第五章梁弯曲时的位移 §5-1梁的位移挠度及转角 B b 桥式吊梁在自重及 重量作用下发生弯曲变形 研究范围:等直梁在对称弯曲时位移的计算。 研究目的:①对梁作刚度校核; ②解超静定梁(变形几何条件提供补充方程)
第五章 梁弯曲时的位移 §5-1 梁的位移—挠度及转角 研究范围：等直梁在对称弯曲时位移的计算。 研究目的：①对梁作刚度校核； ②解超静定梁（变形几何条件提供补充方程）
一、度量梁变形的两个基本位移量 1.挠度:横截面形心沿垂直于轴线方向的线位移。用表示。 与y同向为正,反之为负。 F x2.转角:横截面绕其中性轴转 动的角度。用O表示,顺时 ●● 针转动为正,反之为负。 、挠曲线:变形后,轴线变为光滑曲线,该曲线称为挠曲线。 其方程为: wf(r) 三、转角与挠曲线的关系:O≈tanO=′=f(x) 小变形
1.挠度：横截面形心沿垂直于轴线方向的线位移。用w表示。 与 y 同向为正，反之为负。 2.转角：横截面绕其中性轴转 动的角度。用 表示，顺时 针转动为正，反之为负。 二、挠曲线：变形后，轴线变为光滑曲线，该曲线称为挠曲线。 其方程为： w =f (x) 三、转角与挠曲线的关系： 一、度量梁变形的两个基本位移量 F x w C C1 y tan = w = f (x) 小变形
§5-2梁的挠曲线近似微分方程及其积分 一、挠曲线近似微分方程 E plr*w' 1+v2 因为在小变形情况下:<<11+v2≈1 所以: )±→W"±2(x E
§5-2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分 一、挠曲线近似微分方程 ( ) ( ) EI M x x = 1 ( ) ( ) 2 3 2 1 1 w w x + = 因为在小变形情况下： wl 1 1 2 + w 所以： ( ) w x 1 ⇒ ( ) EI M x w
对于本书采用的坐标系,由下图可见: M M M0.w"0 即: M(x) 三一 El 对等直梁 EIw=-M(x) 此即为挠曲线的近似微分方程
( ) EI M x 即： w = − EIw = −M(x) 对于本书采用的坐标系，由下图可见： M M>0, w″0 x y 对等直梁： 此即为挠曲线的近似微分方程
二、求挠曲线方程(弹性曲线) 1微分方程的积分 Elw (x)=-M(x) EM(x)=∫(Mx)dx+C1 EA(x)=∫=M(x)dx+Cx+D C1、D1为常数,由梁的边界条件(包括位移约 束和连续条件)确定。 常数C1、D1确定后,代入上两式即可分别得到 梁转角方程和挠曲线方程,从而可确定任一截面的 转角和挠度
二、求挠曲线方程（弹性曲线） EIw"(x) = −M (x) d 1 EIw'(x) = (−M (x)) x +C d d 1 1 EIw(x) = (−M (x)) x x +C x + D 1.微分方程的积分 C1、D1为常数，由梁的边界条件（包括位移约 束和连续条件）确定。 常数C1、D1确定后，代入上两式即可分别得到 梁转角方程和挠曲线方程，从而可确定任一截面的 转角和挠度
2、积分常数确定 F阝 位移边界条件: WA=0, WB D=0 00 D 2连续条件: 缓D 左=V右 光滑条件: 左 右
2、积分常数确定 F A C B F D wA = 0, wB = 0 wD = 0, D = 0 位移边界条件： 连续条件： 光滑条件： 左 右 C C = 左 右 wC wC =
例5-1由积分法求图示梁的和小O 解:1、弯矩方程 M(x)=-Fx A B 2、微分方程及积分 Elw=Fx F Elw==x+c 2 Elw==x'+cx+D 6
例5-1 由积分法求图示梁的wA、A。 F A B l 解：1、弯矩方程 y x x M (x) = −Fx 2、微分方程及积分 x Cx D F EIw x C F EIw EIw Fx = + + = + = 3 2 6 2 '
3、确定积分常数 x=l22=0→C=k =0.→D 2 4、转角方程,弯矩方程 F v=,(2-x2) 2EⅠ (x3-32x+213) 6El 5、最大转角和最大挠度 Fl (逆时针) 2EⅠ F73 (向下) BEI
3、确定积分常数 3 ; 0, 2 , ' 0 2 3 Fl w D Fl x = l w = C = − = = 4、转角方程，弯矩方程 ( 3 2 ) 6 ( ) 2 ' 3 2 3 2 2 x l x l EI F w l x EI F w = − + = − 5、最大转角和最大挠度 （向下） （逆时针） EI Fl w EI Fl w A A 3 2 ' 3 2 = = −
积分法求解梁位移的思路: ①建立合适的坐标系; ②求弯矩方程Mx) 通建立近似微分方程:Eh=-M(x) 根据本书的规定坐标系,取负号进行分析。 ④积分求Eh和Eh; ⑤用约束条件或连续条件,确定积分常数; ⑥一般求极值可用数学方法,也可由挠曲线直接 判别
EIw = −M(x) 积分法求解梁位移的思路： ① 建立合适的坐标系； ② 求弯矩方程M(x) ； ③ 建立近似微分方程： ⑤ 用约束条件或连续条件，确定积分常数； ⑥ 一般求极值可用数学方法，也可由挠曲线直接 判别。 根据本书的规定坐标系，取负号进行分析。 ④ 积分求 EIw 和 EIw;
例5-2图示简支梁受分布力作用,确定其挠度、转 角方程及最大挠度和转角,E为常数。 解:1、弯矩方程为 M(x=2x-2x 22 y EIn"=9 代入微分方程并积分得 x+÷x 22 ElO(x)=(2x-3)+C 6 Elw(x) (x-2)+Cx+D 24
例5-2 图示简支梁受分布力作用，确定其挠度、转 角方程及最大挠度和转角，EI为常数。 解：1、弯矩方程为： 2 2 2 ( ) x q x ql M x = − 代入微分方程并积分得 x l Cx D qx EIw x x l C qx EI x = − + + = − + ( 2 ) 24 ( ) (2 3 ) 6 ( ) 3 2 y 2 2 2 " x q x ql EIw = − +