高等代数专思研究试题棋教试题(06春) 圈炜 一、单项选择愿（每小愿3分，本思共15分） 1.如果函数)满足条件：对任意后与，有 f八g+9)2gf八x)+4f(馬) 其中0，则称『(x)是上凸函数 )4204220 )4420且4+4■1 ⊙)920420且4~4=1)9≠04*0且4+4=1 2下列环中是丰交换环的为0 因》整数环Z)剩余类环巧 (C)n阶方阵环)高断整数环Z[i]-(abia,b为整数) 3剩余类环名的一个真零因子是0， 3()7(C5)2 4一刷扑克牌有红桃、黑桃、方片和梅花各13张，共5配张.从中任取一紧，则不同取 法有0种 A》52(B4C)13(D)4 5将r个不可区分的小球投入”个盒子，每一个盒子的容量不超过一个球（应，若计 算有多少种不同投球方式，应该用0， )允许重复组合数公式细)不重复组合数公式 C)允许盈复排列量公式D)不重复排列数公式 二、填空愿（每小是3分，本思共15分） 6设4，，“，，是正实数，可构造两组正实数列 和.用树西不等式.证明(a+%,++a,+++225。 .11 aa as 7.若（品品1，那么(4种0一 &在有无穷多个元素的域上，设多项式八功=品+风-+和（功=A+- ++,从代数学的观点。如果 ,则称八=
高等代数专题研究试题模拟试题(05 春) 瞿炜 一、单项选择题(每小题 3 分，本题共 15 分) 1.如果函数 f(x)满足条件：对任意 x1 与 x2，有 ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 1 1 2 2 f q x + q x q f x + q f x 其中()，则称 f(x)是上凸函数． (A) q1 0,q2 0 (B) q1 q2 0 且 q1 + q2 =1 (C) 0, 0, q1 q2 且 q1 q2 =1 (D) q1 0,q2 0 且 q1 + q2 =1 2.下列环中是非交换环的为() (A)整数环 Z(B)剩余类环 Z5 (C)n 阶方阵环(D)高斯整数环 Z[i]={a+bia,b 为整数} 3.剩余类环 Z8 的一个真零因子是()． (A) 3 (B) 7 (C) 5 (D) 2 4.一副扑克牌有红桃、黑桃、方片和梅花各 13 张，共 52 张．从中任取一张，则不同取 法有()种． (A)52(B)4(C)134 (D)413 5.将 r 个不可区分的小球投入 n 个盒子，每一个盒子的容量不超过一个球(nr)，若计 算有多少种不同投球方式，应该用()． (A)允许重复组合数公式(B)不重复组合数公式 (C)允许重复排列数公式(D)不重复排列数公式 二、填空题(每小题 3 分，本题共 15 分) 6.设 a1,a2,…,a5 是正实数，可构造两组正实数列 和．用柯西不等式，证明 ) 25 1 ... 1 1 ( ... )( 1 2 5 1 + 2 + + 5 + + + a a a a a a ． 7.若(a,b)~1，那么(a,a+b)~ ． 8.在有无穷多个元素的域上，设多项式 f(x)=anx n +an－1x n－1 +…+a0 和 g(x)=bnx n +bn－1x n－ 1 +…+b0，从代数学的观点，如果 ，则称 f(x)=g(x)．
身，：是有理数域上的却越元，是因为x不是 多项式的根 1a计算G+C0。 所 三、简述愿（每小愿5分，共10分） 11.试列出三种证明不等式常川的方法， 12,找出整数环2中的可道元素，并说明为什么是可逆元素， 四、计算题（每小题10，本题共0分） 13.设集合小②，a,{,,求P) 14设。只名为丰负实数，且满足 +2+526 求工男z的极大值. 1求0=x--2x+2的重因式， 2 16,试求多项式++++)“展开合并同类项后的项数以及x:x的系数。 五、证明题（每小题10分，本题共20分】 7,设R是实数集，R°是正实数集。任给R的元素黑令陕射 o(d=名x 证明c是R'到R的双射. 18证明恒等式kC-nC
9. 是有理数域上的超越元，是因为不是 多项式的根． 10.计算 3 101 97 100 98 100 ( ) P C + C ＝ ． 三、简述题(每小题 5 分，共 10 分) 11.试列出三种证明不等式常用的方法． 12.找出整数环 Z 中的可逆元素，并说明为什么是可逆元素． 四、计算题(每小题 10，本题共 40 分) 13.设集合 A={，a，{a},b}，求 P(A)． 14.设 x，y，z 为非负实数，且满足 x+2y+5z=6 求 f(x,y,z)=xyz 的极大值． 15.求 f(x)= 2 3 2 2 3 1 2 x − x − x + 的重因式． 16.试求多项式(x1+x2+x3+x4+x5) 10 展开合并同类项后的项数以及 2 5 4 2 3 3 1 x x x x 的系数． 五、证明题(每小题 10 分，本题共 20 分) 17.设 R 是实数集， + R 是正实数集，任给 + R 的元素 x,令映射 (x)＝ lg x 证明是 + R 到 R 的双射． 18.证明恒等式 1 1 − = − k n k kCn nC ．
高等代数专题研究模拟试题(5春) 参考答案 一、单项遗择题（每小题3分，本想共15分） 1.B.2.C.3.D.4A.6B. 二、填空题（每小题3分，本题共15分） ·店古店1 86(0,1,2,励.9.任何有理系数.10. 6 三、简述愿（每小题5分，共10分） 11,列出三种或三种以上的方法。可得满分5分， 参考方法列举： (I》欲证D品可证一0： ②当M,0时，武证仑R可证>1： B 3》欲证D品可证DGOA 4)武证D品可将一B化为(4一动： 等 12。在整数环Z中，只有1和一1是可逆元素.1是恒等元.因为1和一1都不是零元， 但（一》×（一1）1,1×1一1，根据可逆的定义如道，它们是可逆元素.(5分) 四、计算愿（每小题10，本题共40分） 13,由琴集合的定义， A)-@.@,{a,1,(.2分) {@,,@,{d】,{@,4,{a{d{a,ld,M6分) {②，品{al,(⊙.出，4，@{h..{a{al, (9分) ②，品，，】 (10分) 14.利用均值不等式 r2+5232y-5至=3/10 (3分) rs区+2y+5y6 4 =。9分) 27×1027×105
高等代数专题研究模拟试题（05 春） 参考答案 一、单项选择题(每小题 3 分，本题共 15 分) 1.B．2.C．3.D．4.A．5.B． 二、填空题(每小题 3 分，本题共 15 分) 6. 1 2 5 a , a ,..., a ， 1 2 5 1 ,..., 1 , 1 a a a ．7.1． 8.ak=bk(k=0,1,2,…,n)．9. 任何有理系数．10. 6 1 ． 三、简述题(每小题 5 分，共 10 分) 11.列出三种或三种以上的方法，可得满分 5 分． 参考方法列举： (1)欲证 A>B，可证 A－B>0； (2)当 A>0,B>0 时，欲证 A>B，可证 1 B A ； (3)欲证 A>B，可证 A>C,C>B； (4)欲证 A>B，可将 A－B 化为(A－B) 2； 等． 12. 在整数环 Z 中，只有 1 和－1 是可逆元素．1 是恒等元．因为 1 和－1 都不是零元， 但(－1)×(－1)=1，1×1＝1，根据可逆的定义知道，它们是可逆元素．(5 分) 四、计算题(每小题 10，本题共 40 分) 13. 由幂集合的定义， P(A)={,{},{a},{{a}},{b},(2 分) {,a},{,{a}},{,b},{a,{a}},{a,b},{{a},b}(6 分) {,a,{a}},{,a,b},{,{a},b},{a,{a},b} (9 分) {,a,{a},b}} (10 分) 14.利用均值不等式 x+2y+5z 3 3 3 3 x 2y 5z = 3 10 xyz (3 分) 5 4 27 10 6 27 10 ( 2 5 ) 3 3 = = + + x y z xyz (9 分)
当r2-52时，得r2.1,名时，z的极大值是专00分) 15.具要求出风与产()的公因式即可.(1分) f(x)=3x2-x-2 3国-3r--6+号u-白2x-0m 9 面(x)=3x2-x-2=(3x+2(x-0,有 (八，P()(-1)8分》 所以一1是（动的二重因式.(10分》 16、所求项数为C4=C贴=14×13x12x山=10015分别 4,x的系数为10=1260010分别 3]402 四、证明愿（每小愿10分，本愿共20分） 17.由对数函数的定文城和函数值，知c(=名x是R到R的映射.2分) (1》任给R的两个元素，且法无：由对数函数的严格单调性，有 属)=皂馬g馬=馬) 这表明a(d一gx是单射.(6分) 2任给R的元素片，则存在x=10属于R”,则有 a(d)-bx=lg10=y 这表明G(d一名x是满射，(9分) 总之，c是R*到R的双射.(10分) 18 = .(4分) Kn- k·n(n- -(k-1(n-1-(k-1 (7分) 依-(-)-传-mC.0分别 (n-11
当 x=2y=5z 时，得 x=2,y=1,z= 5 2 时，xyz 的极大值是 5 4 ．(10 分) 15. 只要求出 f(x)与 f(x)的公因式即可．(1 分) ( ) 3 2 2 f x = x − x − ( 1) 6 25 ) 6 1 ( )( 2 9 6 2 3 3 ( ) 3 3 2 f x = x − x − x + = f x x − − x − (4 分) 而 ( ) 3 2 (3 2)( 1) 2 f x = x − x − = x + x − ，有 (f(x),f(x))~(x－1)(8 分) 所以 x－1 是 f(x)的二重因式．(10 分) 16. 所求项数为 1001 4! 4 14 13 12 11 14 10 10 5 1 = C + − = C = (5 分) 2 5 4 2 3 3 1 x x x x 的系数为 12600 3!1!4!0!2! 10! = (10 分) 四、证明题(每小题 10 分，本题共 20 分) 17. 由对数函数的定义域和函数值，知(x)＝lg x 是 + R 到 R 的映射．(2 分) (1)任给 + R 的两个元素 x1,x2 且 x1x2，由对数函数的严格单调性，有 ( ) lg lg ( ) 1 1 2 2 x = x x = x 这表明(x)＝ lg x 是单射．(6 分) (2)任给 R 的元素 y，则存在 y x =10 属于 + R ，则有 (x)= x y y lg = lg10 = 这表明(x)＝ lg x 是满射．(9 分) 总之，是 + R 到 R 的双射．(10 分) 18. !( )! ! k n k k n kCk n − = (4 分) ＝ ( 1)!( 1 ( 1))! ( 1)! − − − − − k k n k k n n (7 分) ＝ 1 1 ( 1)!(( 1) ( 1))! ( 1)! − = − − − − − − k nCn k n k n n ．(10 分)