第3章傅里叶变换
第 3 章 傅里叶变换
目录 3.1周期信号的傅里叶级数分析 3.2典型周期信号的傅里叶级数 3.3傅里叶变换 3.4典型非周期信号的傅里叶变换 3.5典型非周期信号的傅里叶变换 3.6周期信号的傅里叶变换 3.7取样信号的傅里叶变换 3.8系统的频域分析
目 录 3.3 傅里叶变换 3.1 周期信号的傅里叶级数分析 3.2 典型周期信号的傅里叶级数 3.4 典型非周期信号的傅里叶变换 3.6 周期信号的傅里叶变换 3.7 取样信号的傅里叶变换 3.8 系统的频域分析 3.5 典型非周期信号的傅里叶变换
3,1周期信号的傅里叶级数分析 从本章起，我们由时域分析进入频域分析，在频域分析中， 首先讨论周期信号的傅里叶级数，然后讨论非周期信号的 傅里叶变换。傅里叶变换是在傅里叶级数的基础上发展而 产生的，这方面的问题统称为傅里叶分析。 。 任何周期函数在满足狄义赫利的条件下，可以展成正交函 数线性组合的无穷级数。如果正交函数集是三角函数集或 指数函数集，此时周期函数所展成的级数就是“傅里叶级 数
3.1 周期信号的傅里叶级数分析 • 从本章起，我们由时域分析进入频域分析，在频域分析中， 首先讨论周期信号的傅里叶级数，然后讨论非周期信号的 傅里叶变换。傅里叶变换是在傅里叶级数的基础上发展而 产生的，这方面的问题统称为傅里叶分析。 • 任何周期函数在满足狄义赫利的条件下，可以展成正交函 数线性组合的无穷级数。如果正交函数集是三角函数集或 指数函数集，此时周期函数所展成的级数就是“傅里叶级 数”
3.1.1三角形式的傅里叶级数 2π 设周期信号为f),其重复周期是T,角频率ω1=2= T f(t)=d+(a cosnot+bsin not) 其中 do= rod f(t)分解为不同频率三 角函数线性组合的无穷 2 级数。 An T 人"fe)cosno.ld ()sn nod 2 bn= T 推导 基波，二次谐波..n次谐波 傅里叶级数表明信号中各次谐波的分布
3.1.1 三角形式的傅里叶级数 设周期信号为f(t), 其重复周期是T1 ,角频率 1 1 1 2 2 T f = = = = + + 1 0 1 1 ( ) ( cos sin ) n n n f t a a n t b n t + = 0 1 0 ( ) 1 1 0 t T t f t dt T 其中 a + = 0 1 0 1 1 ( )cos 2 t T t n f t n tdt T a + = 0 1 0 1 1 ( )sin 2 t T t n f t n tdt T b 推导 •f(t)分解为不同频率三 角函数线性组合的无穷 级数。 基波，二次谐波….n次谐波 傅里叶级数表明信号中各次谐波的分布
f(t)a+(acosnod+b,sin n) n= 三角形式的傅里叶级数也可表示成： f(t)=co+c,cos(not+o,) (2) 其中 n= ci=a+b %,=arctan((-b） Co =ao an an为no1的偶函数，bn为no1的奇函数 cn为no1的偶函数，pm为no1的奇函数
三角形式的傅里叶级数也可表示成： 0 1 1 ( ) cos( ) n n n f t c c n t = = + + （2） 其中 2 2 2 0 0 arctan( ) n n n n n n b c a b c a a = + = − = an为 n1 的偶函数， bn 为 n1 的奇函数 cn为 n1 的偶函数， n 为 n1 的奇函数 = = + + 1 0 1 1 ( ) ( cos sin ) n n n f t a a n t b n t
例题求题图所示的周期矩形信号的三角形式傅里叶级数。 f(t) 解：一个周期内f0的表达式为： E 0<t< T-2 T f(t)= 0 E L<1<T 2 E-2 0h=0 do= a 子f0 )cod=0 2E ,=子f@sn- n=1,3,5… n元 0 n=2,4,6…
例题 求题图所示的周期矩形信号的三角形式傅里叶级数。 解：一个周期内 f (t) 的表达式为： − = 1 1 1 2 2 2 0 2 ( ) t T E T T t E f t ( ) 0 1 1 0 1 0 = = T f t dt T a ( ) cos 0 2 1 0 1 1 = = T n f t n tdt T a = = = = 0 2,4,6 1,3,5 2 ( )sin 2 1 0 1 1 n n n E f t n tdt T b T n 2 E 2 E − 2 T1 − 2 T1 0 f (t) t T1
w-名如加 因此 2E (enar+gn3af+写sn5a+)
因此 sin 5 ) 5 1 sin 3 3 1 (sin 2 sin 2 1 ( ) 1 1 1 1,3,5 1 = + + + = = t t E n t n E f t n
3.1.2指数形式的傅里叶级数 f(t)=∑Femont f(t)分解为不同频率 N=-00 指数函数线性组合 其中 的无穷级数。 f()→Fn建立一一对应关系。 Fn与nw形成函数关系 r=Pem-a-) F=@+6- p,=arctan（←
3.1.2 指数形式的傅里叶级数 ( ) 2 1 n n j n n F F e a j b n = = − 1 ( ) jn t n n f t F e =− = n n n n F a b c 2 1 2 1 2 2 = + = arctan ( ) n n n a b = − 0 1 1 0 1 1 ( ) t T jn t n t F f t e dt T + − = 其中 Fn与nw1形成函数关系 •f(t)分解为不同频率 指数函数线性组合 的无穷级数。 f(t) →Fn建立一一对应关系
·例题：如图所示信号(t)的指数形式的傅里叶级数。 分析：要求级数只要确定了系数Fn即可。 Fo 1T12 -Ts-τ/2τ/2Ts t E e-jmnt /2 E ejmnr12e-jmut/2 T j形 2E ejmnt12-e-jmmt/2 Et sin(myt/2)ESa(mw/2) T 2jnw T w1t/2 T f0-克r,ea=艺gsmr2ea -● n=-00 n=-00
• 例题：如图所示信号f(t)的指数形式的傅里叶级数。 / 2 / 2 1 1 − − − = jnw e T E jnwt -Ts -τ/2 τ/2 Ts t 分析：要求级数只要确定了系数Fn即可。 E 解： f t e dt T F n jnwt T T 1 / 2 / 2 ( ) 1 − − = E e dt T jnw t 1 / 2 / 2 1 − − = 1 / 2 / 2 2 2 1 1 jnw e e T E jnw − jnw − = ( / 2) / 2 sin( / 2) 1 1 1 Sa nw T E nw nw T E = = + =− + =− = = n jnwt n jnwt n Sa nw e T E f t F e 1 1 ( ) ( / 2) 1 1 / 2 / 2 1 1 jnw e e T E jnw − jnw − =
·例题：已知信号f(t)=cos100t,求指数形式的傅里叶级数系数Fn。 解：f)=eo0+e1)所以E=-7 其余Fn=0,n≠±1 ·例题：已知指数形式的傅里叶级数系数Fn如图所示，求信号f(t) Fn 解：F=3,F1=F=3,F2=F2=1 3 所以f0)=∑F,em网 -2w1 -W1 W12w1 nw1 n=-o0 -3+3em +3e mt +ei2mt +e-i2t =3+6cosw t+2cos2w t
• 例题：已知信号f(t)=cos100t,求指数形式的傅里叶级数系数Fn。 其余Fn = 0，n 1 解： ( ) 2 1 ( ) j100t j100t f t e e − = + , 2 1 所以 F−1 = F1 = • 例题：已知指数形式的傅里叶级数系数Fn如图所示，求信号f(t) 解： 3, 3, 1 F0 = F−1 = F1 = F−2 = F2 = 所以 - 2w1 -w1 w1 2w1 nw1 Fn 3 3 1 j w t j w t j w t j w t n jnwt n e e e e f t F e 1 1 1 1 1 2 2 3 3 3 ( ) − − + =− = + + + + = w t w t 1 2 1 = 3 + 6cos + 2cos
