数学分析专题研究试题们教棋报试愿 中央电大教育学院赵坚 一、单项选择题（每小愿4分，共20分） La-变-ra产.则=（) A.sinx B.cosx C.Inx D.e' 2.f:X+Y,AcX,则A(）f-U八A0小 A=B,≠C.CDs 3.f:X→y,ABeX,则fAn)()f(AnfB) hs&cC.≠D.= 4.A=a,b,c:R={(a,b.(a,c(6,c月，则关系R是(). A.对称的R反身的C传递的A.等价关系 5设f是集合A上的运算，a,b,ceA,若fU(a,b),c)=f八a,fb,c),则称f满 足(). 人交换律R站合律C分配律D消去律 二、填空题（每小题4分，共20分） 1,设FCA×B,一·有惟一的bEB,使(a,b》∈F,则称F是从A到B的 陕射 2,设X,了为集合，如果，则称X与Y等势 a,函数f(x)在点a连续当且仅当对于任意的c>0,一有八(x)-f八a<8, 4.设函数y=f(x)在(a,b)上有定义，若存在函数F(x),使得 ,则称 F(x)是函数八x)的一个单函数. 5,设函数(x)的定义城D是关于原点对称的实数集，若 ,则移 f(x)是D上的偶两数， 三、计算题（每小思15分，共30分）
1 数学分析专题研究试题 07 秋模拟试题 中央电大教育学院 赵坚 一、单项选择题（每小题 4 分，共 20 分） 1． = − − − = − 1 1 2 1 (2 1)! 1 ( ) ( 1) n n n x n f x ，则 f (x) = （ ） A. sin x B. cos x C. ln x D. x e 2． f : X →Y ，A X ，则 A （ ） ( ( )) 1 f f A − . A. = B. C. D. 3． f : X →Y ， A,B X ，则 f (A B) （ ） f (A) f (B) . A. B. C. D. = 4． A ={a,b,c}， R = {(a,b),(a, c),(b, c)} ，则关系 R 是（ ）. A. 对称的 B. 反身的 C. 传递的 D. 等价关系 5. 设 f 是集合 A 上的运算, a,b,c A ，若 f (f (a,b),c)= f (a, f (b,c)) ，则称 f 满 足（ ）. A. 交换律 B. 结合律 C. 分配律 D. 消去律 二、填空题（每小题 4 分，共 20 分） 1．设 F A B ， ，有惟一的 bB ，使（ a,b ） F ，则称 F 是从 A 到 B 的 映射. 2．设 X ，Y 为集合，如果 ，则称 X 与 Y 等势. 3．函数 f (x) 在点 a 连续当且仅当对于任意的 0 ， 有 f (x) − f (a) . 4．设函数 y = f (x) 在（ a,b ）上有定义，若存在函数 F(x) ，使得 ，则称 F(x) 是函数 f (x) 的一个原函数. 5．设函数 f (x) 的定义域 D 是关于原点对称的实数集，若 ，则称 f (x) 是 D 上的偶函数. 三、计算题（每小题 15 分，共 30 分）
月-l2.,求ima。 2.求jmx+cos小sn xcosadx. 四、证列题（每小题15分，共30分） 1,△4仪C是一任意给定的三角形，求匠 2 2 2.A=[0,1],(A)CA,且f(x)在A上连续，则对于任意的自然数n,存在气eA 使f(x)=无
2 1．设 n n a → lim 存在，且 a1 =1， + = + n n n a a a 2 2 1 1 ， n =1,2, , 求 n n a → lim . 2．求 sin x cos xsin x cos xdx 2 0 + . 四、证明题（每小题 15 分，共 30 分） 1． ABC 是一任意给定的三角形，求证 2 sin 2 sin 2 sin A B C + + ≤ 2 3 2． A = [0，1]，f (A) A ，且 f (x) 在 A 上连续，则对于任意的自然数 n ，存在 x0 A 使 n f x x 0 0 ( ) =
数学分析专题研究试题07秋模拟试题参考答案 一、单项选择思（每小题4分。共20分） 1.A,2C3B4.C5.B 二、填空题（每小题4分，共20分） 1.aEA2存在F:X→Y是双射，3.38>0，当|x-ak8时， 4F'气x)=fx)5xeD,有fx)=f(-x) 三，计算题（每小题15分，共30分） L.解：设m0。=a,则 故有 2a3=a2+2 a=t√2 注意到a。>0,故a=5 2.解：∫nx+cos小xcosxdr snxcos.xdx+cosn f京an'm-foom刘 r作w =-o小-0-=月 四、证明题（每小题15分，共30分）
3 数学分析专题研究试题 07 秋模拟试题参考答案 一、单项选择题（每小题 4 分，共 20 分） 1. A, 2. C 3. B 4. C 5. B 二、填空题（每小题 4 分，共 20 分） 1. a A 2. 存在 F : X →Y 是双射， 3. 0 ，当 | x − a | 时， 4. F(x) = f (x) 5. xD ，有 f (x) = f (−x) ， 三、计算题（每小题 15 分，共 30 分） 1．解：设 an a n = → lim ，则 = + → + → n n n n n a a a 2 2 1 lim 1 lim = + → → n n n n a a lim 2 lim 2 1 故有 = + a a a 2 2 1 2 2 2 2 a = a + a = 2 注意到 an 0 ，故 a = 2 2．解： sin x cos xsin x cos xdx 2 0 + = + 2 0 2 0 2 2 sin x cos xdx cos xsin xdx = − 2 0 2 0 2 2 sin xd(sin x) cos xd(cos x) = 2 0 2 3 0 3 cos 3 1 sin 3 1 x − x = 3 2 [0 1] 3 1 [1 0] 3 1 − − − = 四、证明题（每小题 15 分，共 30 分）
1,正明：因为sx是(0，T》上的上凸函数。故对于任意的x·x·玉∈(0，)： 色·42·a3e(0,).a+a+a=1,有 么，snx+a2s3+a,sm3≤sa,,+a+ax3 对F省的AM,名学与受名-号么=么=-月 有 2 6 B 2 “222 2.证明： 若f0)=0或f)=1,则证毕 故投f0)>0,且f(1)0 由莲续函数的介值定理，存在气使例x。)=0,即 无"=f)
4 1．证明： 因为 sin x 是（0， ）上的上凸函数，故对于任意的 1 x ， 2 x ， (0, ) x3 ， 1，2， (0,1) 3 ，1 + 2 +3 =1 ，有 1 1 2 2 3 3 sin x + sin x + sin x ≤ ( ) 1 1 2 2 3 3 sin x + x + x 对于给定的 ABC ，令 2 1 A x = ， 2 2 B x = ， 2 3 C x = ， 3 1 1 = 2 = 3 = 有 + + 2 sin 2 sin 2 sin 3 1 A B C ≤ 6 sin A+ B +C 2 1 6 = sin = 故 2 sin 2 sin 2 sin A B C + + ≤ 2 3 2．证明： 若 f (0) = 0 或 f (1) =1 ，则证毕 故设 f (0) 0 ，且 f (1) 1. 令 (x) x f (x) n = − 则 (x) 是[0，1]上的连续函数，且 (0) = 0 − f (0) 0 ，(1) =1− f (1) 0 由连续函数的介值定理，存在 0 x 使 (x0 ) = 0 ，即 ( ) 0 0 x f x n =