上次课回顾: 1、一点处的应力状态 2、平面应力状态分析 (1)斜截面上的应力 R +o 2 2coS 2a-Tr sin 2a T= -sin 2a+t cos 2a 2
上次课回顾： 1、一点处的应力状态 2、平面应力状态分析 （1）斜截面上的应力 cos 2 sin 2 2 2 x x y x y − − + + = sin 2 cos 2 2 x x y + − =
(2)应力圆 Ba O A B BIllAI 应力圆和单元体的对应关系 圆上一点,体上一面; 圆上半径,体上法线 转向一致,数量一半 直径两端,垂直两面
（2）应力圆 O C 2 F B1 A1 A2 B2 D1 D2 E x y y x 1 2 0 应力圆和单元体的对应关系 圆上一点，体上一面； 圆上半径，体上法线； 转向一致，数量一半； 直径两端，垂直两面
(3)主平面和主应力 O 2 O1= tOyk 2 2 2 R. +O 2 +T 2 2 2 0 arctan O-0
（3）主平面和主应力 2 2 1 2 2 x x y x y + − + + = 2 2 2 2 2 x x y x y + − − + = − − = x y x 2 arctan 2 1 0
§7-3空间应力状态的概念 下图所示单元体的应力状态是最普遍的情况, 称为一般的空间应力状态 图中平面有:Ox,y,Cx 面图中平面有 132 dz 图中平面有:2,2 在切应力的下标中,第一个表示所在平面,第 二个表示应力的方向
§7-3 空间应力状态的概念 下图所示单元体的应力状态是最普遍的情况， 称为一般的空间应力状态。 图中x平面有： x xy xz , , 图中y平面有： y yx yz , , 图中z平面有： z zx zy , , 在切应力的下标中，第一个表示所在平面，第 二个表示应力的方向。 x y z O dx dy dz xy xz x yx y yz xy z xy zx x xz zy z zx yx y yz
空间应力状态共有9个分量,然而,根据切应 力互等定理可知,独立的分量只有6个,即: 2 y 可以证明,对上述应力状态一定可找到一个 单元体,其三对相互垂直的面都是主平面,其上 应力分别为: 2 该单元体称为主单元体。 空间应力状态:三个主应力都不等于零; 平面应力状态:两个主应力不等于零; 单向应力状态:只有一个主应力不等于零
x y z xy yz z x , , , , , 可以证明，对上述应力状态一定可找到一个 单元体，其三对相互垂直的面都是主平面，其上 应力分别为： 1 2 3 , , 空间应力状态共有9个分量，然而，根据切应 力互等定理可知，独立的分量只有6个，即： 空间应力状态：三个主应力都不等于零； 平面应力状态：两个主应力不等于零； 单向应力状态：只有一个主应力不等于零。 该单元体称为主单元体
下面分析空间应力状态下的最大正应力和切应力。 考虑图a所示主单元体中斜截面上的应力 07 (a) 对与a平行的斜截面: 由图b可知,该面上应力 与a无关,由a1、a2的应力圆来 确定。 同理:和a平行的斜截面上 应力与a2无关,由G1,3的应力 圆确定;和G平行的斜截面上应 力与σ无关,由a2、a的应力圆 确定。 进一步研究表明,一般斜截 面abc面上应力位于图c所示的阴 影部分内
考虑图a所示主单元体中斜截面上的应力。 对与3平行的斜截面： 同理：和2平行的斜截面上 应力与2无关，由1、3的应力 圆确定；和1平行的斜截面上应 力与1无关，由2、3的应力圆 确定。 下面分析空间应力状态下的最大正应力和切应力。 c a b 1 3 3 (b) 2 1 2 1 3 3 2 (a) 进一步研究表明，一般斜截 面abc面上应力位于图c所示的阴 影部分内。 由图b可知，该面上应力 、 与3无关，由1、2的应力圆来 确定
max 因为:Gn=01 B 4,所以,由σ、σ构成的应 a力圆最大,c作用点位于 该圆上,且有: max (c) 2 xmn作用面为与a2平行,与G或G3成45角的斜 截面。 注意:cn作用面上,a≠0
max = 1 min = 3 2 1 3 max − = max作用面为与2平行，与1或3成45°角的斜 截面。 所以，由1、3构成的应 力圆最大，max作用点位于 该圆上，且有： 因为： O 3 2 1 max B D A max (c) 注意：max作用面上，0
例7-4用应力圆求图a所示应力状态的主应力、主平面, 最大切应力τ及作用面。 20MPa 20MPa 20 40MPa 40 /20MPa a) (b) 解:由图示应力状态可知a=20MPa为一主应力 则与该应力平行的斜截面上的应力与其无关。可由 图b所示的平面应力状态来确定另两个主应力
例7-4 用应力圆求图a所示应力状态的主应力、主平面， 最大切应力max及作用面。 解：由图示应力状态可知z =20MPa为一主应力， 则与该应力平行的斜截面上的应力与其无关。可由 图b所示的平面应力状态来确定另两个主应力。 20 20 40 (a) (b) 20MPa 20MPa 40MPa 20MPa x y z
图b际示平面应力状态对应的应力圆如图c 由此可得 0,=46MPa 20MPa 0,=-26MPa (c) (d) B O C 最后依据三个主应力值可绘出三个应力圆,如图d
46MPa 1 = 20MPa 2 = 26MPa 3 = − 图b所示平面应力状态对应的应力圆如图c。 最后依据三个主应力值可绘出三个应力圆，如图d。 O 3 1 A C D2 D1 (c) O max 3 2 1 B A C D2 D1 (d) 由此可得：
最大剪应力对应于B点的纵坐标,即 T=BC=36MPa 作用面与σ2平行而与G1成45角,如图e际示。 17° (e)
36MPa max = BC = 作用面与2平行而与1成45°角，如图e所示。 最大剪应力对应于B点的纵坐标，即 x (e) 3 2 1 max 17°
