重分 青岛科技大学 大学物理讲义
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矢量( vector) 标量( scalar quantity):只具有大小而没有方向的物理 量,我们把它称之为标量 矢量:有一种物理量,仅用大小还不能全面的来描述 它,还需要用方向来描述它。例如说,我们只知道 个人从学校门口走了1公里,就无法确定他到了什么 地方。但如果还知道了他走的方向是正东,我们就能 确定他到了什么地方了。这种既具有大小又具有方向 的物理量,我们把它称之为矢量 矢量与标量的根本区别是有没有方向 青岛科技大学 大学物理讲义
青岛科技大学 大学物理讲义 一 矢量(vector) 标量(scalar quantity)：只具有大小而没有方向的物理 量，我们把它称之为标量。 矢量：有一种物理量，仅用大小还不能全面的来描述 它，还需要用方向来描述它。例如说，我们只知道一 个人从学校门口走了1公里，就无法确定他到了什么 地方。但如果还知道了他走的方向是正东，我们就能 确定他到了什么地方了。这种既具有大小又具有方向 的物理量，我们把它称之为矢量。 矢量与标量的根本区别是有没有方向
矢量的模( module):矢量的大小称为矢量的模。矢量A 的模记为:A或|A 矢量具有平移不变性( translation invariant:把矢量在 空间中平移,矢量的大小和方向不会改变,这种性质 称为矢量平移的不变性。 二矢量的表示 在直角坐标 (rectangular coordinates中的表示:一个 矢量A,可以用它在直角坐标系中的三个投影分量 ( component)AA和来表示: A=Ai +A,j+AK i、j、k:单位矢量,分别指向三个坐标轴的正向。 青岛科技大学 大学物理讲义
青岛科技大学 大学物理讲义 矢量的模(module)：矢量的大小称为矢量的模。矢量 的模记为： 或 。 A A | | A 矢量具有平移不变性(translation invariant)：把矢量在 空间中平移，矢量的大小和方向不会改变，这种性质 称为矢量平移的不变性。 二 矢量的表示 在直角坐标(rectangular coordinates)中的表示：一个 矢量 ，可以用它在直角坐标系中的三个投影分量 (component) 和 来表示： A A A x y 、 A z A A i A j A k = + + x y z i j k 、 、 ：单位矢量，分别指向三个坐标轴的正向
在球坐标中的表示: A= Ae 其中:A为矢量A的模,eA为指向矢量A方向的单位 矢量( unit vector) 方向余弦 directional cosine):一个矢量A与直角坐标 个坐标轴正向的夹角a、B和y称为矢量A的方向 余弦。显然有: cosa cos B cosy A 用方向余 弦表示 A=A(coS ai+cos Bj+cork 青岛科技大学 大学物理讲义
青岛科技大学 大学物理讲义 在球坐标中的表示： A Ae = A 其中： 为矢量 的模， 为指向矢量 方向的单位 矢量(unit vector)。 A A A e A 方向余弦(directional cosine)：一个矢量 与直角坐标 三个坐标轴正向的夹角 和 称为矢量 的方向 余弦。显然有： 、 A A cos A x A = cos A y A = cos A z A = A A i j k = + + (cos cos cos ) 用方向余 弦表示
矢量的合成 矢量相加 addition) A+B=(Ai+A,j+Ak)+Bi+B j+Bk) (4+B3)+(4+B,)j+(A+B 2.矢量相减( minus 由于矢量-B与B方向相反,大小相等,有: B=-Bi-Bj-Bk 青岛科技大学 大学物理讲义
青岛科技大学 大学物理讲义 三 矢量的合成 1. 矢量相加(addition) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x y z x y z x x y y z z A B A i A j A k B i B j B k A B i A B j A B k + = + + + + + = + + + + + 2. 矢量相减(minus) 由于矢量−B 与 B 方向相反，大小相等，有： − = − − − B B i B j B k x y z
矢量相减 B=(Ai+A,j+ Ak)-B,i+Bj+Bk) (A2-B3)+(4,-B,)+(4-B2)k 矢量的加减合称为矢量的合成( compose,sum) 实质是 四矢量的标积与矢积 矢量大小 1.矢量的标积( scalar product 与另一矢 矢量的标积也称为矢量的点乘,定义为量在其方 A B= AB cos a 向上投影 大小乘积 标积的定义得:"=j=k=1 i·j=j=ik=ki=jk=k·=0 青岛科技大学 大学物理讲义
青岛科技大学 大学物理讲义 矢量相减 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x y z x y z x x y y z z A B A i A j A k B i B j B k A B i A B j A B k − = + + − + + = − + − + − 矢量的加减合称为矢量的合成(compose, sum) 四 矢量的标积与矢积 1. 矢量的标积(scalar product) A B AB = cos 矢量的标积也称为矢量的点乘，定义为 标积的定义得： i i j j k k = = =1 i j j i i k k i j k k j = = = = = = 0 实质是一 矢量大小 与另一矢 量在其方 向上投影 大小乘积
矢量的标积遵守 (1)交换率:AB=BA (2)结合率:(A+B)C=AC+BC 2.矢量的矢积 vector product 矢量的矢积也称为矢量的叉乘,定义为: A×B= AB sin ae 其中e为由A和B根据右手螺旋定则判定的单位矢量。 由矢积的定义得: ×i=j×j=k×k=0 青岛科技大学 大学物理讲义
青岛科技大学 大学物理讲义 矢量的标积遵守 A B B A = ( ) A B C A C B C + = + (1) 交换率： (2) 结合率： 2. 矢量的矢积(vector product) 矢量的矢积也称为矢量的叉乘，定义为： A B AB e = sin 其中 e 为由 A 和 B 根据右手螺旋定则判定的单位矢量。 由矢积的定义得： i i j j k k = = = 0
j=kj×k=ikxi=j xi=k kx ×k=-J 记忆方式 i→j→k→i→j→k→i→j→k 正向叉乘为正,逆向叉乘为负。 注意坐 标轴的 叉乘具有以下性质: 右手螺 (1)不遵守交换率:A×B=-B×A旋定则 (2)遵守分配率:C×(+B)=C×A+C×B (3)平行或反平行的两矢量的矢积为0。 青岛科技大学 大学物理讲义
青岛科技大学 大学物理讲义 i j k j k i k i j = = = j i k k j i i k j = − = − = − i j k i j k i j k 记忆方式 正向叉乘为正，逆向叉乘为负。 叉乘具有以下性质： (1) 不遵守交换率： A B B A = − (2) 遵守分配率： C A B C A C B + = + ( ) (3) 平行或反平行的两矢量的矢积为0。 注意坐 标轴的 右手螺 旋定则
五矢量的微积分 1.矢量的微分( differential 只要把矢量的性质应用于标量的导数公式即可: d (A+B). da dB (2)f()_d( A+f() dt db da (3)(AB)=A,+.B db dA (4)(A×B)=A×,+,×B dt 青岛科技大学 大学物理讲义
青岛科技大学 大学物理讲义 五 矢量的微积分 1. 矢量的微分(differential) (1) ( ) [ ( ) ] ( ) (2) ( ) (3) ( ) (4) ( ) d dA dB A B dt dt dt d f t A df t dA A f t dt dt dt d dB dA A B A B dt dt dt d dB dA A B A B dt dt dt + = + = + = + = + 只要把矢量的性质应用于标量的导数公式即可：
作为(1)式的特例,对直角坐标下的矢量: A=Ai +Ai+Ak 有4a4dAdA2k dt dt 作为(2)式的例子,在球坐标下的矢量 A=AeA 有 la da e t dt 青岛科技大学 大学物理讲义
青岛科技大学 大学物理讲义 作为(1)式的特例，对直角坐标下的矢量： A A i A j A k = + + x y z x y z dA dA dA dA i j k dt dt dt dt = + + 有 作为(2)式的例子，在球坐标下的矢量： A Ae = A A A dA dA de e A dt dt dt = + 有