辽宁工业大学：《材料力学》课程教学资源（PPT课件讲稿）第十一章 能量法习题

上次课回顾 1、应变能·余能 应变能 Ve =W=FdA 余能V=W=[4dF 2、卡氏定理 卡氏第一定理Cn 04 卡氏第二定理4=F1

1、应变能余能     1 0 d  应变能 V W F  余 能    F Vc WC F 1 0 d 2、卡氏定理 卡氏第一定理 i i V F     卡氏第二定理 F V i i      上次课回顾

卡氏第二定理的实用形式 FNOF dx+∑」 T OT M aM dx+∑ d x EAF GLOF ElOF 桁架结构 n、Fl.OF A=∑ e. A. aF 梁与刚架结构 △.= ∑∫ M(x)aM(x) dx El aF

卡氏第二定理的实用形式                l i l p i l i N N i x F M EI M x F T GI T x F F EA F d d d 桁架结构      n j i Nj j j Nj j i F F E A F l 1 梁与刚架结构      l i i dx F M x EI M (x) ( )

例11-5求悬臂梁B点的挠度。EⅠ为常数。 F ↓↓↓↓+ XB 2 ax M(x)=Fx+ oM(x) W 2 OF =人1(0M(x)23B8E7 4 Fl gl q E OF

例11-5 求悬臂梁B点的挠度。EI为常数。 q F A x B l x F qx M x M x Fx      ( ) , 2 ( ) 2 EI ql EI Fl dx F M x EI M x F V w l B 3 8 ( ) ( ) 3 4          

例11-6图示桁架结构。已知:F=35kN,d1=12mm, d2=15mm,E=210Gpa。求A点垂直位移。 B 2F 2F 45°39 N2 1+√3 1+√3 ① OF 2 aF N2 2 F OF1+√3OF1+√3 n、Fl1OFNF √2 △ OF ∑ E, A OF EA(l+√3 Fl 2 1.365mm EA2(1+√3

例11-6 图示桁架结构。已知：F=35kN, d1 =12mm, d2 =15mm, E=210Gpa。求A点垂直位移。 C B 45 o 30 o ① ② 1m A 0.8m F 1 3 2 , 1 3 2 1 3 2 , 1 3 2 1 2 1 2             F F F F F F F F N N N N mm EA Fl EA Fl F F E A F l F V n i Nj j j Nj j y 1.365 1 3 2 1 3 2 2 2 2 2 1 1 1                          

例11-7弯曲刚度为E的悬臂梁受三角形分布荷载如 图所示。梁的材料为线弹性体,且不计切应变对挠度 的影响。试用卡氏第二定理计算悬臂梁自由端的挠度。 解:在自由端“虚加”外力 任意x截面处的弯矩为: M(x)=Ma(x)+M(x/s (1 go.3+Fx X 6 l aM(x) x OF

例11-7 弯曲刚度为 EI的悬臂梁受三角形分布荷载如 图所示。梁的材料为线弹性体，且不计切应变对挠度 的影响。试用卡氏第二定理计算悬臂梁自由端的挠度。 解： 在自由端“虚加”外力 F任意x截面处的弯矩为：           x  Fx l q M( x ) M ( x ) M ( x ) q F 0 3 6 1 x F M( x )     q q x l y A B x 0 0 l x F

rIM(x)F-0 OM(x) WA dx 0 E OF 1 4 X ·(-x)dx= l0 EI0(61 30EⅠ

  EI q l x x l q x EI x F M x EI M x w l l F A 30 d 6 1 d ( ) ( ) 4 0 0 3 0 0 0                 

例11-8弯曲刚度均为E的静定组合梁ABC,在AB 段上受均布荷载q作用,如图a所示。梁材料为线弹性 体,不计切应变对梁变形的影响。试用卡氏第二定理 求梁中间铰B两侧截面的相对转角 (小 2M gl+ 解:在中间铰B两侧虚设一对外力偶MB(图b 各支反力如图b。AB段弯矩方程: 2 M(x)=4q1+ MB q x 2MBT 2 gx 2

例11-8 弯曲刚度均为 EI的静定组合梁 ABC，在 AB 段上受均布荷载q作用，如图a 所示。梁材料为线弹性 体，不计切应变对梁变形的影响。试用卡氏第二定理 求梁中间铰B两侧截面的相对转角。 解：在中间铰B两侧虚设一对外力偶MB（图b) 各支反力如图b。 AB段弯矩方程： 2 2 ( ) 2 2 2 q l q x x M l M M x ql B B                 q A B C l l MB MB 2 2 2 ql MB  l M ql B  l M B A C B q x x

BC段弯矩方程Mx) MB X 由卡氏第二定理得: △B=∑ 以、M(x列0OM(x) d x Er aM 24El 结果符号为正,说明相对转角A6的转向与图b 中虚加外力偶M的转向一致

由卡氏第二定理得： EI q l x M x EI M x MB MB B l 24 7 d M ( ) ( ) 3 B 0 0           结果符号为正，说明相对转角B的转向与图b 中虚加外力偶MB的转向一致。 BC段弯矩方程 x l M M( x ) B  

例11.9求图示刚架B截面△B3,AB3° F -ga Fr解:(1)求△ Bx q a BC: M(x=Fx aM( 0 OF AC:M(x,)=Fa+2+F OM(x,) 2 f-22 aF >BX OF Er do( 9a y 2x2ar2=e av 1 2 dEl

例11-9 求图示刚架B截面ΔBx , ΔBy。 F=qa Ff C B q a A a 解：（1）求ΔBx： 2 2 2 2 2 2 1 1 1 ( ) , 2 : ( ) 0 ( ) : ( ) , x F M x F x qx AC M x Fa F M x BC M x Fx f f f                         a f Bx EI qa x dx qx qa F EI V 0 4 2 2 2 2 2 2 8 5 2  1

(2)求△y: AC:M(x2)=Bg3,分之 BC: M(=Fx aMO OM(x2) 2 aF By El L, x,,+Fa+ 2 2EⅠ

（2）求ΔBy ： a F qx M x AC M x Fa x F M x BC M x Fx          ( ) , 2 : ( ) ( ) : ( ) , 2 2 2 2 1 1 1 1 EI qa dx qx Fx x dx Fa EI a a By 2 3 2 1 4 2 0 0 2 2 1 1 1                    