青岛科技大学：《大学物理》课程教学资源（PPT课件）第十三讲 力矩的时间与空间积累效果

青岛科技大学 大学物理讲义

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力的时间累积效应-冲量、动量、动量定理 力的空间累积效应=→功、动能、动能定理 力矩的时间、空间积累效应又如何呢? 角动量 angular momentum)定理 由转动定律M=/a M=a=J do d(o dt dt 定义角动量 L=Jo 青岛科技大学 大学物理讲义

青岛科技大学 大学物理讲义 一 角动量(angular momentum)定理 力的时间累积效应 冲量、动量、动量定理. 力的空间累积效应 功、动能、动能定理. 由转动定律 M J =  d d( d d J M J J t t    ) = = = 定义角动量 L J =  力矩的时间、空间积累效应又如何呢？

角动量定理 dL作用于刚体的合力对定轴的力 Md/矩,等于刚体对该轴的角动量随时 间的变化率 刚体定轴转动的角动量定理也可以描述为 T Mdt=Ja,-Jo 力矩的时间积 累效应 冲量矩Mdt等于角动量的增量. 对单个质点绕定轴Z做圆周运动,有 =JO=m1xoez=mmez=F×p 青岛科技大学 大学物理讲义

青岛科技大学 大学物理讲义 角动量定理 t L M d d   = 作用于刚体的合力对定轴的力 矩 ，等于刚体对该轴的角动量随时 间的变化率. 刚体定轴转动的角动量定理也可以描述为 2 1 2 1 Mdt J J t t = −  －－冲量矩 M t 等于角动量的增量. t t d 2 1   对单个质点绕定轴Z做圆周运动，有 2 L J mr e rm e r p = = = =    Z Z v 力矩的时间积 累效应

二刚体定轴转动的角动量守恒定律 若M=0,则L=D=常量 讨论 守恒条件M=0 若J不变,ω不变;若J变,O也变,但L=Jo不变. 内力矩不改变系统的角动量 在冲击等问题中∵M∞Me∴L≈常量 角动量守恒定律是自然界的一个基本定律 青岛科技大学 大学物理讲义

青岛科技大学 大学物理讲义 ➢ 角动量守恒定律是自然界的一个基本定律. ➢ 内力矩不改变系统的角动量. ➢ 守 恒条件 M = 0 若 J 不变，  不变；若 J 变，  也变，但 L = J 不变. 若 M = 0 ，则 L J = =  常量 讨论 in ex ➢ 在冲击等问题中 M  M L  常量 二 刚体定轴转动的角动量守恒定律

力矩作功 下面讨论力矩的空间累积效应 de dW=F·dF=Fds=Frdb dw= mde 力矩的功W=Md x 力作功我们熟悉,力矩也作功?它和力作功有什么 区别?力矩作功实质上就是力作功,在刚体定轴 转动时可用力矩表示。 dw de 四力矩的功率 P= M-=MO dt dt 青岛科技大学 大学物理讲义

青岛科技大学 大学物理讲义 dW = Md  = 2 1 d   力矩的功 W M  三 力矩作功 四 力矩的功率 o r  v  F  x v  F  o x r  Ft  r  d 下面讨论力矩的空间累积效应 d t t d d d d W F r F s F r =  = =  力作功我们熟悉，力矩也作功？它和力作功有什么 区别？ 力矩作功实质上就是力作功，在刚体定轴 转动时可用力矩表示。 d d d d W P M M t t  = = = 

五转动动能 E=∑2△m2=②Am)o2=7o2 六刚体绕定轴转动的动能定理 do Md0=Do 丿ada dt Mde j02 2 2 合外力矩对绕定轴转动的刚体所作的功等于刚体 转动动能的增量 青岛科技大学 大学物理讲义

青岛科技大学 大学物理讲义 2 1 2 2 2 1 2 1 d 2 1      W = M = J − J  五 转动动能 2 2 1 i i i Ek = m v 六 刚体绕定轴转动的动能定理  = 2 1 d   W M  合外力矩对绕定轴转动的刚体所作的功等于刚体 转动动能的增量 . 2 2 2 2 1 ( ) 2 1 mi ri  J i =   =   = = 2 1 1 1 d d d d         J t J

动量守恒、机械能守恒和角动量守恒的条件 合外力为零,质点系的动量守恒 dt WE+wnc=E-Eo 外力作功与非保守内力作功之和等 于零时,质点系的机械能守恒 Ms、L作用于刚体的合力对定轴的力矩等 dt 于零时,刚体的角动量守恒 青岛科技大学 大学物理讲义

青岛科技大学 大学物理讲义 d d p F t = 合外力为零，质点系的动量守恒 ex in W W E E + = − nc 0 外力作功与非保守内力作功之和等 于零时，质点系的机械能守恒 作用于刚体的合力对定轴的力矩等 于零时，刚体的角动量守恒 d d L M t = 动量守恒、机械能守恒和角动量守恒的条件

讨论 子细 子弹击入杆 O 弹绳 锥 击质 摆 入量 沙不 mo OLR 袋计 以子弹和沙袋为系统以子弹和杆为系统圆锥摆系统 动量守恒; 动量不守恒;动量不守恒; 角动量守恒; 角动量守恒;角动量守恒; 机械能不守恒 机械能不守恒.机械能守恒 青岛科技大学 大学物理讲义

青岛科技大学 大学物理讲义 v  o  v  o ' o m p  T  R 圆 锥 摆 子 弹 击 入 杆 o v  以子弹和杆为系统 机械能不守恒 . 角动量守恒； 动量不守恒； 以子弹和沙袋为系统 动量守恒； 角动量守恒； 机械能不守恒 . 圆锥摆系统 动量不守恒； 角动量守恒； 机械能守恒 . 讨 论 子 弹 击 入 沙 袋 细 绳 质 量 不 计

例1一半径为R的光滑圆环置于竖直平面内.一质 量为m的小球穿在圆环上,并可在圆环上滑动小球开始 时静止于圆环上的点A(该点在通过环心O的水平面上) 然后从A点开始下滑设小球与圆环间的摩擦略去不计求 小球滑到点B时对环心O的角动量和角速度 解小球下滑的过程中 只有保守力作功,机械能守 恒,有 R mersin 1 O 7 得v=2 rsin 青岛科技大学 大学物理讲义

青岛科技大学 大学物理讲义 例1 一半径为 R 的光滑圆环置于竖直平面内.一质 量为 m 的小球穿在圆环上, 并可在圆环上滑动. 小球开始 时静止于圆环上的点 A (该点在通过环心 O 的水平面上), 然后从 A 点开始下滑.设小球与圆环间的摩擦略去不计.求 小球滑到点 B 时对环心 O 的角动量和角速度. 解 小球下滑的过程中 只有保守力作功，机械能守 恒，有 1 2 sin 2 mgR m  = v v = 2 sin gR  得

7=√2 gRain 于是有 g sin e R R L=a=me2./2g sin 0 R=(2m'gR sine) 青岛科技大学 大学物理讲义

青岛科技大学 大学物理讲义 v = 2 sin gR  ( ) 1/ 2 2 2 3 2 sin 2 sin g L J mR m gR R  = =  =   2 sin g R R   = = v 于是有