第十二章 动 矩定理
第十二章 动 量 矩 定 理
§12-1质点和质点系的动量矩 质点的动量矩 对点O的动量矩 O(m)=r×m M(m) I my (mv), Q
§12-1 质点和质点系的动量矩 1．质点的动量矩 对点O的动量矩 ( ) M mv r mv O =
对z轴的动量矩 M(m)等于[m对点O的矩 M(m)是代数量,从z轴正向看逆时针为正,顺 时针为负 LMo(m)-=M(mv) 单位kgm?2 2.质点系的动量矩 对点的动量矩 L=∑M(m1) 对轴的动量矩 L=∑M(mv)
[ ( )] ( ) M mv M mv O z z = 1 ( ) n O O i i i L M m v = = 1 ( ) n z z i i i L M m v = = 对 z 轴的动量矩 单位:kg·m2 /s 2．质点系的动量矩 对点的动量矩 对轴的动量矩 ( ) M mv z 等于 [ ] 对点O的矩. mv xy ( ) M mv z 是代数量,从z 轴正向看,逆时针为正,顺 时针为负
LOl=L 即o=Li+L1+Lk (1)刚体平移可将全部质量集中于质心, 作为一个质点来计算 Lo=Mo(mvc), L=M(mvc) ‖l (2)刚体绕定轴转动 IiVi ∑M2(m)=2m2v 2 =∑m,Orr1=0∑mr 转动惯量 2 .F:
z z i i i i i L = M (m v ) = m v r 2 i i i i i = m rr = m r 2 z i i J = m r Lz = Jz （1） 刚体平移.可将全部质量集中于质心, 作为一个质点来计算. ( ) z z C ( ) L M mv = O O C L M mv = , （2） 刚体绕定轴转动 转动惯量 [ ] L L O z z = 即 L L i L j L k O x y z = + +
§12-2动量矩定理 1.质点的动量矩定理 设O为定点,有 Mo(m)=x(7×m) dt dt n1+ Inv dt o(mν 其中: (m1)=F Mo(F) dr =p(O为定点) 0
d d ( ) ( ) d d M mv r mv O t t = d d ( ) d d r mv r mv t t = + §12-2 动量矩定理 1．质点的动量矩定理 设O为定点,有 v mv = 0 d ( ) d mv F t = 其中: d d r v t = （O为定点）
因此d Mo(mv)=Mo(r) 称为质点的动量矩定理质点对某定点的动量矩对 时间的一阶导数,等于作用力对同一点的矩 投影式: M(mv)=M(f) t d M, (mv)=m,( f) dt M(mv)=M(e) dt
d ( ) ( ) d M mv M F x x t = d ( ) ( ) d M mv M F y y t = d ( ) ( ) d M mv M F z z t = 投影式: d ( ) ( ) d M mv M F O O t 因此 = 称为质点的动量矩定理:质点对某定点的动量矩对 时间的一阶导数,等于作用力对同一点的矩
2.质点系的动量矩定理 M(m1)=M0(F0)+M0(F1) ∑Mo(m)=∑M0(F0)+∑M0(F) 由于∑M0(F0)=0 ∑,Mo(m)=∑Mmi)= dt dt dt 得 ∑M0(F() dt 称为质点系的动量矩定坐质点系对某定点O 的动量矩对时间的导数,等于作用于质点系的 外力对于同一点的矩的矢量和
d d d ( ) ( ) d d d O O i i O i i L M m v M m v t t t = = d ( ) ( ) d O e O i L M F t 得 = 称为质点系的动量矩定理:质点系对某定点O 的动量矩对时间的导数,等于作用于质点系的 外力对于同一点的矩的矢量和. d ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d i e M m v M F M F O i i O i O i t = + d ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d i e M m v M F M F O i i O i O i t = + 2. 质点系的动量矩定理 由于 ( ) ( ) 0 i = M F O i
投影式: ∑M(F ∑M,(F) dt ∑M( dt 内力不能改变质点系的动量矩
d ( ) ( ) d x e x i L M F t = ( ) d ( ) d y e y i L M F t = 投影式: d ( ) ( ) d z e z i L M F t = 内力不能改变质点系的动量矩
例12-1已知:R,J,M,B,m,小车不计摩擦. 求小车的加速度a 解:L=J+mvR Me)=M-mg sin 8.R F d t DO+mvr]=M-mg sin 0 R dy FN 由O= C 得 r dt MR-mgR sin 6 P J+mrz
M M mg R e O = − sin ( ) J mvR M mg R t [ + ] = − sin d d 2 2 sin J mR MR mgR a + − = 例12-1 已知： R, J,M,, m ,小车不计摩擦. 求小车的加速度 a . 解: LO = J + mv R R v = a t v = d d 由 , ， 得
例12-3:已知m,,m1,m2,i,F2,不计摩擦 求:(1)c (2)O处约束力F (3)绳索张力F,F ⊙@您 濱学 It12-03dt swt Ing
例12-3：已知 m , , , , , ,不计摩擦. O J m1 m2 1 r 2 r 求:（1） （ FN 2）O处约束力 （3）绳索张力 ， T1 F T2 F lt12-03dt.swf