径向分布函数、角度分布函数电子云图形的绘制 1.目的要求 (1)绘制波函数及其各种分布以及电子云的图像,观察各种函数的分布情 况。 (2)了解计算机绘图方法。 2.基本原理 (1)程序原理:本程序可绘制类氢原子的径向分布函数,角度分布函数及原 子轨道、杂化轨道和分子轨道等电子几率密度图,绘制过程中的各函数形式 列于下列各表中。式中 a,n为主量子数,ao=0.0529mm,为波尔 半径,Z是有效核电荷,由 Slater规则计算得到的周期表中前四个周期元 素的有效核电荷列于表Ⅱ-24-1中,下面简要叙述对各类图形的处理方案 ①径向分布函数图 径向分布函数D(r)=R2(r) 反映了电子的几率随半径r的分布情况,D(r)dr代表半径r到r+dr两个球 壳夹层内找到电子的几率。其中R(r)为类氢原子的径向函数,本程序所采用 的径向函数R(r)分别列于表Ⅱ-242中。②角度分布函数图:波函数 Um(,,)的角度部分Wm(O,9)以及角度分布函数u2m(,p)表示同一球面不 同方向上Wmn(2)或y2m(,O,)的相对大小,本程序所采用的角度函数 Wmn(O,d)分别列于表Ⅱ24-3中 P2,P:,f2,f=,(2)Yyyy角度分布图是画的XZ平面的截面图,其余角 度分布图都是画的XY平面的截面图。角度分布函数图中,凡轨道形状相同, 而仅方向不同者,则仅绘出一个图形作为代表
径向分布函数、角度分布函数电子云图形的绘制 1.目的要求 (1) 绘制波函数及其各种分布以及电子云的图像，观察各种函数的分布情 况。 (2) 了解计算机绘图方法。 2.基本原理 (1) 程序原理：本程序可绘制类氢原子的径向分布函数，角度分布函数及原 子轨道、杂化轨道和分子轨道等电子几率密度图，绘制过程中的各函数形式 列于下列各表中。式中 ，n 为主量子数， =0.0529nm，为波尔 半径， Z 是有效核电荷，由 Slater 规则计算得到的周期表中前四个周期元 素的有效核电荷列于表Ⅱ-24-1 中，下面简要叙述对各类图形的处理方案。 ①径向分布函数图： 径向分布函数 D(r)=r2 R 2 (r) 反映了电子的几率随半径 r 的分布情况， D(r)dr 代表半径 r 到 r+dr 两个球 壳夹层内找到电子的几率。其中 R(r)为类氢原子的径向函数，本程序所采用 的径向函数 R(r)分别列于表Ⅱ-24-2 中。②角度分布函数图：波函数 的角度部分 以及角度分布函数 表示同一球面不 同方向上 或 的相对大小，本程序所采用的角度函数 分别列于表Ⅱ-24-3 中。 , 2 , 3 , 2 ,( 2 ), , 2 3 z z z xz yz sp d sp p p f f f Y Y 角度分布图是画的 X-Z 平面的截面图，其余角 度分布图都是画的 X-Y 平面的截面图。角度分布函数图中，凡轨道形状相同， 而仅方向不同者，则仅绘出一个图形作为代表。 0 2 na Zr = 0 a (r,,) nlm (,) lm ( , ) 2 lm (r,,) nlm ( , , ) 2 nlm r (,) lm
③等电子几率密度图:W,p)2称为电子几率密度函数,它描述在该轨道中 的电子在三维空间的分布情况,为了在平面上表示出这种分布往往采用某 切面上的等值面图,程序按指定的轨道在该切面上逐点计算w的值,及找出 Wm2的最大值,求出相对几率密度P=M+2Wwm2,该值在XY平面上是位 置坐标(x,y)的函数(对于3d轨道是在X-Z平面),绘图时不是将取值相同的 点连成曲线,而是打印一系列符号表示相对几率密度的分布区域。当P0.5时用“#”符号表示。根据这些符号可以 粗略看出几率密度的分布情况。 在Ⅹ-Y平面内,坐标变化范围为 2.4≤x≤2.4(步长=0.08) 1.42≤y≤1.42(步长=0.133 所有距离的长度单位都是10m。 原子轨道使用的波函数如表I-244所示。对3d2,4d2,4/-,和4∫2轨道采用 Ⅹ-Z平面做截面,所有其它原子轨道都画在X-Y平面上,程序使用原子轨道 的四重轴对称性,首先计算第三象限内,即-2.4≤x≤0,-1.42≤y≤0的ψ值, 随后被P=2m代替,在其它三个象限内的相应值由对称性得到,用 P(x,y)代表电子在坐标(x,y)点的几率密度,则 P(-x,-y)=P(x,y)=P(x,-y)=P(x,y)
③等电子几率密度图： 2 (r,,) 称为电子几率密度函数，它描述在该轨道中 的电子在三维空间的分布情况，为了在平面上表示出这种分布往往采用某一 切面上的等值面图，程序按指定的轨道在该切面上逐点计算 2 的值，及找出 2 max 的最大值，求出相对几率密度 2 max 2 P = / ，该值在 X-Y 平面上是位 置坐标(x,y)的函数(对于 3 2 z d 轨道是在 X-Z 平面)，绘图时不是将取值相同的 点连成曲线，而是打印一系列符号表示相对几率密度的分布区域。当 P＜0.01 时为空白， 0.01≤P＜0.02 时用“：”，0.02≤P＜0.1 时用“／”，0.1≤P＜0.25 时用“O”， 0.25≤P＜0.5 时用“&”和 P＞0.5 时用“#”符号表示。根据这些符号可以 粗略看出几率密度的分布情况。 在 X-Y 平面内，坐标变化范围为 -2.4≤x≤2.4(步长=0.08) -1.42≤y≤1.42(步长=0.133) 所有距离的长度单位都是 10-10 m 。 原子轨道使用的波函数如表Ⅱ-24-4 所示。对 3 2 ,4 2 ,4 3 , 4 2 z z z xz d d f 和 f 轨道采用 X-Z 平面做截面，所有其它原子轨道都画在 X-Y 平面上，程序使用原子轨道 的四重轴对称性，首先计算第三象限内，即-2.4≤x≤0,-1.42≤y≤0 的Ψ值， 随后被 2 max 2 P = / 代替，在其它三个象限内的相应值由对称性得到，用 P(x,y)代表电子在坐标(x，y)点的几率密度，则： P(-x,-y)=P(-x,y)=P(x,-y)=P(x,y)
表Ⅱ-24-1 Slater轨道中的Z参量值 原有效核电荷z 原 有效核电荷Z 子1s|2s,2p|3s,3 □s 2s,2p3s,3p3d|4s,4 H1.00 19K18.7014.857.75 2.20 2|He1.70 20Ca19.7015.858.75 2.85 3Li2.701.30 21Sc20.7016.859.753.003.00 4Be3.701.95 22Ti21.7017.8510.753.653.15 5|B4.702.60 23V22.7018.8511.754.303.30 6C5.703.25 24Cr23.70198512.755.602.95 7N|6.703.90 25Mn24.7020.8513.755.603.60 80|7.70|4.55 26|Fe25.7021.8514.75|6.253.75 9F|8.705.20 27co26.702.8515.756.903.90 10Ne9.70585 28Ni27.7023.8516.75 75:05 11Na10.706852.2029cu28.7024.8517.758.853.70 12 Mg1.707852.8530Zn29.7025.8518.758.854.35 13A112.708853.5031Ga30.7026.8519.759.855.00 14Si13.709854.1532Ge31.7027.8520.7510.855.65 15P14.7010.854.8033As32.7028.8521.75|11.856.30 16S|15.7011.855.4534Se33.7029.8522.7512.856.95 17C116.7012856.1035Br34.7030.8523.7513.857.60 18Ar|17.7013.856.7536Kr35.7031.8524.7514.858.25 杂化轨道采用的杂化方式如表Ⅱ-24-5所示,程序中应用了以X轴为对称
表Ⅱ-24-1 Slater 轨道中的 Z *参量值 Z 原 子 有效核电荷 Z * Z 原 子 有效核电荷 Z * ls 2s,2p 3s,3p 1s 2s,2p 3s,3p 3d 4s,4p 1 H 1.00 19 K 18.70 14.85 7.75 2.20 2 He 1.70 20 Ca 19.70 15.85 8.75 2.85 3 Li 2.70 1.30 21 Sc 20.70 16.85 9.75 3.00 3.00 4 Be 3.70 1.95 22 Ti 21.70 17.85 10.75 3.65 3.15 5 B 4.70 2.60 23 V 22.70 18.85 11.75 4.30 3.30 6 C 5.70 3.25 24 Cr 23.70 19.85 12.75 5.60 2.95 7 N 6.70 3.90 25 Mn 24.70 20.85 13.75 5.60 3.60 8 O 7.70 4.55 26 Fe 25.70 21.85 14.75 6.25 3.75 9 F 8.70 5.20 27 Co 26.70 22.85 15.75 6.90 3.90 10 Ne 9.70 5.85 28 Ni 27.70 23.85 16.75 7.55 4.05 11 Na 10.70 6.85 2.20 29 Cu 28.70 24.85 17.75 8.85 3.70 12 Mg 11.70 7.85 2.85 30 Zn 29.70 25.85 18.75 8.85 4.35 13 Al 12.70 8.85 3.50 31 Ga 30.70 26.85 19.75 9.85 5.00 14 Si 13.70 9.85 4.15 32 Ge 31.70 27.85 20.75 10.85 5.65 15 P 14.70 10.85 4.80 33 As 32.70 28.85 21.75 11.85 6.30 16 S 15.70 11.85 5.45 34 Se 33.70 29.85 22.75 12.85 6.95 17 Cl 16.70 12.85 6.10 35 Br 34.70 30.85 23.75 13.85 7.60 18 Ar 17.70 13.85 6.75 36 Kr 35.70 31.85 24.75 14.85 8.25 杂化轨道采用的杂化方式如表Ⅱ-24-5 所示，程序中应用了以 X 轴为对称
轴的二重轴对称性,在Ⅹ-Y平面上画出杂化轨道等电子几率密度图 分子轨道采用如表Ⅱ-246所示的原子轨道的线性组合,取双原子-A、B 的两个原子核在Y轴上,及以Y轴为分子轴,其坐标分别为RAB/2,RAB/2, 若ZA=Z,则分子轨道具有四重轴对称性,否则仅有以Y轴为对称轴的二重 轴对称性 表19-2类氢原子的径向波函数Rn(r) lSRn()=(-/a)2% (=/a0)(-2) 2P R 2√6 (/a0) 3Rn()3(/a,)x(6-6+) 3 R31(r) (=/a0) % 9√6 3dk2(r)=-1 9√30 4sRn()%<=1)2(24-360+12n2-p)e Ap RAu (r)= 32√15 (/a)(20-10+2)% Ad Ra(r) 96(=/a1)x(6-)P3 4f R13(r) (=/)oe% 96√35
轴的二重轴对称性，在 X-Y 平面上画出杂化轨道等电子几率密度图。 分子轨道采用如表Ⅱ-24-6 所示的原子轨道的线性组合，取双原子-A、B 的两个原子核在 Y 轴上，及以 Y 轴为分子轴，其坐标分别为-RAB／2，RAB／2， 若 ZA=ZB，则分子轨道具有四重轴对称性，否则仅有以 Y 轴为对称轴的二重 轴对称性。 表 19-2 类氢原子的径向波函数 R (r) nl 1S R10 (r) = 2 2 3 ( / 0 ) 2 − z a 2S R20 (r) = 2 2 3 0 ( / ) ( 2) 2 2 1 − z a − 2P R21 (r) = 2 2 3 0 ( / ) 2 6 1 − z a e 3S R30 (r) = 2 2 2 3 0 ( / ) (6 6 ) 9 3 1 − z a − + e 3p R31 (r) = 2 2 3 0 ( / ) (4 ) 9 6 1 − z a − e 3d R32 (r) = 2 2 2 3 0 ( / ) 9 30 1 − z a e 4S R40 (r) = 2 2 3 2 3 0 ( / ) (24 36 12 ) 96 1 − z a − + − e 4p R41 (r) = 2 2 2 3 0 ( / ) (20 10 ) 32 15 1 − z a − + e 4d R42 (r) = 2 2 2 3 0 ( / ) (6 ) 96 5 1 − z a − e 4f R43 (r) = 2 3 2 3 0 ( / ) 96 35 1 − z a e
表19-3波函数角度部分yn(,) /4x P:v4 si e coso P:\4r cose 15 sin 0 cos 0 cos d sin 0 cohesin g in-sin 2o d sin-0 cos 2o x-y 16 (5cos0-3cos 0) 人、(5cos20-1) coss fp2 V32r sin 0(5cos-8-I)sin 105 105 a(2-y2)-116n sn2 ecos 0 cos2中 16r cos 0 sin 2o fy3x-y) 132@cos 30 35- sin Asin 39 3v2/co20+,/2 coSt+
表 19-3 波函数角度部分 (,) lm Y 4 1 S = sin cos 4 3 = x p sin sin 4 3 = y p cos 4 3 = z p (3cos 1) 16 5 2 2 = − z d sin cos cos 4 15 = xz d sin cos sin 4 15 = yz d sin sin 2 4 15 2 = dxy sin cos 2 16 15 2 2 2 = x − y d (5cos 3cos ) 16 7 3 3 = − z f sin (5cos 1) cos 32 21 2 2 = − xz f sin (5cos 1)sin 32 21 2 2 = − yz f sin cos cos 2 16 105 2 ( ) 2 2 = z x −y f sin cos sin 2 16 105 2 = xyz f sin cos3 32 35 3 (3 ) 2 2 = y x −y f sin sin 3 32 35 3 ( 3 ) 2 2 = x x − y f ( ) 1 3 cos 8 1 Ysp = + = + + −1 5 2 3 1 cos 5 2 cos 16 15 2 2 3 d sp Y
表19-4类氢原子波函数wnn(r,) (2)2c% y 212g% y(6-6p+p2)2% )2(24-36p+12 2P= pe%h sin 0c 2×x% e sn Osn os 8 Y3P x18√2z (4-ppe% sin 0 cos g y (20-10+p2) 2e(3cos20-1) ysd 1(2)2%sm20s2 36√2xa 2pe% sin 20 sin 20 (2)x(62-p 2384 (2关(6p2-32%sm22 y2 (2)x(62-p2)%sm20m26 23 (2)p2e%(s f 128√30r (5cos26-1)cosφ v4x(x2-2)-3842z z%p'e%h sin 0cos30 pe /2 sin cos 0 cos 20 (x2-y2)128√3xa
表 19-4 类氢原子波函数 (r,,) nlm 2 0 3 2 1 ( ) 1 − = e a Z S 2 0 3 2 2 ( ) 4 2 1 − = e a Z S 2 0 ( ) (6 6 ) 18 3 1 3 2 2 3 − = − + e a Z S 3 2 2 3 2 4 ( ) (24 36 12 ) 192 1 0 − = − + − e a Z S ( ) sin cos 4 2 1 2 2 3 0 2 − = e a Z x P ( ) sin sin 4 2 1 2 2 3 0 2 − = e a Z y P ( ) cos 4 2 1 2 2 3 0 2 − = e a Z z P ( ) (4 ) sin cos 18 2 1 2 2 3 0 3 − = − e a Z x P ( ) (20 10 ) sin cos 64 5 1 2 2 3 0 2 4 − = − + e a Z x P ( ) (3cos 1) 36 6 1 2 2 2 3 2 3 2 = − − e a Z o z d ( ) sin cos 2 36 2 1 2 2 2 3 2 3 2 2 − = − e a Z o x y d ( ) sin sin 2 36 2 1 2 2 2 3 2 3 − = e a Z o dxy ( ) (6 ) (3cos 1) 384 1 2 2 3 2 2 3 4 2 = − − − e a Z o z d ( ) (6 ) sin cos 2 128 3 1 2 2 3 2 2 3 2 2 4 − − = − e a Z o x y d ( ) (6 ) sin sin 2 128 3 1 2 2 3 2 2 3 4 − = − e a Z o xy d ( ) (5cos 3cos ) 384 5 1 2 3 2 3 3 4 3 = − − e a Z o z f ( ) sin (5cos 1) cos 128 30 1 2 3 2 2 3 4 2 = − − e a Z o xz f ( ) sin cos3 384 2 1 2 3 2 3 3 ) 2 2 ( 4 − − = e a Z o x x y f ( ) sin cos cos 2 128 3 1 2 3 2 2 3 ) 2 2 ( 4 − − = e a Z o z x y f
表195杂化轨道 ys (v2 s +y2n_) (v2s+√2v2p) 2 √12 表19-6分子轨道 成键轨道 反键轨道 Is=Visa +yI A Is O2s=2s4 +y2sB O2s=y2s4-92 C2p1= Py pVa y Py PyA Y2p. ty Px 2 O1s2py=VisA +Y2pyB Is 2 pYb 2s2 W2ss ty2 01s2 2s pVb (2)程序功能: 该程序可绘制下列三类图形 ①ls至4s,2p至4,3d至4d,4f轨道的径向函数、径向密度函数、径向 分布函数图形
表 19-5 杂化轨道 ( ) 2 1 2 2 px sp = s + ( 2 ) 3 1 2 2 2 px s sp = + ( ) 2 1 3 2 2 px 2 py 2 pz s sp = + + + px x y s d dsp2 4 3 2 2 4 2 1 2 1 2 1 = + + − 2 3 2 3 4 3 2 2 4 12 1 2 1 2 1 6 1 x d z p x y s d d sp = + + − − 表 19-6 分子轨道 成键轨道 反键轨道 1s 1sA 1sB = + s 1sA 1sB * 1 = − 2s 2sA 2sB = + s 2sA 2sB * 2 = − 2 py 2 pyA 2 pyB = − py 2 pyA 2 pyB * 2 = + 2 px 2 pxA 2 pxB = + px 2 pxA 2 pxB * 2 = − 1s2 py 1sA 2 pyB = + s py 1sA 2 pyB * 1 2 = − 2s2 py 2sA 2 pyB = + s py 2sA 2 pyB * 1 2 = − (2)程序功能： 该程序可绘制下列三类图形： ①1s 至 4s，2p 至 4p，3d 至 4d, 4f 轨道的径向函数、径向密度函数、径向 分布函数图形
②所有s、p、d、f轨道和sp、d2sp3杂化轨道的角度函数和角度分布函数图 形。 ③1s至4s,2p至4P1、3如22、M,、4d2、M,:2、4、4、4x2 42、42原子轨道:甲、y2、驴3、dp2、dy3杂化轨道:ls±ls,2±2s, p1±2p,2p±2P,1s±2p,2s±2p分子轨道中电子的几率密度等值面图 (3)使用方法 本程序采用 Turbo basic语言编程,并已编译成可执行文件,适用于486 系列微机,VGA彩色显示器。本软件的运行环境为MS一D0S3.30或更高版本。 3仪器试剂 486微型计算机1台(配VGA彩色显示器) MS-DOS3.30或更高版本 实验步骤 (1)打开稳压电源开关,待电压稳定后,打开显示器、打印机和主机开 关,启动程序。 (2)选择适当参数,绘制径向分布,角度分布和原子轨道、杂化轨道、 分子轨道等电子几率密度图各1个。 (3)关掉主机和附件开关,切断电源 数据处理 记录所绘图形,观察各类函数的极大值、界面位置和数目以及分布情况 6注意事项
②所有 s、p、d、f 轨道和 sp、d2sp3 杂化轨道的角度函数和角度分布函数图 形。 ③1s 至 4s，2 x p 至 4 x p 、 2 3 z d 、 2 2 3 x y d − 、 xy 3d 、 2 4 z d 、 2 2 4 x y d − 、4dxy 、4 3 z f 、4 2 xz f 、 ) 2 2 ( 4 x x y f − 、 ) 2 2 ( 4 z x y f − 原子轨道； sp 、 2 sp 、 3 sp 、 2 dsp 、 2 3 d sp 杂化轨道； 1s 1s , 2s 2s， 2px 2px，2 py 2 py ， py 1s 2 ， py 2s 2 分子轨道中电子的几率密度等值面图。 (3)使用方法 本程序采用 Turbo BASIC 语言编程，并已编译成可执行文件，适用于 486 系列微机，VGA 彩色显示器。本软件的运行环境为 MS－DOS3.30 或更高版本。 3 仪器试剂 486 微型计算机 1 台(配 VGA 彩色显示器) MS-DOS3.30 或更高版本 4 实验步骤 (1) 打开稳压电源开关，待电压稳定后，打开显示器、打印机和主机开 关，启动程序。 (2) 选择适当参数，绘制径向分布，角度分布和原子轨道、杂化轨道、 分子轨道等电子几率密度图各 1 个。 (3) 关掉主机和附件开关，切断电源。 5 数据处理 记录所绘图形，观察各类函数的极大值、界面位置和数目以及分布情况。 6 注意事项
在绘制径向分布函数和等电子几率密度图时只有选择合适的参数,才能 观察到大小适当完整的图形 7思考题 (1)在绘制径向分布函数、等电子几率密度图时为什么要选用有效核电 荷 (2)讨论有效核电荷大小对电子云及其各种分布的影响
在绘制径向分布函数和等电子几率密度图时只有选择合适的参数，才能 观察到大小适当完整的图形。 7 思考题 (1) 在绘制径向分布函数、等电子几率密度图时为什么要选用有效核电 荷? (2) 讨论有效核电荷大小对电子云及其各种分布的影响