数学分析专题研究(08)秋棋报试题 中央电大教育学院赵坚 一，单项选择题（每小题4分，共20分） L-2-ra产是 A正弦函数R余弦函数C指数函数D.对数函数 2.设f:X+Y,ABcX,则A-B)()f(40-f八B): A,=B￥C,D0C 3.设A=九，23》，则(). A.3eAB3到cAG.eAD,自，3》EA 4.设A=a,b,c,R={a.bxb.axc,c)},则美系r是() A.反身的且。对称的C.传递的D.等价关系 5(x)在开区间(a,b)内违续，则(x)在(a,b)内(). A可导B,有界C单调增加血，处处有定义 二、填空题〔每小题4分，共20分) I.设(K<)是全序集，若对任意的a,beX,都存在ceX,使a<e<b,则 称X是 2.若全序集X的任一车空序子集必有最前元素，则称X是」 3,设ECR(R为实数集)，称（是E的聚点当且仅当（的任一邻域U(4,8) 内 4,数直线的( )点集E至少有一个聚点 5.积分中值定理是说：若函数f（x)在区间[a,b]上连续，则在[a,b]内至少存 在一点c,使 三、计算题（每小题15分，共30分） 1.求y=1-x2(x∈(-1，)所给出的曲线上任意一点(x。%)的切线方程
1 数学分析专题研究（08）秋模拟试题 中央电大教育学院 赵坚 一、单项选择题（每小题 4 分，共 20 分） 1． = = − 0 ( ) ( 1) n n f x n x n 2 (2 )! 1 是（ ）. A. 正弦函数 B. 余弦函数 C. 指数函数 D. 对数函数 2．设 f : X → Y ， A,B X ，则 f (A − B) （ ） f (A) − f (B) . A. = B. C. D. 3．设 A = 1,2,3 ，则（ ）. A. {3} A B. {3} A C. {1} A D. 1,3 A 4．设 A = {a,b, c}， R = (a,b)(b,a)(c,c) ，则关系 R 是（ ）. A. 反身的 B. 对称的 C. 传递的 D. 等价关系 5. f (x) 在开区间（ a，b ）内连续，则 f (x) 在（ a ，b ）内（ ）. A. 可导 B. 有界 C. 单调增加 D. 处处有定义 二、填空题（每小题 4 分，共 20 分） 1．设（X，＜）是全序集，若对任意的 a ，b X ，都存在 cX ，使 a c b ，则 称 X 是 . 2．若全序集 X 的任一非空序子集必有最前元素，则称 X 是 . 3．设 E R （ R 为实数集），称 是 E 的聚点当且仅当 的任一邻域 U（ , ） 内 . 4．数直线的（ ）点集 E 至少有一个聚点. 5．积分中值定理是说：若函数 f (x) 在闭区间[ a ，b ]上连续，则在[ a ，b ]内至少存 在一点 c ，使 . 三、计算题（每小题 15 分，共 30 分） 1．求 1 ( ( 1,1)) 2 y = − x x − 所给出的曲线上任意一点（ 0 0 x , y ）的切线方程
2.求x21-x 四，证明题（每小题15分，共30分） 1,设A,B是两个集合，f:A→B,g:B+A:且对于任意的aEA,有 (gofa)■a,则f是单射，g是满射 2.设△MBC是任意给定的三角形，则 sin- B 数学分析专题研究(08秋)柄拟试题参考答案 一、单项选择题《每小题4分。共20分) 1.B 2.C 3.A 4.B 5.D 二、填空题（每小题4分，共20分） 1,朝密集2，良序集3.含有E中无穷多个点4.有界无限 &fx灿=fexb-a 三，计算题（每小题15分，共30分》 1,幅：首先求点（无·为）切线的斜率 -x 、 (6分) 故切线方程为 y-%=y-%) (10分) 代入得 y-为=-点(x-) (12分) y。 整理得 月y+x=+ 即 Yoy+Xr=I (15分) 2.解：令x=sn1,则dr=C0sd 《4分)
2 2．求 x 1 x dx 2 1 0 2 − . 四、证明题（每小题 15 分，共 30 分） 1．设 A ， B 是两个集合， f : A → B ， g : B → A ，且对于任意的 a A ，有 (g f )(a) = a ，则 f 是单射， g 是满射. 2．设 ABC 是任意给定的三角形，则 2 sin 2 sin 2 sin A B C ≤ 8 1 数学分析专题研究（08 秋）模拟试题参考答案 一、单项选择题（每小题 4 分，共 20 分） 1. B 2. C 3.A 4. B 5. D 二、填空题（每小题 4 分，共 20 分） 1. 稠密集 2. 良序集 3. 含有 E 中无穷多个点 4.有界无限 5. = − b a f (x)dx f (c)(b a) 三、计算题（每小题 15 分，共 30 分） 1．解：首先求点（ 0 x ， 0 y ）切线的斜率. 0 0 2 0 0 1 y x x x y x x x x = − − = − = = （6分） 故切线方程为 ( ) 0 0 0 y y y x x − = x=x − （10 分） 代入得 ( ) 0 0 0 0 x x y x y − y = − − （12分） 整理得 2 0 2 0 0 0 y y + x x = x + y 即 y0 y + x0 x =1 （15 分） 2．解：令 x = sin t ，则 dx = costdt （4 分）
从而有 fx-Fdr =sin'rcos'rdr (8分) -片2油a (12分) (co4r 〔-非后 (15分) 四、证明愿（每小题15分，共30分） 1,证明：先证了是单射，采用反旺法。程设存在4，eA。42eA,a≠4·国 f(a)=f(a)=b. (4分) 则 4=(gfX4)=gU(a》=gUa》=(g°a)=4 这与马≠马矛盾，故「是单射 (8分) 次证g是满射，采用反证法，假设存在a∈A,使得aeg(B) (12分) 由 a=(g°f(a)=f(a》,则ae(B),矛盾，故g是满射. (15分) 2.证明：已知sx在(0，灯)内是上凸函数，故对于 高：3·e《0,君，a·a·色0(0.1，%+%2+%=1，有 sn d X +ax:+a,x;)3 a sin x +a:sn x:+a,smn x; (6分) B C 取a=a:=a=34= x= B 3Σ m)≤如4+B+C 2 2 6 62 (12分) 从而有
3 从而有 x 1 x dx 1 0 2 2 − = 2 0 2 2 sin t cos t dt （8 分） − = = 2 0 2 0 2 d 2 1 cos 4 4 1 sin 2 d 4 1 t t t t （12分） ( ) = − 2 0 1 cos4 8 1 t dt 16 sin 4 4 1 8 1 2 0 = = t − t （15 分） 四、证明题（每小题 15 分，共 30 分） 1．证明:先证 f 是单射，采用反证法，假设存在 a1 A ， a2 A ， a1 a2 ，但 f (a1 ) = f (a2 ) = b . （4 分） 则 1 1 1 2 2 2 a = (g f )(a ) = g( f (a )) = g( f (a )) = (g f )(a ) = a 这与 a1 a2 矛盾，故 f 是单射. （8 分） 次证 g 是满射，采用反证法，假设存在 a A ，使得 ag(B) （12 分） 由 a = (g f )(a) = g( f (a)) ，则 a g(B) ，矛盾，故 g 是满射. （15 分） 2．证明: 已知 sin x 在（0， ）内是上凸函数，故对于 1 x ， 2 x ， x3 （0， ）， 1， 2，3 （0，1）， 1 + 2 +3 =1 ，有 sin( ) 1 1 2 2 3 3 x + x + x ≥ 1 1 2 2 3 3 sin x + sin x + sin x （6 分） 取 3 1 1 = 2 = 3 = ， 2 1 A x = ， 2 2 B x = ， 2 3 C x = ，则有 + + 2 sin 2 sin 2 sin 3 1 A B C ≤ 6 sin A + B + C 2 1 6 = sin = （12 分） 从而有
即 (15分) 数学分析专题研究(08款)棋报试思参考答案 一、单项选择题（每小题4分，共20分） 1.B2.C&A4.B5.D 二、填空题（每小题4分，共20分） 1.霸密集2.良序集3.含有E中无穷多个点4有界无限 sfx灿=jeb-a 三、计算题（每小题15分，共30分） 1.解：首先求点（无·）切线的斜率 (6分) 1-x2 战切线方程为 y-为-y-) (10分) 代入得 y-为=-点（红-） (12分) 整理得 y+x=+坊 即 yay+Xox=I (15分) 2,解，令x=snf,则dr=cosd山 (4分) 从而有 fr -Fdr s'rcos'rdr (8分)
4 3 1 2 sin 2 sin 2 sin A B C ≤ + + 2 sin 2 sin 2 sin 3 1 A B C ≤ 2 1 即 2 sin 2 sin 2 sin A B C ≤ 8 1 2 1 3 = （15 分） 数学分析专题研究（08 秋）模拟试题参考答案 一、单项选择题（每小题 4 分，共 20 分） 1. B 2. C 3.A 4. B 5. D 二、填空题（每小题 4 分，共 20 分） 1. 稠密集 2. 良序集 3. 含有 E 中无穷多个点 4.有界无限 5. = − b a f (x)dx f (c)(b a) 三、计算题（每小题 15 分，共 30 分） 1．解：首先求点（ 0 x ， 0 y ）切线的斜率. 0 0 2 0 0 1 y x x x y x x x x = − − = − = = （6分） 故切线方程为 ( ) 0 0 0 y y y x x − = x=x − （10 分） 代入得 ( ) 0 0 0 0 x x y x y − y = − − （12分） 整理得 2 0 2 0 0 0 y y + x x = x + y 即 y0 y + x0 x =1 （15 分） 2．解：令 x = sin t ，则 dx = costdt （4 分） 从而有 x 1 x dx 1 0 2 2 − = 2 0 2 2 sin t cos t dt （8 分）
-}2油-l-4 (12分) (1cos4r)d 数-非后 (15分) 四、证明愿（每小题15分，共30分） 1。证明：先证了是单射，深用反证法，假设存在马EA，马∈A，a≠马，目 f(a)=f(a)=b. (4分) 则 4=(gofa)=gfa》=g\fa》=(gof4)=4 这与a装4矛盾，故f是单射 (8分) 次证g是满射，采用反证法，假设存在a∈A,使得aeg(B) 《12分) 由 a=(g°f(a)=f(a),则aegB),矛盾，故g是满射. (15分) 2,证明：己知sx在(0，年)内是上凸函数，故对于 x,x:·∈(0，x,a,42，a∈(0,1)，a+a3+a=1,有 s书+ax+a)gs名+4sn书+asn (6分) ·则有 B 6"2 (12分) 从而有 号中号写m引 即 如)周 (15分)
5 − = = 2 0 2 0 2 d 2 1 cos 4 4 1 sin 2 d 4 1 t t t t （12分） ( ) = − 2 0 1 cos4 8 1 t dt 16 sin 4 4 1 8 1 2 0 = = t − t （15 分） 四、证明题（每小题 15 分，共 30 分） 1．证明:先证 f 是单射，采用反证法，假设存在 a1 A ， a2 A ， a1 a2 ，但 f (a1 ) = f (a2 ) = b . （4 分） 则 1 1 1 2 2 2 a = (g f )(a ) = g( f (a )) = g( f (a )) = (g f )(a ) = a 这与 a1 a2 矛盾，故 f 是单射. （8 分） 次证 g 是满射，采用反证法，假设存在 a A ，使得 ag(B) （12 分） 由 a = (g f )(a) = g( f (a)) ，则 a g(B) ，矛盾，故 g 是满射. （15 分） 2．证明: 已知 sin x 在（0， ）内是上凸函数，故对于 1 x ， 2 x ， x3 （0， ）， 1， 2，3 （0，1）， 1 + 2 +3 =1 ，有 sin( ) 1 1 2 2 3 3 x + x + x ≥ 1 1 2 2 3 3 sin x + sin x + sin x （6 分） 取 3 1 1 = 2 = 3 = ， 2 1 A x = ， 2 2 B x = ， 2 3 C x = ，则有 + + 2 sin 2 sin 2 sin 3 1 A B C ≤ 6 sin A + B + C 2 1 6 = sin = （12 分） 从而有 3 1 2 sin 2 sin 2 sin A B C ≤ + + 2 sin 2 sin 2 sin 3 1 A B C ≤ 2 1 即 2 sin 2 sin 2 sin A B C ≤ 8 1 2 1 3 = （15 分）
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