§4-5梁横截面上的切应力梁的切应力强度条件 Ⅰ、梁横截面上的切应力 推导思路:近似方法 不同于前面章节各种应力计算公式的分析过程 分离体的平衡 x→横截面上弯曲切 横截面上切应力 应力的计算公式 分布规律的假设
§4-5 梁横截面上的切应力•梁的切应力强度条件 Ⅰ、梁横截面上的切应力 推导思路：近似方法 不同于前面章节各种应力计算公式的分析过程 分离体的平衡 横截面上切应力 分布规律的假设 横截面上弯曲切 应力的计算公式
矩形截面梁 F q0 b dx nm n IMx Mx)+d Mx) Fs(x X Fs(x)+d Fs(x) dx
一、矩形截面梁 m m n n q(x) F1 F2 x dx b h z y h m' m n' n n m' m dx b z y O x FS (x) M(x) M(x)+d M(x) FS (x)+d FS (x) m n m n m' n' y z y A B A1 s dA
横截面上纵向力不平 衡意味着纵截面上有水平yyAQ B 剪力,即有水平切应力分 IdF 布。 dA d fc=fla-f N2 N2 而横截面上纵向力的大小为 6V/m dx Fn o, da=S. da= M e J,v,dA- 面积AA1mm'对中性轴=的静矩 (M+dm Mtdm F o da N2 da= S
横截面上纵向力不平 衡意味着纵截面上有水平 剪力，即有水平切应力分 布。 * N1 * d FS = FN2 − F * 1 1 1 * N1 * * * d d d z z A z A z A S I M y A I M A I My F = A = = = s * 2 1 * N 2 d d ( d ) d * * z z A z A S I M M y A I M M F A + = + = = s 面积AA1mm' 对中性轴 z的静矩 而横截面上纵向力的大小为 m n m' y1 A B A1 B1 dx s dA y z O * FN2 d FS * FN1 x
NI X B M+dm dF N2 O-BpadA 纵截面上水平剪力值为 NI m N2 b dx ∑F3=0dFs=F2-FN d m dF 要确定与之对应的水平切应力还需要补充条件
Fx = 0 * N1 * d FS = FN2 − F * S d d z z S I M F = 纵截面上水平剪力值为 * * N1 z z S I M F = * * N2 d z z S I M M F + = 要确定与之对应的水平切应力t‘ 还需要补充条件。 m n m' y1 A B A1 B1 dx s dA y z O * FN2 d FS * FN1 x
矩形截面梁对称弯曲时横截面上切应力的分布规律 (1)由于梁的侧面为x=0的 自由表面,根据切应力互 n 等定理,横截面两侧边处 x的切应力必与侧边平行; (2)对称轴处的切应力必沿 B J轴方向,即平行于侧边; b dx (3)横截面两侧边处的切应 力值大小相等,对于狭长 矩形截面则沿截面宽度其 值变化不会大
矩形截面梁对称弯曲时横截面上切应力的分布规律 (1) 由于梁的侧面为t =0的 自由表面，根据切应力互 等定理，横截面两侧边处 的切应力必与侧边平行； (2) 对称轴y处的切应力必沿 y轴方向，即平行于侧边； (3)横截面两侧边处的切应 力值大小相等，对于狭长 矩形截面则沿截面宽度其 值变化不会大。 m' m n' n n m' m dx b y t t' A1 A B B1 h z y O x
窄高矩形截面梁横截面上弯曲切应力分布的假设: (1)横截面上各点处的切应力均与侧边平行 (2)横截面上距中性轴等远各点处的切应力大小相等。 根据切应力互等定理 推得: (1)z沿截面宽度方向均匀分 B布 (2)在d微段长度内可以认为r 没有变化
窄高矩形截面梁横截面上弯曲切应力分布的假设： (1) 横截面上各点处的切应力均与侧边平行； (2) 横截面上距中性轴等远各点处的切应力大小相等。 根据切应力互等定理 t =t 推得： (1) t' 沿截面宽度方向均匀分 布； (2) 在dx微段长度内可以认为t' 没有变化。 m' m n' n n m' m dx b y t t' A1 A B B1 h z y O x
dFc=tbdx B IdF 又dp,dM N1 m 由两式得 N2 dm dx × dxⅠbIb 根据前面的分析 FS Ⅰb
* S d d z z S I M F = I b F S I b S x M z z z z * S * d d t = = I b F S z z * S t = d F bd x S =t 根据前面的分析 m n m' y1 A B A1 B1 dx s dA y z O * FN2 d FS * FN1 x 即 又 由两式得
矩形截面梁弯曲切应力计算公式 Ⅰb 其中: Fs→横截面上的剪力 d a L→整个横截面对于中性轴的惯性矩; b→与剪力垂直的截面尺寸,此时是矩形的宽度; S→横截面上求切应力的点处橫线以外部分面积对 中性轴的静矩
其中： FS→ 横截面上的剪力； Iz → 整个横截面对于中性轴的惯性矩； b → 与剪力垂直的截面尺寸，此时是矩形的宽度； I b F S z z * S t = 矩形截面梁弯曲切应力计算公式 z y y y 1 d A * z S → 横截面上求切应力的点处横线以外部分面积对 中性轴的静矩
矩形横截面上弯曲切应力的变化规律 ∫yd h/2-y -yy+ ↓↓↓ h2 d a b h2 2(4 Ⅰb F、b(h2 Fs h × Ⅰb2 4 21 4
= − − + = − = 2 2 1 * 2 4 2 / 2 2 d * y b h h y y y h b S y A A z = − = − 2 2 2 S 2 S 2 4 2 4 y h I F y b h I b F z z t 矩形横截面上弯曲切应力的变化规律 I b F S z z * S t = z y y y 1 d A
FS* Fs( h y Ⅰb2(4 (1)截面高度按二次抛物 线规律变化; (2)同一横截面上的最大切应 maX 力cn在中性轴处(y=0); (3)上下边缘处(y=±h/2), 切应力为零。 fch fh 3 F 3F × max 8l:8×(h/12) 2 bh 2A
( ) A F bh F bh F h I F h z 2 3 2 3 8 8 12 S S 3 2 S 2 S max = = t = = = = − 2 2 S * S 2 4 y h I F I b F S z z z t (1) t沿截面高度按二次抛物 线规律变化； (2) 同一横截面上的最大切应 力tmax在中性轴处( y=0 )； (3)上下边缘处（y=±h/2)， 切应力为零。 tmax z y O tmax