数学分析专愿研究05秋模拟试题 中央电大教育学院赵坚 一，填空题（每小题3分，共18分） 1,设F为集合r到集合Y的关系， 则称F是陕射 2,设A,&C是三个非空集合，称 是一个从AXB到C中的运算， 3.设(A<)是一半序集，aeA. 则称a为A的极大元 4,设有区间，并有开区同集合￡ 则移开区间集S冠盖了区间 5,若复数x,是某个整系数多项式 px=ax”+a-x-+…+ax+风 (a。*0) 的根，则称x,是 6设函数f(x)定义在开区间(a,b)内，对于x,:∈(a,b),ae(0,1),有 f(c红，+(1-a)2)s国x)+(1-a)f(x:),则称f八x)是(a,b)内的函数. 二、单项选释题（每小题3分，共18分） 1.集合X={abcd则 A aEX B.acx C.lalex 2.设f:X→Y,ACX,则A( ）ffA) A C B与 C.= D.≠ 3,设R是X中的关系，若R=R，则称R为( 人反身的， R对称的 C.反对称的 D.传遥的 4.已知f（x)在开区间(a,b)内违续，则f(x)在(a,b)内( A有界 B保号 C.有最大值 D.任意一点都连线 5,己知f八(x)是定义在A上的周期函数，。则f(x)() A.在A上至少有一个连线点。R.在A上连续 C有最小正周拥 D,有无穷多个周期
1 数学分析专题研究 05 秋模拟试题 中央电大教育学院 赵坚 一、填空题（每小题 3 分，共 18 分） 1. 设 F 为集合 X 到集合 Y 的关系， ，则称 F 是映射. 2. 设 A，B，C 是三个非空集合，称 是一个从 A×B 到 C 中的运算. 3. 设 (A, ) 是一半序集， a A.. ，则称 a 为 A 的极大元. 4. 设有区间 I，并有开区间集合 S. ，则称开区间集 S 覆盖了区间 I. 5. 若复数 0 x 是某个整系数多项式 ( ) ( 0) 1 0 1 = + 1 + + + − − n n n n p x an x a x a x a a 的根，则称 0 x 是 . 6. 设函数 f (x) 定义在开区间 (a,b) 内，对于 , ( , ), (0,1) x1 x2 a b ， 有 ( (1 ) ) ( ) (1 ) ( ) 1 2 1 2 f x + − x f x + − f x ，则称 f (x) 是 (a,b) 内的 函数. 二、单项选择题（每小题 3 分，共 18 分） 1. 集合 X = a, b, c, d, 则 A. a X B. a X C. a X D. a X 2. 设 f : X → Y, A X, 则 A（ ） ( ( )). 1 f f A − A. B. C. = D. 3. 设 R 是 X 中的关系，若 −1 R = R ，则称 R 为（ ）. A. 反身的， B. 对称的 C. 反对称的 D. 传递的 4. 已知 f (x) 在开区间 (a, b) 内连续，则 f (x) 在 (a, b) 内（ ） A. 有界 B. 保号 C. 有最大值 D. 任意一点都连续 5. 已知 f (x) 是定义在 A 上的周期函数，则 f (x) （ ） A. 在 A 上至少有一个连续点， B. 在 A 上连续 C. 有最小正周期 D. 有无穷多个周期
6设f(x)是(a,b)内充分光滑的严格下凸函数，则() Af(x)在(ab)内必取到最小值B.f(x)在(a,b)内您取到最大值 C.f(x)在(a,b)内有了(x)20D前三个结论都不对 三.计算题（每小题8分，共32分） ,已知a,=22…2 说明数列{a,}的根限存在且求ma。· a原程号 2.己知f(x)=x-sin x.Inx,求(x). 3求一函数其函数由线过点(0)且该曲线上每点切线的斜率是该点横坐标的4信， 4.求函数y■√1一x2的线上任一点的法线方程 四，证明题（每小题8分，共32分） 1,f:XY,ABcY,证明 (An=-(0∩f-(B) 2,(x)是定复在R上的连线函数，对于任意的x,yeR,有 f(x)-f(y)<2-y 求证.g(x)=（x)一2x是严格单调减少函数. 3,证明，方程x’-2x2+4x+6在(-L)内有且仅有一实根。 4.设4，品C为三角形三内角，证明 2
2 6.设 f (x) 是 (a,b) 内充分光滑的严格下凸函数，则（ ） A. f (x) 在 (a,b) 内必取到最小值 B. f (x) 在 (a,b) 内必取到最大值 C. f (x) 在 (a,b) 内有 f (x) 0 D. 前三个结论都不对 三．计算题（每小题 8 分，共 32 分） 1. 已知 n重根号 an = 2 2 2 说明数列 an 的根限存在且求 n → + lim n a . 2. 已知 f (x) = x sin x ln x ,求 f (x) . 3. 求一函数其函数曲线过点 (0,1) 且该曲线上每点切线的斜率是该点横坐标的 4 倍. 4. 求函数 2 y = 1 − x 的曲线上任一点的法线方程. 四．证明题（每小题 8 分，共 32 分） 1. f : X → Y, A, B Y, 证明 ( ) ( ) ( ). 1 1 1 f A B f A f B − − − = 2. f (x) 是定义在 R 上的连续函数，对于任意的 x, y R, 有 f (x) − f (y) 2 x − y , 求证. g(x) = f (x) − 2x 是严格单调减少函数. 3. 证明，方程 2 4 6 5 2 x − x + x + 在 (−1,1) 内有且仅有一实根. 4. 设 A，B，C 为三角形三内角，证明 2 3 2 sin 2 sin 2 sin + + A B C
数学分析专题研究06教棋报试愿参考答案 一、填空题（每小题3分，共18分） 1.任意的xEX,存在唯一的yeY,使xFy 2.晚射F:A×B+C 3,x后A.口a-(4分)其次a<2,a2=√2a<2,一般地有a,<2.放数列a}有上界因 此ma,存在，设ma。=a. 5分 则a=2a.解得a=0,成a=2. 因a=0<5=4,不符合愿意.故m4,=2, 8分 2.解，(x)=1:sx:hx+xG0sxhx+xsmx·士 sn xhx+xcosxh x+smn x 8分 3.解.设该曲线的函数y=(x),则 f'(x)=4x 3分 由此得 f(x)=2x2+C B分 因曲线过点(0.)由此设C■1即 3
3 数学分析专题研究 05 秋模拟试题参考答案 一、填空题（每小题 3 分，共 18 分） 1.任意的 x X ，存在唯一的 y Y ，使 xFy. 2.映射 F : A B → C. 3.x A, a x 都不成立 4.对于任意的 x I ，都有 S ，使 x 5.代数数 6.下凸 二、1.C， 2. A， 3. B， 4. D， 5. D， 6. C 三、计算 1. 解，由已知条件知 an = 2an −1 2 分 先说明 n a 单调增加，事实上 , 2 1. 1 2 2 3 2 1 1 = = = − − − a a a a a a a a n n n n 故 . an an −1 （4 分）其次 2, 2 2, a1 a2 = a1 一般地有 an 2 .故数列 an 有上界因 此 n→ an lim 存在，设 n→ lim a a. n = 5 分 则 a = 2a. 解得 a = 0 ，或 a = 2. 因 a = 0 2 = a1 不符合题意，故 n → + lim an = 2 . 8 分 2. 解. f (x) = 1 sin x ln x + x cos x ln x x x x 1 + sin = sin x ln x + x cos x ln x + sin x 8 分 3.解. 设该曲线的函数 y = f (x) ，则 f (x) = 4x 3 分 由此得 f x = x + C 2 ( ) 2 5 分 因曲线过点 (0,1) 由此设 C = 1 即
f(x)=2x2+1 8分 4.解.显然，-1sxs1,当x后(-1，)时， 11 g2-京2)-7 3分 任取一点由线上一点（红。，片，名e(-1,)一则法线方程为 -好 y-八= (x-) 5分 当=0时法线方程为x=0 6分 当无。=1时法线方程为y=0 8分 四，试明题： 1.证明先证(A∩B)cf(A)∩（队.事实上，固A∩BcA故有 (AnB)c(4)(2分)月理有(4A∩B)cf(Bc(B),(3分)，故 (A∩)c(0∩f()(4分) 再证(AnB)()nf(m.∈f(4门f(网 则y=f八(x)eA∩B.故xef(A∩B),即(A)∩(Bc(A∩B)6分 从而有f(A∩B)=f(0∩f(B) 8分 2.证明 设x,工：∈R不蓟设高< 2分 (x)-g(x)=f(x:)-2x-f(x)x] =fx)-fx)-2x3-) ≤-2(x3-x)+f()-f八x <-2%-高)+%- =0 6分 所以，(x)=f(x)一2x是严格单调减少函数. 8分
4 ( ) 2 1. 2 f x = x + 8 分 4. 解. 显然， − 1 x 1, 当 x (−1,1) 时， 2 2 1 ( 2 ) 1 1 2 1 x x x x yx − − = − − = 3 分 任取一点曲线上一点 ( , ), 0 0 x y x0 (−1,1) − 0 则法线方程为 ( ) 1 0 0 2 0 0 x x x x y y − − − = 5 分 当 x0 = 0 时 法线方程为 x = 0 6 分 当 x0 = 1 时 法线方程为 y = 0 8 分 四、试明题： 1. 证明 先证 ( ) ( ) ( ), 1 1 1 f A B f A f B − − − 事实上，固 A B A. 故有 ( ) ( ) 1 1 f A B f A − − （2 分） 同理有 ( ) ( ) ( ), 1 1 1 f A B f B f B − − − （3 分），故 ( ) ( ) ( ) 1 1 1 f A B f A f B − − − （4 分） 再证 ( ) ( ) ( ). ( ) ( ) 1 1 1 1 1 f A B f A f B x f A f B − − − − − 则 y = f (x) A B. 故 ( ), 1 x f A B − 即 ( ) ( ) ( ) 1 1 1 f A f B f A B − − − 6 分 从而有 ( ) ( ) ( ). 1 1 1 f A B f A f B − − − = 8 分 2. 证明 设 , , x1 x2 R 不妨设 1 2 x x 2 分 2 1 2 2 1 2 1 g(x ) − g(x ) = f (x ) − 2x − f (x ) − x ( ) ( ) 2( ) 2 1 2 1 = f x − f x − x − x 2( ) ( ) ( ) 2 1 2 1 − x − x + f x − f x 2 1 2 2 1 −2(x − x ) + x − x = 0 6 分 所以， g(x) = f (x) − 2x 是严格单调减少函数. 8 分
3.证明设f(x)=x3-2x2+4x+6 2分 则x)是[，可上的连续函数 f0=1-2+4+6=9f-)=-1-2-4+6=-1 故至少存在一点x。E(-l)设f八x)=0 4分 f"(x)=5x'-4x+4=5x'+41-x)当xe(-l,)时f"(x)>0故fx)是 (-1,)内严格单调增加函数放f(x)=0至多有一根 因此方程x3-2x2+4x+6=0在(-1.)内有且仅有一根. 8分 4正明设f八x)=snx,则f(x)在(0，x以内是上凸函数 2分 由上凸函数的性质有，对于4，山，山3∈(0，)有 +e+es作t售兰） 4分 4= B C 2,。 2 5s3smt+ 3 8分 6
5 3. 证明 设 ( ) 2 4 6 5 2 f x = x − x + x + 2 分 则 f (x) 是 − 1,1 上的连续函数. f (1) = 1 − 2 + 4 + 6 = 9 f (−1) = −1 − 2 − 4 + 6 = −1. 故至少存在一点 ( 1,1), x0 − 设 f (x0 ) = 0 4 分 ( ) 5 4 4 5 4(1 ) 4 4 f x = x − x + = x + − x 当 x (−1,1) 时 f (x) 0 故 f (x) 是 (−1,1) 内严格单调增加函数 故 f (x) = 0 至多有一根 因此方程 2 4 6 0 5 2 x − x + x + = 在 (−1,1) 内有且仅有一根. 8 分 4. 证明 设 f (x) = sin x, 则 f (x) 在 (0, ), 内是上凸函数 2 分 由上凸函数的性质有，对于 , , (0, ) t 1 t 2 t 3 有 + + + + 3 ( ) ( ) ( ) 3 1 1 2 3 1 2 3 t t t f t f t f t f 4 分 令 , 2 , 2 , 2 1 2 3 C t B t A t = = = 则 3 3sin 2 sin 2 sin 2 sin 2 2 2 A B C A B C + + + + 2 3 6 3 sin 6 3sin = = + + = A B C 8 分