数学分析专题研究(09春)慎教试题 中央电大教育学院赵坚 一、单项选择题（每小愿4分，共20分） 1.A,:C是三个集合，EBUC,则有()成立。 A若xEA,则xEB R若xEA,则xEC C.若x∈A,则xGB∩CD若xEBUC,则xEA 2.段f八x)=-x2+2x-1则f:R+R是() A.双射B。既非单射也非端射 C,单射而非端射D.满射而非单射 3。下列数集(》不是可列集。 A自然数集B。整数集C.有理数集D.实数集 4.已知函数y=f(x)在(0，)内可导，且f气x)在(0，)内连续，则f（x)在(0，)内(). A。连块B.间断C,有界D.无界 5.有界同凸集S上的下凸函数f(x)的最大植必在S的()达到， A.内部B.外部C.边界SD.可能是内部也可能在边界S 二、填空题（每小题4分。共20分） 1.已知A=a,b1,B={c,d,则B×A= 2.设R为X中的关系，若R是反身的、对称的、传递的，则除关系R是 3.若集合A能与其任意真子集A之间建立一个双射，则集合A是 4.e“m i.设j=2-产r,则国= 台n 三，计算题（每小题15分，共30分） 1.已知函数f(x)满足f(x+)=x-4x+3,求x) 2.求函数f(x)■x+二的极值 四、证明愿（每小题15分，共30分）
1 数学分析专题研究（09 春）模拟试题 中央电大教育学院 赵坚 一、单项选择题（每小题 4 分，共 20 分） 1．A，B，C 是三个集合， A BC ，则有（ ）成立。 A. 若 x A ，则 xB B. 若 x A ，则 xC C. 若 x A ，则 x B C D. 若 xB C ，则 xA 2． 设 ( ) 2 1 2 f x = −x + x − 则 f : R → R 是（ ） A. 双射 B. 既非单射也非满射 C.单射而非满射 D. 满射而非单射 3．下列数集（ ）不是可列集. A．自然数集 B．整数集 C．有理数集 D．实数集 4．已知函数 y = f (x) 在 (0,1) 内可导，且 f (x) 在 (0,1) 内连续，则 f (x) 在 (0,1) 内（ ）. A．连续 B．间断 C．有界 D．无界 5．有界闭凸集 S 上的下凸函数 f (x) 的最大值必在 S 的（ ）达到. A．内部 B．外部 C．边界 S D．可能是内部也可能在边界 S 二、填空题（每小题 4 分，共 20 分） 1．已知 A = {a,b},B = {c,d} ，则 B A = ________________ . 2．设 R 为 X 中的关系，若 R 是反身的、对称的、传递的，则称关系 R 是 . 3．若集合 A 能与其任意真子集 A1 之间建立一个双射，则集合 A 是 . 4． = ix e . 5．设 n n n x n f x = − − = 1 1 ( 1) ( ) ，则 f (x) = ln(_____) . 三、计算题（每小题 15 分，共 30 分） 1．已知函数 f (x) 满足 ( 1) 4 3 2 f x + = x − x + ，求 f (x) . 2．求函数 x f x x 1 ( ) = + 的极值. 四、证明题（每小题 15 分，共 30 分）
1.设y=f(x)是从0,1川到[0，]的连线函数，则存在点x。∈0，，使f(x,)=,其中H 是一个非零白然数 2.设A,B,C为三角形的三个内角，求证 sin 4.sin B.sin C1
2 1．设 y = f (x) 是从 [0,1] 到 [0,1] 的连续函数，则存在点 [0,1] x0 ，使 n f x x 0 0 ( ) = ，其中 n 是一个非零自然数. 2．设 A, B,C 为三角形的三个内角，求证 8 1 2 sin 2 sin 2 sin A B C
数学分析专题研究(0的春)机扳试思及参考答案 一、单项选择思 1.4&C是三个集合，EBUC,则有()成立， A.若xEA,则x∈B R若xEA,则x∈C C,若x∈A,则x∈B∩CD若eBUC,则xEA 答案：D 2.设fx)=-x2+2x-1则f:R→R是( 人.双射既非单射也非满射 C.单射而非满射 血.满射而非单射 答案：B 3。下列数集(》不是可列集。 A。白然数集B。整数集C。有理数集D,实数集 答案！D 4.已知函数y=f(x)在(0,1)内可导，且(x)在(0，)内连续，则f(x)在(0，)内(). A.连线B.间断C,有界D.无界 答案：A 5.有界闭凸集S上的下凸函数f(x)的最大植必在S的()达到 A,内部B.外部C,边界SD,可能是内部也可能在边界S 答案：C 二，填空题 1.已知A=a,bM,B={c,d,则B×A= 答案，{《c,a.(c.b.(d,a.(d,b} 2。设R为X中的关系，若R是反身的、对称的、传递的，则称关系R是 答案！等价关系 3.若集合A能与其任意真子集A之间建立一个双射，则集合A是 答案：无限集
3 数学分析专题研究（09 春）模拟试题及参考答案 一、单项选择题 1．A，B，C 是三个集合， A BC ，则有（ ）成立。 A. 若 x A ，则 xB B. 若 x A ，则 xC C. 若 x A ，则 x B C D. 若 xB C ，则 xA 答案：D 2． 设 ( ) 2 1 2 f x = −x + x − 则 f : R → R 是（ ） A. 双射 B. 既非单射也非满射 C.单射而非满射 D. 满射而非单射 答案：B 3．下列数集（ ）不是可列集. A．自然数集 B．整数集 C．有理数集 D．实数集 答案：D 4．已知函数 y = f (x) 在 (0,1) 内可导，且 f (x) 在 (0,1) 内连续，则 f (x) 在 (0,1) 内（ ）. A．连续 B．间断 C．有界 D．无界 答案：A 5．有界闭凸集 S 上的下凸函数 f (x) 的最大值必在 S 的（ ）达到. A．内部 B．外部 C．边界 S D．可能是内部也可能在边界 S 答案：C 二、填空题 1．已知 A = {a,b},B = {c,d} ，则 B A = ________________ . 答案： {(c,a),(c,b),(d,a),(d,b)} 2．设 R 为 X 中的关系，若 R 是反身的、对称的、传递的，则称关系 R 是 . 答案：等价关系 3．若集合 A 能与其任意真子集 A1 之间建立一个双射，则集合 A 是 . 答案：无限集
4.e" 答案：005x+isnx 设2，，则倒=」习 答案：1+x 三、计算恩 1.已知函数f(x)满足fx+1)=x2-4x+3,求x)- 解：f八x+1)=x2-4x+3 =(x+1)2-6风x+1)+8 故f(x)=x2-6x+8 2.求像数（x)=x+-的极值 ◆1草-0 解得x=士山 )=2·二，f0=2>0.故x=1是极小值点，0=2是樱小值： 了(-)=-20且f)0,0)=f0)-1<0 由连续函数的介值定理知，至少有一点x。∈(0,1)，使风x)=0,即f(x)■x
4 4． = ix e . 答案： cos x +isin x 5．设 n n n x n f x = − − = 1 1 ( 1) ( ) ，则 f (x) = ln(_____) . 答案： 1+ x 三、计算题 1．已知函数 f (x) 满足 ( 1) 4 3 2 f x + = x − x + ，求 f (x) . 解： ( 1) 4 3 2 f x + = x − x + ( 1) 6( 1) 8 2 = x + − x + + 故 ( ) 6 8 2 f x = x − x + 2．求函数 x f x x 1 ( ) = + 的极值. 解 令 0 1 ( ) 1 2 = − = x f x 解得 x = 1 3 1 ( ) 2 x f x = ， f (1) = 2 0, 故 x = 1 是极 小值 点， f (1) = 2 是极 小值 ； f (−1) = −2 0, 故 x = −1 是极大值点， f (−1) = −2 是极大值。 四、证明题 1．设 y = f (x) 是从 [0,1] 到 [0,1] 的连续函数，则存在点 [0,1] x0 ，使 n f x x 0 0 ( ) = ，其中 n 是一个非零自然数. 证明：若 f (0) = 0 或 f (1) = 1 ，则 0 x 可取为 0 或 1. 否则有 f (0) 0 且 f (1) 1, 设 n (x) = f (x) − x ， (x) 是 [0,1] 上 的 连 续函 数， 且 (0) = f (0) 0，(1) = f (1) −1 0 由连续函数的介值定理知，至少有一点 (0,1) x0 ，使 (x0 ) = 0 ，即 n f x x 0 0 （ ) =
2.设AB,C为三角形的三个内角。求证 4s知5，nC6。 sn? 证明己知mx在(0，)内是上凸函数。故有 m+m2+ms国*是+月 B ,1A.1B.1C 2 -sm24+B+C)-2 A.B 因此2m2sm,≤纳+演+n月s= 3 2 2 2
5 2．设 A, B,C 为三角形的三个内角，求证 8 1 2 sin 2 sin 2 sin A B C . 证明 已知 sin x 在 ) 2 (0, 内是上凸函数，故有 ] 3 2 1 3 2 1 3 2 1 ] sin[ 2 sin 2 sin 2 [sin 3 1 A B C A B C + + + + 2 1 ( ) 6 1 = sin A + B + C = 因此 8 1 ) 2 1 )} ( 2 sin 2 sin 2 (sin 3 1 { 2 sin 2 sin 2 sin 3 3 + + = A B C A B C
数学分析专题研究试题（的春棋报试愿）参考答案 一，单项选释盟（每小思4分，共20分） 1.D:2.B3D4.A:5.C 二、填空题（每小题4分，共20分） 1.{(c,a(c,b(d,a,(d,b)月2.等价关系：3.无限集：4.cosx+1snx: 5.1+x 三，计算题（每小题15分，共30分） 1.解f(x+1)=x2-4x+3 =(x+1)2-6风x+1)+8 故f(x)=x2-6x+8 15分 2解◆)-l-克0 解得x=士】 8分 了)=2·子了0=2>0截x=1是极小值点，f0=2是极小值：2 分 了“(-1)=-20且f)c1.设网x)=f(x)-x”,例x)是0,1】上的莲续函数，且 0)=f0)>0,0=f0-1<0 10分 由连续函数的介值定理知，至少有一点无后(0，)，使x)=0,即∫(x。)=x后15分 2.证明已知s如x在0，)内是上凸函数，故有 2 =sn2(M+B+C)=2 10分 6 6
6 数学分析专题研究试题（09 春模拟试题）参考答案 一、单项选择题（每小题 4 分，共 20 分） 1．D；2.B；3.D；4.A；5. C 二、填空题（每小题 4 分，共 20 分） 1．{(c,a),(c,b),(d,a),(d,b)} 2.等价关系；3.无限集；4. cos x +isin x ； 5. 1+ x . 三、计算题（每小题 15 分，共 30 分） 1．解 ( 1) 4 3 2 f x + = x − x + ( 1) 6( 1) 8 2 = x + − x + + 故 ( ) 6 8 2 f x = x − x + 15 分 2．解 令 0 1 ( ) 1 2 = − = x f x 解得 x = 1 8 分 3 1 ( ) 2 x f x = ， f (1) = 2 0, 故 x = 1 是极小值点， f (1) = 2 是极小值 ； 12 分 f (−1) = −2 0, 故 x = −1 是极大值点， f (−1) = −2 是极大值。 15 分 四、证明题（每小题 15 分，共 30 分） 1.证明：若 f (0) = 0 或 f (1) = 1 ，则 0 x 可取为 0 或 1. 否则有 f (0) 0 且 f (1) 1, 设 n (x) = f (x) − x ， (x) 是 [0,1] 上 的 连 续函 数， 且 (0) = f (0) 0，(1) = f (1) −1 0 10 分 由连续函数的介值定理知，至少有一点 (0,1) x0 ，使 (x0 ) = 0，即 n f x x 0 0 （ ) = 15 分 2．证明 已知 sin x 在 ) 2 (0, 内是上凸函数，故有 ] 3 2 1 3 2 1 3 2 1 ] sin[ 2 sin 2 sin 2 [sin 3 1 A B C A B C + + + + 2 1 ( ) 6 1 = sin A + B + C = 10 分
mO's- 2 15分
7 因此 8 1 ) 2 1 )} ( 2 sin 2 sin 2 (sin 3 1 { 2 sin 2 sin 2 sin 3 3 + + = A B C A B C 15 分