第十三章能量法 §13-1概述 在弹性范围内,弹性体在外力作用下发生 变形而在体内积蓄的能量,称为弹性应变能, 简称应变能。 物体在外力作用下发生变形,物体的变形 能在数值上等于外力在加载过程中在相应位移 上所做的功,即
第十三章 能量法 §13-1 概 述 在弹性范围内，弹性体在外力作用下发生 变形而在体内积蓄的能量，称为弹性应变能， 简称应变能。 物体在外力作用下发生变形，物体的变形 能在数值上等于外力在加载过程中在相应位移 上所做的功，即 V =W
§13-2杆件变形能计算 轴向拉伸和压缩 V=W=F·△=F 2 EA FI FN 2EA 2EA △l 2EA(x)
§13-2 杆件变形能计算 一、轴向拉伸和压缩 V = W F F l l = F l 2 1 EA Fl F 2 1 = EA F l EA F l N 2 2 2 2 = = = l N x EA x F x V d 2 ( ) ( ) 2
扭转 △O △ △ 1MIMI TI v=W=M:△2G,2Gn=G M T2(x) X °2G/n(x)
二、扭转 V = W m m = Me 2 1 p p e p e e GI T l GI M l GI M l M 2 2 2 1 2 2 = = = = l p x GI x T x V d 2 ( ) ( ) 2
弯曲 NIHIl 111111 V=W 纯弯曲:=M2·O=M 1MIM Ml 2E 2EI 2EI 横力弯曲:=「 M2(x) X 2E/(x)
三、弯曲 V = W 纯弯曲： 横力弯曲： = l x EI x M x V d 2 ( ) ( ) 2 = Me 2 1 EI M l M e e 2 1 = EI M l EI M l e 2 2 2 2 = =
13-3变形能的普遍表达式 F3 6 =W=-F1o1+-F2O2+-F2O2+ 即:线弹性体的变形能等于每一外力与其相应位移乘 积的二分之一的总和
13-3 变形能的普遍表达式 F1 F2 F3 1 2 3 = = 1 1 + 2 2 + 3 3 + 2 1 2 1 2 1 V W F F F 即：线弹性体的变形能等于每一外力与其相应位移乘 积的二分之一的总和
M(x) M(x) N(x) )N(x) T(x) Vs=FN (dx r M(x)dx T2(x)dr 2EA 2EI 2Gl 所有的广义力均以静力方式,按一定比例由O增加至最终值。 任一广义位移与整个力系有关,但与其相应的广义力F 呈线性关系
N(x) N(x) M (x) M (x) T (x) T (x) = + + L L L P N G I T x dx EI M x dx EA F x dx V 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 2 2 所有的广义力均以静力方式，按一定比例由O增加至最终值。 任一广义位移 与整个力系有关，但与其相应的广义力 呈线性关系。 i Fi
例:试求图示悬臂梁的应变能,并利用功 能原理求自由端B的挠度。 解: M(x)=-F·x M2(x) Fl 2 2ET 6El W=F·B由=W,得 F13 B BEl
例：试求图示悬臂梁的应变能，并利用功 能原理求自由端B的挠度。 F x l 解： M (x) = −F x = = l EI F l x EI M x V 6 d 2 ( ) 2 2 3 W F wB = 2 1 由V = W，得 EI Fl wB 3 3 =
例题:悬臂梁在自由端承受集中力F及集中力偶矩M作用。 设EI为常数,试求梁的应变能 解:(1)弯矩方程 F B A M(x)=M。+Fx (2)变形能 M2(x) (M. + Fx) dx 2EⅠ 2ET ML MFL F L 2EI2EⅠ 6El
例题：悬臂梁在自由端承受集中力F及集中力偶矩M0作用。 设EI为常数，试求梁的应变能。 L F Me B A 解： ⑴ 弯矩方程 M x M Fx ( ) = e + ⑵ 变形能 E I F L E I M FL E I M L M Fx dx E I dx E I M x V e e L e L 2 2 6 ( ) 2 1 2 ( ) 2 2 2 2 2 2 = + + = = +
(3)当F和M0分别作用时 F B A ML F-L Mo 2EⅠ 2 6El 卩≠V 82 E (4)用普遍定理 FI ML2 WA=(WF+(WAM BEI 2El FL ML q4=(A)p+(A) 2EⅠEⅠ F MF ML VE=W=FWA+MPA 6EI 2EI 2EI
L F M0 B A ⑶ 当F和M0分别作用时 EI F L V EI M L V e 2 6 2 3 1 = 2 = V1 +V 2 V ⑷ 用普遍定理 EI M L EI FL w w w e A A F A M 3 2 ( ) ( ) 3 2 0 = + = + EI M L EI FL e A A F A Me = + = + 2 ( ) ( ) 2 EI M L EI M F EI F L V W Fw M e e A e A 2 6 2 2 1 2 1 2 3 2 2 = = + = + +
§13-4互等定理 δ,|o 荷载作用点 分1a,M务·位移发生点
§13-4 互等定理 i j •位移发生点 荷载作用点 1 2 F1 F2 F1 11 21 F2 12 22 11 21