高等数学(1)06春期末练习题及参考答案 中央电大赵坚 一、填空题 f)- 1 +V4-x2 1函 In(x+2) 的定义域是 答案：（-2，-1)U(-1,4] x2-2x-3 y= 2.函数 x-3的间断点是 答案：3 3.若函数f(x)在x=0的邻域内有定义，且f(0)=0,f'(0)=1则 m田_ x→0X 答案：1 4.若「fxdr=sm2x+c,则f')= 答案：-4simn2x 5.微分方程y+y=0的通解是 答案：y=Ci cosx+C2sinx 二、单项选择题 1 1.设函 f()=x-x-2的定义域是（)： A.(-0,+∞) B.（-0,-1)U(-1,+o) C.（-0,2)(2,+∞) D.（-0,-1)U(-1,2)U(2,+o) 答案：D 2.当x→0时，下列变量中是无穷小量的是()· 1 sinx A.x B. C.e*-1 D
1 高等数学（1）06 春期末练习题及参考答案 中央电大 赵坚 一、填空题 ⒈函数 2 4 ln( 2) 1 ( ) x x f x + − + = 的定义域是 ． 答案： (−2,−1) (−1,4] ⒉函数 3 2 3 2 − − − = x x x y 的间断点是 ． 答案：3 ⒊若函数 f (x) 在 x = 0 的邻域内有定义，且 f (0) = 0, f (0) = 1, 则 = → x f x x ( ) lim 0 ． 答案：1 ⒋若 f (x)dx = sin 2x + c ，则 f (x) = ． 答案： − 4sin 2x ⒌微分方程 y + y = 0 的通解是 ． 答案： y C cos x C sin x = 1 + 2 二、单项选择题 ⒈设函数 2 1 ( ) 2 − − = x x f x 的定义域是（ ）． A． (−,+) B． (−,−1) (−1,+) C． (−,2) (2,+) D． (−,−1) (−1,2) (2,+) 答案：D ⒉当 x →0 时，下列变量中是无穷小量的是（ ）. A． x 1 B． x sin x C．e −1 x D． 2 x x
答案：C 3.函数y=x2+1在区间(-5,5)内满足（) A.单调下降 B.先单调下降再单调上升 C.先单调上升再单调下降 D.单调上升 答案B: 4若f()在x>0时连续且 1+fd ,则f"()=（). 1 A.x B.x c是oa 。-goa 答案：A 5微分方程y”=e的通解是（) A.y=-e": B.y=e: C.y=e+Cix+C2;D.y=-e*+Cx+C2 答案：D 三、计算题 x2-3x+2 计算极限x+x-6】 答案：5 V1-x-1 lim 2.计算极限0sin2x. -1 答案：4 3.设y=Wr+In cos x,求dy 3 1 dy =(x2-tanx)dx 答案：
2 答案：C ⒊函数 1 2 y = x + 在区间 (−5,5) 内满足（ ） A．单调下降 B．先单调下降再单调上升 C．先单调上升再单调下降 D．单调上升 答案 B： ⒋若 f (x) 在 x 0 时连续且 = + x f t t x f x 1 ( )d 1 ( ) 1 ，则 f (x) = （ ）． A． x 1 B． ( ) 1 f x x C． − x f t t x 1 2 ( )d 1 D． − x f t t x f x x 1 2 ( )d 1 ( ) 1 答案：A ⒌微分方程 x y − = e 的通解是（ ） A. x y − = −e ； B. x y − = e ； C. 1 2 y e C x C x = + + − ； D. 1 2 y e C x C x = − + + − 答案：D 三、计算题 ⒈计算极限 6 3 2 lim 2 2 2 + − − + → x x x x x ． 答案： 5 1 ⒉计算极限 x x x sin 2 1 1 lim 0 − − → ． 答案： 4 1 − ⒊设 y = x x + ln cos x ，求 dy . 答案： y x tan x)dx 2 3 d ( 2 1 = −
4.设函数y=()由方程e”+x之-y2=e确定，求y 2x+exty 答案：ey-2y 5.计算不定积分 1 答案： ()-arctanx+c [xcos dx 6.计算定积分 答案：2π-4 0”2” 7求幂级数 √n 的收敛半径和收敛区间. 答案：收敛半径为2，收敛区间为~)， 月n 8.求幂级数2n+了 的收敛半径. 答案：收敛半径为1。 9.求微分方程dr+(1+x)少=0满足0)=1的特解 y= 答案： V1-x2 y+卫=x2+1 10.求微分方程x 的通解. xx C y= 答案： 42x 11.求微分方程y-2少-3y=3x+1的通解。 1 答案：y=Cex+C,ex-r 3 12.求微分方程y”+3y'+2y=3snx的特解
3 ⒋设函数 y = y(x) 由方程 e e 2 2 + − = + x y x y 确定，求 y . 答案： e y x e x y x y 2 2 − + + + ⒌计算不定积分 x x x d 1 1 2 + − 答案： ln(1+ x ) − arctan x + c 2 1 2 ⒍计算定积分 x x x d 2 cos 0 答案： 2− 4 ⒎求幂级数 n n n n x n = − 1 ( 1) 2 的收敛半径和收敛区间. 答案：收敛半径为 2 1 ，收敛区间为 ) 2 1 , 2 1 (− 8．求幂级数 n n x n n =1 2 +1 的收敛半径. 答案：收敛半径为 1。 9．求微分方程 d (1 )d 0 2 xy x + + x y = 满足 y(0) = 1 的特解. 答案： 2 1 1 x y − = 10．求微分方程 1 2 + = x + x y y 的通解． 答案： x x x y C 4 2 3 = + + 11．求微分方程 y − 2y − 3y = 3x +1 的通解. 答案： x x y C C − = e + e2 3 1 3 1 − x + 12．求微分方程 y + 3y + 2y = 3sin x 的特解
3 y*= sinx- 9 COSx 答案： 10 10 四、应用题 1.欲用围墙围成面积为216平方米的一城矩形的土地，并在正中用一堵墙将其隔成两 块，问这块土地的长和宽选取多大尺寸，才能使所用建筑材料最省？ 答案：当土地一边长为12，另一边长为18时，所用材料最省 2.欲做一个底为正方形，容积为108立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？ 108 h= =3 答案：当x=6, 62 用料最省 3.求曲线y=x上的点，使其到点A(3,0)的距离最短。 5V10 野条，的分之之和-0的限跑 五、证明题 1.设∫"(x)在[a,上连续，证明： ∫。f"(x)dk=[bf'b)-fb-a'(a)-fa 提示：利用分部积分公式。 2.证明不等式si血x-snsx-月 提示：利用中值定理。 4
4 答案： y x cos x 10 9 sin 10 3 = − 四、应用题 1．欲用围墙围成面积为 216 平方米的一城矩形的土地，并在正中用一堵墙将其隔成两 块，问这块土地的长和宽选取多大尺寸，才能使所用建筑材料最省？ 答案：当土地一边长为 12 ，另一边长为 18 时，所用材料最省. 2．欲做一个底为正方形，容积为 108 立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？ 答案：当 x = 6， 3 6 108 2 h = = 用料最省. 3．求曲线 y x 2 = 上的点，使其到点 A(3, 0) 的距离最短。 答案：曲线 y x 2 = 上的点 ) 2 10 , 2 5 ( 和点 ) 2 10 , 2 5 ( − 到点 A(3, 0) 的距离最短。 五、证明题 1．设 f (x) 在 [a,b] 上连续，证明： xf (x)dx [bf (b) f (b)] [af (a) f (a)] b a = − − − 提示：利用分部积分公式。 2．证明不等式 sin x −sin y x − y 提示：利用中值定理