心号与系我 第四章 拉普拉斯变换、 连续时间系统的S域分析
拉普拉斯变换、 连续时间系统的S域分析 第四章
4.1 引言 •以傅里叶变换为基础的频域分析方法的优，点在于：它 给出的结果有着清楚的物理意义，但也有不足之处， 傅里叶变换只能处理符合狄利克雷条件的信号，而有 些信号是不满足绝对可积条件的，因而其信号的分析 受到限制； [f()dt<o •另外在求时域响应时运用傅里叶反变换对频率进行的 无穷积分求解困难。 fw=2元=FVo
4.1 引言 •以傅里叶变换为基础的频域分析方法的优点在于：它 给出的结果有着清楚的物理意义 ，但也有不足之处， 傅里叶变换只能处理符合狄利克雷条件的信号，而有 些信号是不满足绝对可积条件的，因而其信号的分析 受到限制； •另外在求时域响应时运用傅里叶反变换对频率进行的 无穷积分求解困难。 ∫ ( ) < ∞ ∞−∞ f t d t ( ) d [ ] ( ) 21 ( ) j 1 f t F ω e ω F f t t − ∞−∞ = = ∫ ω π
为了解决对不符合狄氏条件信号的分析，可利用本章要讨 论的拉氏变换法扩大信号变换的范围。 优，点： 求解比较简单，特别是对系统的微分方程进行变换 时，初始条件被自动计入，因此应用更为普遍。 本章首先由傅氏变换引出拉氏变换，然后对拉氏正变换、 拉氏反变换及拉氏变换的性质进行讨论。 本章重点在于，以拉氏变换为工具对系统进行复频域 分析。 最后介绍系统函数以及H(S)零极点概念，并根据他们 的分布研究系统特性，分析频率响应，还要简略介绍系统 稳定性问题。 3
3 为了解决对不符合狄氏条件信号的分析，可利用本章要讨 论的拉氏变换法扩大信号变换的范围。 •优点： 求解比较简单，特别是对系统的微分方程进行变换 时，初始条件被自动计入，因此应用更为普遍。 本章首先由傅氏变换引出拉氏变换，然后对拉氏正变换 、 拉氏反变换及拉氏变换的性质进行讨论。 本章重点在于，以拉氏变换为工具对系统进行复频域 分析。 最后介绍系统函数以及 H ( s)零极点概念，并根据他们 的分布研究系统特性，分析频率响应，还要简略介绍系统 稳定性问题
4.2拉普拉斯变换的定义、 收敛域 (一)从傅里叶变换到拉普拉斯变换 若)不满足狄里赫利条件，有些不存在傅里叶变换。 若f()乘一衰减因子e-t,则若f)e-6收敛，于是满足狄 里赫利条件，则f)=f)e-δ存在傅里叶变换 ut)e (σ>a coso1t·e-ot
4.2 拉普拉斯变换的定义、 收敛域 (一) 从傅里叶变换到拉普拉斯变换 若f(t)不满足狄里赫利条件,有些不存在傅里叶变换。 若f(t)乘一衰减因子e – δt,则若f(t) e – δt收敛，于是满足狄 里赫利条件,则f1(t)= f(t) e – δt存在傅里叶变换. t u t e−σ ( ) e .e ( a) at t > − σ δ t t e σ ω − ⋅ 1 cos
假设有信号f(t),且为因果信号。 f(t)=f(t)e-a S=0+j0 象函数 F()=f(t)edi (单边L正变换) F(s)=f(t)eai=L[f(t】 下限取0-，LT就考虑了初始条件， FT:实频率 o是振荡频率 LT:复频率S=o+joo是振荡频率，o控制衰减速度
t f t f t e −σ ( ) = ( ) 1 F f t e dt j t ∫∞ − + = 0 ( ) 1 ( ) ( ) σ ω ω ( ) ( ) [ ( )] 0 F s f t e dt L f t st = = ∫ ∞ − s=σ+jω 象函数 (单边L正变换) FT: 实频率 ω是振荡频率 LT: 复频率S= σ+jω ω是振荡频率， σ 控制衰减速度 下限取0-, LT就考虑了初始条件, 假设有信号f(t),且为因果信号
f)e""F(o)edo 2元 f0-2a」F()do f=1 ra+F(s)e”dk=L[F(s】 (s=σ+j0) o-j 原函薮 f(t)>F(s) (单边L逆变换) 双边拉普拉斯变换[若f)为非因果信号]： Fs)=∫ft)e'd 用得较少 F(e"as 以下拉普拉斯变换均指单边拉普拉斯变换
原函数 (单边L逆变换) f (t) ↔F(s) 双边拉普拉斯变换[若f(t)为非因果信号]： ∫ ∞−∞ − F(s) = f (t)e dt st ∫ + ∞ − ∞ = j j ( )e d 2π j 1 ( ) σσ f t F s s st 用得较少 以下拉普拉斯变换均指单边拉普拉斯变换 ω ω π σ ω f t e F e d t j t ∫∞−∞ − = ( ) 21 ( ) 1 ω ω π σ ω f t F e d j t ∫∞−∞ + = ( ) 1( ) 21 ( ) ( ) [ ( )] ( ) 21 ( ) 1 σ ω π σσ F s e ds L F s s j j f t jj st = = = + − + ∞ ∫ − ∞
(二)单边拉氏变换的收敛域 欲Fs)存在，则必须满足条件： 收敛轴 收敛域 o=Re(s) limf(t)er=0解得： 0>00 f->co 结论：单边拉氏变换的收敛域： 0>60° 米有始有终信号，能量有限信号 整个平面 米等幅振荡信号和增长信号 00= 0 或00=a 以00为界 j@ 装不收敛信号 (0≤t≤o) 除非 (0≤t≤T)
(二) 单边拉氏变换的收敛域 欲F(s)存在，则必须满足条件： lim ( ) = 0 − →∞ t t f t e σ 解得： σ > σ 0 0 jω σ0 收 敛 轴 收 敛 域 σ=Re(s) 结论：单边拉氏变换的收敛域: σ >σ0 。 σ 整个平面 jω = a σ 0 σ 以 为界 0 jω σ , (0 ) 2 2 e te ≤ t ≤ ∞ t t (0 ≤ t ≤ T) 不收敛信号 除非 有始有终信号，能量有限信号 σ 0 = 0 或 σ 0 = a 等幅振荡信号和增长信号
例.求下列信号拉氏变换的收敛域 (1)δ'(t)(2)tu(t) (3)I"e-u(t)(4)sin@otu(t) 解：(1)lim6'()e-t三0，o>-∞.o0=-0 收敛域为整个s平面(-∞，+∞) (2) lim te=0,o>0,..=0 收敛域为(0，+∞) t→00 (3) :limt"e-lRc(a)+o]'=0,∀[Re(a)+σ]>0，∴.oo=-Re(a） t→00 收敛域为(-Re(a),+∞) (4) 欲limsinc,teot=0→Vo>0.' 收敛域为(0，+∞) t>0∞ 实际工程中的信号，只要σ足够大，Fs)一定存在。所以， 收敛域问题一般不讨论，除非题中特别要求去讨论
(1) δ ′(t) (2) tu(t) (3) t e u(t) n −at (4)sin ( ) 0 ω t u t 解: ′ ≡ ∀ > −∞ ∴ = −∞ − → ∞ 0 lim δ ( )e 0, σ σ σ t t Q t 收敛域为整个s平面(-∞,+∞) lim e 0, 0, 0 = ∀ > ∴ 0 = − →∞ σ σ σ t t Q t lim e 0, [Re( ) ] 0, Re( ) 0 [ Re( ) ] t a a n a t t = ∀ + > ∴ = − − + →∞ σ σ σ Q 例．求下列信号拉氏变换的收敛域 (1) (2) 收敛域为(0,+∞) (3) 收敛域为(-Re(a),+∞) limsin e 0 0. 0 = ⇒ ∀ > − →∞ σ σ t t 欲 ω t 收敛域为(0,+∞) (4) 实际工程中的信号，只要 σ足够大，F(s)一定存在。所以, 收敛域问题一般不讨论，除非题中特别要求去讨论
(三)常见信号的拉氏变换 1、冲激信号 6(t)←>1 L[8(]=8(t)e-"dt 8(tdt =1 2、阶跃信号 0分1 Hao-ea- ò1 3、指数函数信号 ea(0← s+a Deau=eedi=edi
[ ( )] ( ) ( ) 1 0 0 = = = ∫ ∫ ∞ ∞ − − − L t t e dt t dt st δ δ δ 1、冲激信号 δ (t) ↔ 1 2、阶跃信号 s u t 1 ( ) ↔ (三) 常见信号的拉氏变换 s s e L u t e dt st st 1 [ ( )] 0 0 = − = = ∞ − ∞ − ∫ 3、指数函数信号 α α + − ↔ s e u t t 1 ( ) α α α α α α + = + = − = = − + ∞ ∞ − + ∞ − − − − − − ∫ ∫ s e s L e u t e e dt e dt s t t t st s t 1 1 [ ( )] 0 ( ) 0 ( ) 0
4、正幂信号 1为正整数 Lr'"u=”edh=' l n+l 斜坡信号m0)台日 S 5、余弦信号 cos tu(t)←→ 2+0 .2 6、正弦信号 sin @tu(t)←→ 00 +00 一些常用因果信号的L变换见表4-1(P181)
1 0 ! [ ( )] + ∞ − = = ∫ − n n n st s n L t u t t e dt ( ) ! ( ) 1 n为正整数 s n t u t n n ↔ + 4、正幂信号 2 1 ( ) s 斜坡信号 tu t ↔ 5、余弦信号 2 0 2 0 cos ( ) ω ω + ↔ s s tu t 6、正弦信号 2 0 2 0 0 sin ( ) ω ω ω + ↔ s tu t 一些常用因果信号的L变换见表4-1(P181)