数学分析专题研究试题模拟试题及参考答案 中央电大教育学院赵坚 一，填空题（每小题3分，共18分） 1.集合X中的关系配同时为反身的。对称的，传递的，则该关系R为 2.设E是非空数集，若存在实数，满是1)红∈E,有x之B:2) 则 称B是数集E的下确界。 3.函数y=八x)在点x,的某个邻域内有定义，若一存在，则称函数(x)在点 。可导， 4。若y=(x)是对数函数，则(x)裤足函数方程（x列= 5.若非零连续函数八x)满足方程f(x+)=(x)+f(y):则函数八x)是一函 数。 6.设函数f(x)定义在区间(a,b)上，对于任意的x1,名2E(a,b),女位e(01),有一成 立，则称f(x)在(a,b)上为下凸函数： 二、单项选择题（每小题3分，共18分） 1.设f:X→Y,AcX,则A()(》 A,=B,≠ C.2 D.C 2.已知函数y=f(x)在区间(a,b)上可导，xe(a,b),有0<f(x)<1,则(). A.f气x)有界Bf'(x)无界 C.f八x)可积Lf(x)不可积 3,己知函数f(x与(x)在[a,b】上可导，且f(x<(x,则(》 A."(x)≠9'《)R"气(x)《p'《x)C气x))'(x)D.前三个结论都不对 -1e0,对于xe02.定文F-d.则F)在 4.已知f0-{21e02] 间0,2]上()
1 数学分析专题研究试题模拟试题及参考答案 中央电大教育学院 赵坚 一、填空题（每小题 3 分，共 18 分） 1．集合 X 中的关系 R 同时为反身的，对称的，传递的，则该关系 R 为 . 2．设 E 是非空数集，若存在实数β，满足 1） x E ，有 x ；2） ，则 称β是数集 E 的下确界。 3．函数 y = f (x) 在点 0 x 的某个邻域内有定义，若 存在，则称函数 f (x) 在点 0 x 可导。 4．若 y = f (x) 是对数函数，则 f (x) 满足函数方程 f (xy) = 。 5．若非零连续函数 f (x) 满足方程 f (x + y) = f (x) + f ( y) ，则函数 f (x) 是 函 数。 6．设函数 f (x) 定义在区间 (a,b) 上，对于任意的 , ( , ) x1 x2 a b ， (0,1) ，有 成 立，则称 f (x) 在 (a,b) 上为下凸函数。 二、单项选择题（每小题 3 分，共 18 分） 1．设 f ： X →Y ，A X ，则 A（ ） ( ( )) 1 f f A − A. = B. ≠ C. D. 2．已知函数 y = f (x) 在区间 (a,b) 上可导， x (a,b) ，有 0 f (x) 1 ，则（ ）。 A. f (x) 有界 B. f (x) 无界 C. f (x) 可积 D. f (x) 不可积 3．已知函数 f (x) 与 (x) 在[a,b]上可导，且 f (x) (x) D. 前三个结论都不对 4．已知 = 2 (1,2] 1 [0,1] ( ) t t f t ，对于 x [0,2] ，定义 = x F x f t t 0 ( ) ( )d ，则 F(x) 在区 间[0，2]上（ ）
A,连续 B不连续C可导几前三个结论都不对 5.已知f(x)是区间a,b上的严格下凸函数，则() A.f气x)>0 R最小值唯一C"气x)0。则至少存在一点g∈(a,b,使f"(5)0>0x+y-号正明mx+my≤万 4,己知函数在[a,b]上连续非负，且存在一点∈(a,b),使f八x)>0,则 灿>0. 2
2 A. 连续 B. 不连续 C. 可导 D. 前三个结论都不对 5．已知 f (x) 是区间 [a,b] 上的严格下凸函数，则（ ）。 A. f (x) 0 B. 最小值唯一 C. f (x) 0 D. 最大值唯一 6． x x f x sin ( ) = 定义在（0，1）上，则 f (x) 在（0，1）上是( )函数 A. 有界 B. 无界 C. 周期 D. 偶 三、计算题（每小题 8 分，共 32 分） 1．已知 2 f (x) = tan cos x ，求 f (x) 2．求定积分 2 0 cos d x x x 3．已知 ( 1) 4 3 2 f x + = x − x + ，求 f (x) 。 4．求 3 0 sin lim x x x x − → 四、证明题（每小题 8 分，共 32 分） 1．设数列{ n a }满足 n a >0 且 lim = 1 → a r n n n ，则级数 n=1 n a 收敛 2．已知函数 f (x) 在 [a,b] 上连续，在 (a,b) 内存在二阶导数，且 f (a) = f (b) = 0 ， 存在 c (a,b), f (c) 0 。则至少存在一点 (a,b) ，使 f ( ) 0 。 3．已知 2 0, 0, x y x + y = ，证明 sin x + sin y 2 4．已知函数在 [a,b] 上连续非负，且存在一点 ( , ) x0 a b ，使 f (x0 ) 0 ，则 b a f (x)dx 0
棋教试卷参考答案 一、填空题（每小愿3分，共18分） 1,等价关系 2.6>0.3∈E,使得x←B+6 鸟+A- Ar 4.f(xy)=f(x)+f(y) 5,线性 6.fa1+(1-C:)≤w(x)+1-a)f八x) 二、单项透择（每小题3分，共18分》 1,D2,C3,D4,A5.B6.A 三、计算题（每小愿8分，共32分） 1 1.解：气x)= smx2-2x cos"(cosx) 2解月xos=Sm 2 6+c0s=哥-1 a.解f（x+1)=x2-4x+3 =(x+1)2-6风x+1)+8 故fx)=x2-6x+8 4.解m-知x .1-C08x =l 63r2 ,m x-C06X 1 SnX
3 模拟试卷参考答案 一、填空题（每小题 3 分，共 18 分） 1．等价关系 2． 0,x0 E ，使得 + 0 x 3． x f x x f x x + − → ( ) ( ) lim 0 0 0 4． f (xy) = f (x) + f ( y) 5．线性 6． ( (1 ) ) ( ) (1 ) ( ) 1 2 1 2 f x + − x f x + − f x 二、单项选择题（每小题 3 分，共 18 分） 1．D 2．C 3．D 4．A 5．B 6．A 三、计算题（每小题 8 分，共 32 分） 1．解： x x x f x sin 2 cos (cos ) 1 ( ) 2 2 2 = 1 2 cos 2 sin d 2 2. cos d sin sin d 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 = + = − = − = − x x x 解 x x x x x x x 3．解 ( 1) 4 3 2 f x + = x − x + ( 1) 6( 1) 8 2 = x + − x + + 故 ( ) 6 8 2 f x = x − x + 4．解 2 0 3 0 3 1 cos lim sin lim x x x x x x x − = − → → = x x x x x x x 2 sin lim 3 cos 1 lim 3 1 0 2 →0 → = −
1 mn snx=1 =-n 6X6 四、证明题（每小墨8分，共32分） 1.证明：因m同。-r0,截存在心>0，使 得化-6x+ca,创且当xe化-6，+司时.f)2,)分.因国 非负，放 心f-f+f达+fxh ≥M≥)26=，8>0
4 6 sin 1 lim 6 1 0 = = → x x x 四、证明题（每小题 8 分，共 32 分） 1． 证明：因 lim = 1 → a r n n n ，故存在 N，当 n N 时， 1 2 1 0 + = r a r n n 2． 即 n N 时，有 n n a r 0 （4 分） 因为级数 = +1 0 n N n r 收敛。 故有 = = + = = + 1 1 n N 1 n N n n n an a a 。因 n=N+1 an 收敛（7 分），故 n=1 n a 收敛。 2．证明：已知 f(x)在（a,b）内存在二阶导数，故 f′(x)在（a,b）内连续，由拉格 朗日定理，存在 ( , ) 1 a c ，使得 0 ( ) ( ) ( ) 1 − − = a c f a f c f 存在 ( , ) 2 c b ，使得 0 ( ) ( ) ( ) 2 − − = b c f b f c f 故存在 ( , ) 1 2 ，使得 0 ( ) ( ) ( ) 2 1 2 1 − − = f f f 3．证明：已知 f (x) = sin x 在 ] 2 [0, 上是上凸函数（2分），故对于 (0,1) 2 1 ), 2 , (0, x y 有 (sin sin ) 2 1 2 sin x y x y + + 故 2 4 2sin 2 sin sin 2sin = = + + x y x y 4．证明：已知 f(x)在[a,b]上连续且存在 ( , ) x0 a b 使 f (x0 ) 0 ，故存在 0 ，使 得 ( , ) ( , ) x0 − x0 + a b 且当 ( , ) x x0 − x0 + 时， ( ) 2 1 ( ) 0 f x f x （4 分），因 f(x) 非负，故 + + − − = + + b x x x x a b a f x dx f x dx f x dx f x dx 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) 0 2 1 ( ) 0 0 0 0 = + − f x dx f x f x x x
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