辽宁工业大学：《材料力学》课程教学资源（PPT课件讲稿）第十一章 能量法（11.4）用能量法解超静定系统

§11-4用能量法解超静定系统 用能量法解超静定系统的步骤: (1)选取基本静定系; (2)建立变形协调条件; (3)求力位移关系:应用能量原理(余能原理、卡氏第二 定理)计算基本静定系分别在荷载和多余未知力作用下的位 移 (4)求解多余未知力:将力位移间物理关系,代入变形协 调条件,得补充方程。由补充方程解出多余未知力。 (5)进行其他计算

§11－4 用能量法解超静定系统 用能量法解超静定系统的步骤： （1）选取基本静定系； （2）建立变形协调条件； （3）求力-位移关系： 应用能量原理（余能原理、卡氏第二 定理）计算基本静定系分别在荷载和多余未知力作用下的位 移； （4）求解多余未知力： 将力-位移间物理关系，代入变形协 调条件，得补充方程。由补充方程解出多余未知力。 （5）进行其他计算

例11-12作图示梁的弯矩图,E为常数。 氦∏∏ 解: B (1)选基本静定系 (2)变形协调条件 △B=0 (3)求力位移关系 2 M(x)=Xx- aM(x)

例11-12 作图示梁的弯矩图，EI为常数。 A B l q 解： （1）选基本静定系 （2）变形协调条件 B = 0 （3）求力-位移关系 q X x x X M x qx M x Xx =   = − ( ) 2 ( ) 2

△ M(x)oM(x) dx=L( Dxdx=o 0E aF E(x、9 0 BEl BEI (4)求解未知力 =31 8 9l/8 (5)作弯矩图 9qP2/128

  = − =    = l l B B B xdx qx F x EI dx F M x EI M x 0 0 2 ) 0 2 ( ( ) ( ) 1 0 3 8 3 4 − = EI ql EI F l B （4）求解未知力 8 3ql FB = （5）作弯矩图 ql2 /8 9ql2 /128

例11-13用能量方法求解图示刚架,并作弯矩图。 解:(1)选基本静定系: B C(2)变形条件:△C=0 (3)求力-位移关系 弯矩方程及偏导数 BC:M(x)=Yx. qx1 M(X=Xy X 2 OX AB2:Mx2)=x,1-9,M(x2)=1 2aⅩ

例11-13 用能量方法求解图示刚架，并作弯矩图。 q l l A B C 解：（1）选基本静定系： （2）变形条件：ΔC=0 （3）求力-位移关系 l X ql M x AB M x X l x X qx M x BC M x X x =   =  − =   =  − ( ) , 2 ( ) ( ) , 2 ( ) 2 2 2 1 1 2 1 1 1 ： ： 弯矩方程及偏导数 x x1 2 X

卡氏第二定理求位移 △。= x.x.-9u1 xx+/./9 E|0 2 2 47 X一 5q14 BEl gEl (4)求解未知力 15 x=30=0X=ql BE dEl 32 (5)作弯矩图

EI ql X EI l ldx ql x dx X l qx X x EI l l C 8 5 3 4 2 2 1 3 4 0 0 2 2 1 1 2 1 1 = −               +  −          =  −   卡氏第二定理求位移 （4）求解未知力 0 8 5 3 4 3 4 − = EI ql X EI l X ql 32 15 = （5）作弯矩图

0.0625gP2 0.lg12

0.11ql2 0.0625ql2

例11-14由同一非线性弹性材料制成的1、2、3杆 用铰连接如图a所示。已知三杆的横截面面积均为A, 材料的应力一应变关系为σ=KE,且n>1;并知1、 2两杆的杆长为试用余能定理计算各杆的内力 B 解: (1)选基本静定系统如图b

例11-14 由同一非线性弹性材料制成的1、2、3杆， 用铰连接如图a所示。已知三杆的横截面面积均为A， 材料的应力一应变关系为=K 1/n，且n> 1；并知1、 2两杆的杆长为l。试用余能定理计算各杆的内力。 解： （1）选基本静定系统如图b。 F B D C A 1 3 2 a a (a) B A (b) D C 1 3 2 X F a a

(2)变形协调条件:4D=0 (3)求力位移关系:用余能原理 X 由图b的平衡得各杆轴力: F-X F FNI-IN2 cos a F n3 (b)

（2）变形协调条件: D=0 （3）求力-位移关系:用余能原理 由图b的平衡得各杆轴力： B A (b) D C 1 3 2 X F a a F X F X F N F N N = − 1 = 2 = 3 2cosa

余能密度为: 1 clc ado do 0 0(K n+1 NI F-X d JoKA (n+1)K"(2cosa·A 1 cao 0 (n+1)Kx八(4

余能密度为： 1 0 1 0 0 1 2 ( 1) 2cos 1 d d d 1 1 1 +        − +  =      =       = = =    n n n N n c c A F X K A n K F K v v a         1 0 3 ( 1) 1 d 3 +       + = =  n c n A X n K v   

总余能为 c-Vclv1tvc2v2T vc3 n+1 A F-X n+1 +cos d (n+1Kn"I(2 cos a. A A △ A F-X X)(1 (n+1)K”(2cosa/ +cos a =0 2 cos a. A A

总余能为                + a      a − + = = + + +1 +1 3 1 1 2 2 3 cos 2cos 2 ( 1) n n n c c c c A X A F X n K lA V v V v V v V 0 1 cos 2cos . 1 2cos . 2 ( 1) =                      +        −      − + =    = A A X A A F X n K lA X V n n n C D a a a