第十一章能量法
§11-1概述 1.能量法: 利用功和能的概念及能量守恒定律,求解可变形 固体的位移、变形和内力等的方法。 2能量法的应用范围: (1)线弹性体;非线性弹性体 (2)静定问题;超静定问题 (3)是有限单元法的重要基础
§11－1 概 述 1.能量法： 利用功和能的概念及能量守恒定律，求解可变形 固体的位移、变形和内力等的方法。 2.能量法的应用范围： （1）线弹性体；非线性弹性体 （2）静定问题；超静定问题 （3）是有限单元法的重要基础
§11-2应变能余能 1应变能 (1)线弹性体的各基本变形形式下的应变能表达式 (参见上册) 拉(压杆 V=W=-FN 2EA 圆轴扭转 V=W Tl 2G1 梁弯曲 V=W= M(xdx 2EⅠ
§11－2 应变能•余能 1.应变能 (1) 线弹性体的各基本变形形式下的应变能表达式 (参见上册) 拉(压)杆 EA F l V W 2 2 ＝ ＝ N 圆轴扭转 G I T l V W p 2 2 ＝ ＝ 梁弯曲 l EI M x x V W 2 ( )d 2 ＝ ＝
(2)非线性弹性体的应变能表达式 对图a)的拉杆,其F-4关系如图(b) F F d△ △ (b) F在dA上所作微功为dW=FdA F作的总功为: w=dw=FdA 0 (F-曲线与横坐标轴间的面积)
(2) 非线性弹性体的应变能表达式 对图(a)的拉杆, 其F −Δ关系如图(b) F在d上所作微功为 dW = F d F作的总功为： = = 1 1 0 0 W dW F d （F-曲线与横坐标轴间的面积） A F l (a) F F1 F d O 1 (b)
由能量守恒得应变能: 4 V=W=Fda 此为由外力功计算应变能的表达式) 类似,可得其余变形下的应变能: 梁受h而弯曲:V=Fdv 梁受M而弯曲:V=fM d 圆轴受M而扭转:VE=M3dq
由能量守恒得应变能： = = 1 0 d V W F (此为由外力功计算应变能的表达式） 类似，可得其余变形下的应变能： w 梁受F而弯曲： V ＝ 0 F dw e 0 梁受M 而弯曲： V ＝ Me d x 0 圆轴受M 而扭转： V ＝ M x d
若取各边长为单位长的单元体,则作用于上、下 表面上的力为:F=0×1×1= 其伸长量为:=E×1=E 则作用于此单元体上的外力功为: W gdc 注意到此单元体的体积为单位值,从而此时的应 变能(数值上等于上式中的W)为应变能密度: 1。=ad,(a曲线与横坐标轴间的面积)
若取各边长为单位长的单元体，则作用于上、下 表面上的力为: F = 11 = 其伸长量为： ＝ 1＝ 则作用于此单元体上的外力功为： = 1 0 d W 注意到此单元体的体积为单位值，从而此时的应 变能(数值上等于上式中的W) 为应变能密度: = 1 0 d v (-曲线与横坐标轴间的面积） O d 1 1 (c)
若取边长分别为dxdy.dz的单元体,则此单 元体的应变能为: dvs=vedxdydz 整个拉杆的应变能为: Ve=dv=lvedv 此为由应变能密度计算应变能的表达式) 特别地,在拉杆整个体积内v为常量 所以有V=v=vAl
若取边长分别为dx、dy、dz 的单元体，则此单 元体的应变能为： dV = v d x d y d z 整个拉杆的应变能为： V V v V v v d d = = (此为由应变能密度计算应变能的表达式) 特别地，在拉杆整个体积内vε为常量 V v V v Al 所以有 = =
说明:线弹性体的v、V可作为非线性体的v、V的 特例。由于线弹性的F与减o与战成正比,则F-A曲 线或σ-〓曲线与横坐标轴围成一个三角形,其面积 等于应变能V和应变能密度v F2EA石 VE=W=F141= 2EA21 O veda=o181=Ea =2E 0 同理,可得纯剪时的应变能密度v为: Idr= tn=Gri 0 2 2 QG
说明：线弹性体的v、V 可作为非线性体的v、 V 的 特例。由于线弹性的F与或与 成正比，则F－曲 线或－ 曲线与横坐标轴围成一个三角形，其面积 等于应变能V 和应变能密度v 。 l EA EA F l V W F 2 2 2 1 2 1 2 1 1 1 = = = = E v E 2 2 1 2 1 d 2 2 1 1 1 1 0 1 = = = = 同理，可得纯剪时的应变能密度v为： G v G 2 2 1 2 1 d 2 2 1 1 1 1 0 1 = = = =
例11-1弯曲刚度为E的简支梁受均布荷载q作用 如图所示。试求梁内的应变能。 q Bx 解:梁的挠曲线方程为: 4 X x 2-+ 24E1 荷载所作外力功为: w=balad) 将前一式代入后一式得:D=W=97 240EⅠ
例11-1 弯曲刚度为EI的简支梁受均布荷载q作用， 如图所示。试求梁内的应变能 。 解：梁的挠曲线方程为： = − + l x l x l x EI ql w 4 4 3 4 3 2 24 荷载所作外力功为： W (q x) w l = d 2 1 0 将前一式代入后一式得： EI q l V W 240 2 5 = = w x l y A B q x
例11-2原为水平位置的杆系如图a所示,试计算在 荷载F1作用的应变能。两杆的长度均为l,横截面面 积均为A,其材料相同,弹性模量为E,且均为线弹 性的。 (a) F1 解:设两杆的轴力为FN,则两杆的伸长量均为: △ F EA 两杆伸长后的长度均为: 1+△=41+Fx EA
例11-2 原为水平位置的杆系如图a 所示，试计算在 荷载F1作用的应变能。两杆的长度均为l，横截面面 积均为A，其材料相同，弹性模量为E，且均为线弹 性的。 解：设两杆的轴力为FN ，则两杆的伸长量均为： EA F l l N = 两杆伸长后的长度均为： + = + EA F l l l N 1 F1 1 1 l l (a)