第7章应力状态和强度理论 §7-1概述 1、一点处的应力状态 构件内一点处各截面方向上的应力的情况,称为 该点的应力状态。可由围绕该点的一个单元体面上的 应力表示。 目的:通过应力状态分析求出该点处的mx、τ及 其作用面,从而更好地进行强度分析
第7章 应力状态和强度理论 构件内一点处各截面方向上的应力的情况，称为 该点的应力状态。可由围绕该点的一个单元体面上的 应力表示。 §7-1 概 述 1、一点处的应力状态 目的：通过应力状态分析求出该点处的 max、 max及 其作用面，从而更好地进行强度分析
单元体如何取? 在研究点的周围,取一个由三对互相垂直的平面 构成的六面体,该六面体的边长分别为无穷小量dx d和dz,如下图际示。 d aX dy 单元体每个面上应力均布;每对相互平行面上的 性质相同的应力大小相等;可用截面法求任一截面上 的应力
单元体每个面上应力均布；每对相互平行面上的 性质相同的应力大小相等；可用截面法求任一截面上 的应力。 单元体如何取？ 在研究点的周围，取一个由三对互相垂直的平面 构成的六面体，该六面体的边长分别为无穷小量dx、 dy和dz，如下图所示。 dy dz dx z x y
2、强度理论 对单轴或纯剪切应力状态,可由实验测得的相应 的材料许用应力来建立正应力和切应力强度条件。 而当一点处的应力状态较为复杂时,因应力的组 形式有无限多的可能性,不可能由实验的方法来确 定每一应力组合下材料的极限应力,因此需确定引起 材料破坏的共同因素。 关于材料破坏的共同因素(即破坏规律)的假说, 即称为强度理论。可根据强度理论来建立强度条件
对单轴或纯剪切应力状态，可由实验测得的相应 的材料许用应力来建立正应力和切应力强度条件。 2、强度理论 而当一点处的应力状态较为复杂时，因应力的组 合形式有无限多的可能性，不可能由实验的方法来确 定每一应力组合下材料的极限应力，因此需确定引起 材料破坏的共同因素。 关于材料破坏的共同因素（即破坏规律）的假说， 即称为强度理论。可根据强度理论来建立强度条件
例1画出下列图中的A、B、C点的已知单元体 (9 P Ox P B
zx 例1 画出下列图中的A、B、C点的已知单元体。 P P A A x x M P x y z B C x x B xz C xy yx
§7-2平面应力状态分析主应力 对图a所示悬臂梁上A点处单元体上的应力分布 (图b)可见:有一对平面上的应力等于零,而不 等于零的应力分量都处于同一坐标平面内。 d F A b (b) b 该应力状态则称为平面 a2应力状态,其单元体可简化 为左图所示情形
§7-2 平面应力状态分析•主应力 对图a所示悬臂梁上A点处单元体上的应力分布 （图b）可见：有一对平面上的应力等于零，而不 等于零的应力分量都处于同一坐标平面内。 A F (a) a d b c A a' b' d' c' (b) a d b c A 该应力状态则称为平面 应力状态，其单元体可简化 为左图所示情形
1、斜截面上的应力 已知如下图a(或图b)所示的一平面应力状态 e T b 01 可由截面法求与前、后兩平面垂直的斜截面上应 力。如图b所示,斜截面e的外法线与x轴间的夹角为 a,称为a截面
1、斜截面上的应力 已知如下图a（或图b）所示的一平面应力状态： e f a n x y z a b c d x y (a) x y y y x x a d b c x y x x (b) x x y y y y 可由截面法求与前、后两平面垂直的斜截面上应 力。如图b所示，斜截面ef的外法线与x轴间的夹角为 a，称为a截面
应力的正负和斜截面夹角的正负规定: 1)正应力o拉为正,压为负 2)切应力单元体产生顺时针旋转趋势为正;反之 为负; 3)对a角,x轴逆时针旋转这一角度而与斜截面外法 线重合时,其值为正;反之为负。 取图c所示分离体进行分析。图c中所示斜截面 上应力和斜截面夹角均为正
应力的正负和斜截面夹角的正负规定： 1）正应力拉为正，压为负； 2）切应力使单元体产生顺时针旋转趋势为正；反之 为负； 3）对a角，x轴逆时针旋转这一角度而与斜截面外法 线重合时，其值为正；反之为负。 取图c所示分离体进行分析。图c中所示斜截面 上应力和斜截面夹角均为正。 e f b y x a a (c) x y
由图d所示体元上各面上的力的平衡,参考法 线n和切线向可得: dda Irda cos a odA cosa \TadA b tydasina DasIng \t n=0→ o dA-(o, dAcos a )cosa+( dA cos a )sin. -(o, dAsin asin a+t dAsin a cosa=0
n = 0 ( ) ( ) ( d sin )sin ( d sin )cos 0 d d cos cos d cos sin − + = − + a a a a a a a a a A A A A A y y x x 由图d所示体元上各面上的力的平衡，参考法 线n和切线t方向可得： ⇒ n t ydAsina (d) b f ydAsina adA xdAcosa e adA xdAcosa
t=0 I dA-(o,dAcosasin a-(t dA cos a ) cosa +o dAsin a cosa+t dasin a sin a=0 其中d4为斜截面e的面积。 由此可得,任一斜截面上的应力分量为: ox_06cOs2-、sn2a 2 2Sin 2a+[ cos 2a
a a a cos 2 sin 2 2 2 x x y x y − − + + = 由此可得，任一斜截面上的应力分量为： t = 0 ( ) ( ) ( d sin )cos ( d sin )sin 0 d d cos sin d cos cos + + = − − a a a a a a a a a A A A A A y y x x ⇒ 其中dA为斜截面ef的面积。 a a a sin 2 cos 2 2 x x y + − =
例7-1图示圆轴中,已知:圆轴直径d=100mm,轴向 拉力F=500kN,外力矩M=7kN·m。求C点a=30° 截面上的应力。 口C F x C a (b) 解:C点应力状态如图b所示,其拉应力和切应力为: F500×10 63. 7MPa A兀 」 100 4
解：C点应力状态如图b所示，其拉应力和切应力为： 63.7MPa 100 4 π 500 10 2 3 = = = A F x 例7-1 图示圆轴中，已知：圆轴直径d=100mm，轴向 拉 力F=500kN，外力矩Me =7kN·m。求C点a =−30° 截面上的应力。 (b) C x x x x x y y y (a) x T F T C F
