高等代数专题研究棋拟试愿 围炜 一、单项选择愿（每小题3分，本愿共15分】 1。不等式2>-3的解集是( g(-20u0,0 0-2.0 3 2设一个代数体系(R+,×),下列条件中，不是环的定义必须满足的条件为(》 ）a beR.atbbta B)在R中存在一个零元素0，使得Vae虎有00叶Fa C)在R运算×对+满足分配律 (D)Va.heR.ax ibxa 3以下结论正确是()， 》实系数奇次多项式至少有一个实最根 )任何实系数(0)次多项式至少有一个实数根 (C)任何复系数()次多项式至少有一个实数根 D)复系数(>0)次多项式一定有B个不洞复数根 4,分配4个学生到3个不月单位实习。不同的分配方式有( ⑧)3oCmC 反从■个正整数函：也，…，比中任意取出。1个数，则()： 因》至多有两个或两个以上的数相月()只有两个数相同 )至少有两个或两个以上的数相同()相同的数必有。个 二、填空是（每小题3分，本题共15分） 6设函数八在区间(a,)上定义，如果420，g20,且a+@1,对任意(L母上的m, 都有 一，则称函数八功在(a上是上凸函数 7.设R是整环，如果对R中的元需品，存在界中的元素五，使得 则 称a是可逆元素， 8有第1,23,4,5,6,7分册的全集五套，从每套中取一本，那么共有」 种 不同取法。 9.重新排列1,2,3,4.5,8,7,8，使得奇数在自己的位置上，而偶数不在自己位置上的
高等代数专题研究模拟试题 瞿炜 一、单项选择题(每小题 3 分，本题共 15 分) 1. 不等式 3 2 − x 的解集是( )． (A) (―,― 3 2 ) (B) (―,― 3 2 )(0,+) (C) (－ ,0 3 2 )(0,+) (D) (― 3 2 ,0) 2. 设一个代数体系(R,+,×)，下列条件中，不是环的定义必须满足的条件为( )． (A) a,bR，a+b=b+a (B) 在 R 中存在一个零元素，使得aR,有 a+=+a=a (C) 在 R 运算×对+满足分配律 (D) a,bR，a×b=b×a 3. 以下结论正确是( )． (A) 实系数奇次多项式至少有一个实数根 (B) 任何实系数 n(n>0)次多项式至少有一个实数根 (C) 任何复系数 n(n>0)次多项式至少有一个实数根 (D) 复系数 n(n>0)次多项式一定有 n 个不同复数根 4. 分配 4 个学生到 3 个不同单位实习，不同的分配方式有( )． (A) 3!4! 7! (B) 34 (C) 3 C4 (D) 4 C7 5. 从 m 个正整数 a1,a2,…,am中任意取出 m+1 个数，则( )． (A) 至多有两个或两个以上的数相同 (B) 只有两个数相同 (C) 至少有两个或两个以上的数相同 (D) 相同的数必有 m 个 二、填空题(每小题 3 分，本题共 15 分) 6 设函数 f(x)在区间(a,b)上定义，如果 q10,q10,且 q1+q2=1,对任意(a,b)上的 x1，x2, 都有 ，则称函数 f(x)在(a,b)上是上凸函数． 7. 设 R 是整环，如果对 R 中的元素 a，存在 R 中的元素 b，使得 ，则 称 a 是可逆元素． 8. 有第 1,2,3,4,5，6,7 分册的全集五套，从每套中取一本，那么共有 种 不同取法． 9. 重新排列 1,2,3,4,5,6,7,8，使得奇数在自己的位置上，而偶数不在自己位置上的
排列有了 10.多项式（知**+展开合并同类项后的项数为C一=C=36,那么该多项式 是 三、简述题（每小愿5分，共10分） 1山.试用不等式表述均值不等式（几何平均数不超过算术平均数）. 12,试表述可重复金挂列计算公式川的含意。 r 四、计算愿（每小恩10，本愿共40分） 13.设集合上{a,,),=[点，」，试写出A到B的所有不问院射，并指出为单则、 满射和双射各有几个？ 1L设正实数无，片名，且中片2，求函数. x,片=24349 的最小值， 15.求剩余类环2上的多项式x2-1=0的根. 16,求1到1000的整数中不能按14且不能被21整障的数的个数， 五、证明愿（年小题10分，本题共20分） 17.设集合华（红，功xy是有理数]，在W上定文运算⊙，任意M上的元素（怎，月，《a), (a剑@（五功-(aL,叶创 证明（复@）是代数体系。并证明®在M上可结合，不可交镜 18,设R是一个整环，层中任何两个元素都存在最大公因式，则对层中任意元素出，么 6有 (a每，`(a,(A)
排列有 个 10. 多项式(x1+x2+…+xt) n 展开合并同类项后的项数为 36 7 9 7 C7+3−1 = C = ，那么该多项式 是 ． 三、简述题(每小题 5 分，共 10 分) 11. 试用不等式表述均值不等式(几何平均数不超过算术平均数)． 12. 试表述可重复全排列计算公式 ! ! ! 1 2 r r n 的含意． 四、计算题(每小题 10，本题共 40 分) 13. 设集合 A=｛a1,a2,a3｝，B={b1,b2}，试写出 A 到 B 的所有不同映射，并指出为单射、 满射和双射各有几个？ 14. 设正实数 x,y,z，且 x+y+z=2，求函数． f(x,y,z)＝2x 2 +3y 2 +9z 2 的最小值． 15. 求剩余类环 Z8 上的多项式 1 0 2 x − = 的根．． 16. 求 1 到 1000 的整数中不能被 14 且不能被 21 整除的数的个数． 五、证明题(每小题 10 分，本题共 20 分) 17. 设集合 M={(x,y)x,y 是有理数}，在 M 上定义运算，任意 M 上的元素(x,y),(a,b), (a,b)(x,y)=(ax,ay+b) 证明(M,)是代数体系．并证明在 M 上可结合，不可交换． 18. 设 R 是一个整环，R 中任何两个元素都存在最大公因式，则对 R 中任意元素 a，b， c，有 ((a,b),c)~(a,(b,c))
参考答案： 一、单项选择题（每小题3分，本愿共15分） 1.B.2D.3A.4.B.5.C. 二、填空题（每小题3分，本题共15分） 6.f(antan)zof(n)taf(n).7.axbbxr1. &C1-1=462 9.9. 10.(m+6+}, 三、简述思（每小思7分，共14分） 1山.设有m个正实数函，西。，品 (1分) 则a4as+a++g (4分) 且只有当通““品时取等号. 5分) 12.设万个A和万个，且+户的集合S,则S的元素的全排列个数为 州 (5分) rirt 四、计算愿（每小是10，本愿共40分） 13.所有陕射为 ā：角+高，角→A，岛+A: G:扇+么，西→A，+A a:函+A,由+b,h+A: Gth+A:西→A,出→A: G:函◆A,西，南A: G:的◆4：西◆b,: :+A,西+角，高+4 a:函+A,话+h,+A:(8分) 单射和双射没有。满射有6个 (10分) (2分) 由阿西不等式 方+（方+I2+5+6门 五+方5+兮4 (7分)
参考答案： 一、单项选择题(每小题 3 分，本题共 15 分) 1. B．2. D．3. A．4. B．5. C． 二、填空题(每小题 3 分，本题共 15 分) 6. f(q1x1+q2x2)q1f(x1)+q2f(x2)． 7. a×b=b×a=1． 8. 462 5 C5+7−1 = ． 9. 9． 10. (x1+x2+x3) 7 ． 三、简述题(每小题 7 分，共 14 分) 11.设有 n 个正实数 a1,a2,…,an， (1 分) 则 n a a a a a a n n n + + + ... ... 1 2 1 2 (4 分) 且只有当 a1=a2=…=an时取等号． (5 分) 12. 设 r1 个 b1 和 r2 个 b2，且 r1+r2=n 的集合 S，则 S 的元素的全排列个数为 ! ! ! 1 2 r r n (5 分) 四、计算题(每小题 10，本题共 40 分) 13. 所有映射为 1：a1→b1，a2→b1，a3→b1； 2：a1→b2，a2→b1，a3→b1； 3：a1→b1，a2→b2，a3→b1； 4：a1→b1，a2→b1，a3→b2； 5：a1→b2，a2→b2，a3→b1； 6：a1→b2，a2→b1，a3→b2； 7：a1→b1，a2→b2，a3→b2； 8：a1→b2，a2→b2，a3→b2；(8 分) 单射和双射没有．满射有 6 个． (10 分) 14. x+y+z= 3 2 3 1 3 3 1 2 2 1 x + y + z = (2 分) 由柯西不等式 ) ][( 2 ) ( 3 ) (3 ) ] 3 1 ) ( 3 1 ) ( 2 1 [( 2 2 2 2 2 2 + + x + y + z 3 ) 4 3 1 3 3 1 2 2 1 ( 2 x + y + z = (7 分)
所以，2+3+9≥ 72 1.1117 23+9 所求2349/的最小值是 (10分) 7 152=0.i.2.671. (3分) Z中使得多项式f代)。x2-i为0的均为其根 经验道，fi-子-i=0,f3)-3-i-0.,f5-5-i-0. f7)=7-i=0 (8分) 可知所求全都根为1，王，5.7. (10分) 16.设9L,2,3,…,1000,AB分别表示S中能被14和21整除的整数集合.(2分) 则 4-[}.4-[]-n,n4-[]8.e 分) 所求为 n-Au同--4-网+An =1000-71-47+23=905(10分) 五、正明愿（每小恩10分，本思共20分） 17.因为，品A玉y都是有理数，所以，叶b也是有理数，（元U叶是N的元素， 位（队@）是代数体系 2分) 任意（无功，(4分，(G动属于北 [(a@(x]@(G动=(a,+M@(c,0-(aGra叶 (a,⊙[(x分@(G动]-(a,8(xGxd中月=(aG,r+) 可见，©在W上可结合. (8分) (a励®（黑，方=（黑而（黑月®（品）=（福功，它们不等，故不可交换. (10 分) 18.令+(a,,d,则 d(a,,d小c,即da且kdc,从而
所以，2x 2 +3y 2 +9z 2 17 72 9 1 3 1 2 1 4 = + + ． 所求 2x 2 +3y 2 +9z 2 的最小值是 17 72 ． (10 分) 15. Z8={ 0,1,2,...,6,7 }， (3 分) Z8 中使得多项式 f(x)= 1 2 x − 为 0 的均为其根． 经验证， (1) 1 1 0 2 f = − = ， (3) 3 1 0 2 f = − = ,, (5) 5 1 0 2 f = − = , (7) 7 1 0 2 f = − = (8 分) 可知所求全部根为 1,3,5,7 ． (10 分) 16. 设 S={1,2,3,…,1000}，A,B 分别表示 S 中能被 14 和 21 整除的整数集合．(2 分) 则 71 14 1000 = A = ， 47 21 1000 = B = ， 23 7 2 3 1000 = A B = ，(5 分) 所求为 A B = A B = S − A − B + A B ＝1000−71− 47 + 23 = 905 (10 分) 五、证明题(每小题 10 分，本题共 20 分) 17. 因为,a,b,x,y 都是有理数，所以 ax,ay+b 也是有理数，(ax,ay+b)是 M 的元素， 故(M，)是代数体系． (2 分) 任意(x,y),(a,b),(c,d)属于 M， [(a,b)(x,y)](c,d)=(ax,ay+b)(c,d)=(axc,axd+ay+b) (a,b)[(x,y)(c,d)]=(a,b)(xc,xd+y)=(axc,axd+ay+b) 可见，在 M 上可结合． (8 分) (a,b)(x,y)=(ax,ay+b)而(x,y)(a,b)=(xa,xb+y)，它们不等．故不可交换． (10 分) 18. 令 d=((a,b),c)，则 d(a,b)，dc，即 da 且 db，dc，从而
da.db且小c: (4分) 于是d小a,d(么d,得到d(a,(c). 6分) 又令卡(a(4c),则 d小a且(h,即da,dh小a,从而 da,db且a小cl, 于是d(a且do得到d小(a(hd). (9分) 所以，(a),d`(a(4c) (10分)
da，db 且 dc， (4 分) 于是 da，d(b,c)，得到 d(a,(b,c))． (6 分) 又令 d=(a,(b,c))，则 da 且 d(b,c)，即 da，db，dc，从而 da，db 且 dc， 于是 d(a,b)且 dc，得到 d(a,(b,c))． (9 分) 所以，((a,b),c)~((a,(b,c)) (10 分)