16日星期日 蚌埠学院高等数学
2023年7月16日星期日 蚌埠学院 高等数学 6 于 轴的不同侧,则曲线弧与 轴至少有一个交点. 连续曲线弧 的两个端点位 x x y = f (x) 定理2.(零点定理 ) 至少有一点 使 x y o a b y = f (x) ( 证明略 ) 且 几何解释: 例1. 证明方程 一个根 . 证:显然 又 故据零点定理,至少存在一点 即 在区间 内至少有 使
定理3.（介值定理）设f(x)∈C[a,b],且f(a=A, f(b)=B,A≠B,则对A与B之间的任一数C,至少有 一点5∈(a,b),使f(5)=C. y y=f(x) 证：作辅助函数0(x)=f(x)-C B 则p(x)∈C[a,b],且 A p(a)(b)=(A-C)(B-C)<0 故由零点定理知，至少5∈(a,b),使 p(5)=0, 即 f(5)=C. 推论：在闭区间上的连续函数必取得介于最小值与最 大值之间的任何值 2023年7月16日星期日 蚌埠学院高等数学
2023年7月16日星期日 蚌埠学院 高等数学 7 定理3.(介值定理) 设 f (x)C[a, b], 且 f (a) = A, f (b) = B, A B , 则对 A 与 B 之间的任一数 C , 一点 证:作辅助函数 (x) = f (x) −C 则 (x)C[a, b] , 且 (a) (b) = (A−C)(B −C) 故由零点定理知,至少 使 即 推论: A o b x y a y = f (x) B C 使 至少有 在闭区间上的连续函数必取得介于最小值与最 大值之间的任何值
例2.设f(x)在[a,b]上连续，且恒为正，证明： 对Vx1,x2∈(a,b),X10,∴.F(x1)F(x2)<0 故由零点定理知，5∈(x,x2),使F(5)=0,即 f(5)=f(x)f(x2) 2023年7月16日星期日 蚌埠学院高等数学 8
2023年7月16日星期日 蚌埠学院 高等数学 8 例2.设 f (x) 在 上连续,且恒为正, 对 必 证: 使 令 , 则 ( ) ( ) 1 2 = − f x f x 2 1 2 [ f (x ) − f (x )] 0 故由零点定理知, 使 即 当 时, 取 或 , 则有 证明:
另例：设f(x)∈C[a,b],且f(ab, 证明：5∈(a,b),使得f(5)=5 证令F(x)=f(x)-x,则F(x)在[a,b]上连续 而F(a)=f(a)-a0, 由零点定理，35∈(a,b),使 F(5)=(5)-5=0, 即 f()=5. 2023年7月16日星期日 蚌埠学院高等数学 9
2023年7月16日星期日 蚌埠学院 高等数学 9 ( , ), ( ) . ( ) [ , ], ( ) , ( ) . = a b f f x C a b f a a f b b 证明: 使得 另例: 设 且 证 令 F(x) = f (x)− x, 则F(x)在[a,b]上连续, 而 F(a) = f (a) − a 0, 由零点定理, (a,b),使 F( ) = f ( ) − = 0, F(b) = f (b) −b 0, 即 f () =
内容小结 设f(x)∈C[a,b],则 1.f(x)在[a,b]上有界； 2.f(x)在[a,b]上达到最大值与最小值； 3.f(x)在[a,b]上可取最大与最小值之间的任何值； 4.当f(a)f(b)<0时，必存在5∈(a,b),使f(5)=0 2023年7月16日星期日 蚌埠学院高等数学 10
2023年7月16日星期日 蚌埠学院 高等数学 10 内容小结 设 f (x)C[a,b],则 1. f (x) 在 上达到最大值与最小值; 上可取最大与最小值之间的任何值; 4. 当 f (a) f (b) 0 时,必存在 (a, b), 使 f () = 0. [a,b] 上有界; 2. f (x) 在 [a,b] 3. f (x) 在 [a,b]