第九章第四节重积分的应用一、立体体积二、 曲面的面积三、 物体的质心四、物体的转动惯量五、物体的引力O0000x机动目录上页下页返回结束
第四节 一、立体体积 二、曲面的面积 三、物体的质心 四、物体的转动惯量 五、物体的引力 机动 目录 上页 下页 返回 结束 重积分的应用 第九章
1.能用重积分解决的实际问题的特点分布在有界闭域上的整体量所求量是对区域具有可加性2.用重积分解决问题的方法·用微元分析法（元素法）·从定积分定义出发建立积分式3.解题要点确定积分序画出积分域、选择坐标系、定出积分限、计算要简便00000x机动自录上页下页返回结束
1. 能用重积分解决的实际问题的特点 所求量是 对区域具有可加性 • 从定积分定义出发建立积分式 • 用微元分析法 (元素法) 分布在有界闭域上的整体量 3. 解题要点 画出积分域、选择坐标系、确定积分序、 定出积分限、计算要简便 2. 用重积分解决问题的方法 机动 目录 上页 下页 返回 结束
一、立体体积·曲顶柱体的顶为连续曲面 z=f(x,y),(x,y)ED则其体积为V = J,f(x, y)dxdy·占有空间有界域Q的立体的体积为Vdxd ydzJO0000?机动目录上页下页返回结束
一、立体体积 • 曲顶柱体的顶为连续曲面 则其体积为 = D V f (x, y)dxdy • 占有空间有界域 的立体的体积为 V = dxdydz 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1.求曲面Si:z=x2+y2+1任一点的切平面与曲面S2:z=x2+y所围立体的体积V.解：曲面S,在点（xo，yo,zo)的切平面方程为z =2xox+2yoy+1-x -y%它与曲面z=x2+y2的交线在 xoy面上的投影为(x-xo）+(-o）=1（记所围域为D）JJ,[2xox+2yoy+1-xo? - yo2-x? - y2]d xd yV= JJ,[1- ((x-xo)2 +(y-yo)2)]dxd y令x-xo =rcos，yyo=rsin2元元JJ,r? .r d r d O=π -元doJOOeolDi0X机动目录上页下页返回结束
任一点的切平面与曲面 所围立体的体积 V . 解: 曲面 S1 的切平面方程为 2 0 2 2 0 2 0 1 0 z = x x + y y + − x − y 它与曲面 的交线在 xoy 面上的投影为 ( ) ( ) 1 2 0 2 x − x0 + y − y = V x y D d d = 2 2 − x − y 2 0 2 2 0 2 0 1 0 x x + y y + − x − y x y D 1 d d = − ( ) 2 0 2 0 (x − x ) + ( y − y ) = − 令 x − x0 = r cos , y − y0 = rsin 2 = (记所围域为D ) 在点 D r r d r d 2 例1. 求曲面 = − d r d r 1 0 3 2 0 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例2.求半径为α的球面与半顶角为α的Z2a内接锥面所围成的立体的体积iM解：在球坐标系下空间立体所占区域为0≤r ≤2acos ΦQ: 0≤0≤αy0x0≤0≤2元dv= r? singdodpdr则立体体积为2元2acosgαr2drV=dedxd ydsin00CJO3316元 a4元αacos @sin@d@αCOS3JO3O0000x机动自录上页下页返回结束
x o y z 2a 例2. 求半径为a 的球面与半顶角为 的 内接锥面所围成的立体的体积. 解: 在球坐标系下空间立体所占区域为 : 则立体体积为 V = dxdydz 2 cos 0 2 d a r r cos sin d 3 16 0 3 3 = a (1 cos ) 3 4 4 3 = − a 0 r 2a cos 0 0 2 0 sin d = 2 0 d dv r sin d d dr 2 = r M 机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、曲面的面积nY设光滑曲面 S:z=f(x,y),(x,y)EDMS则面积A可看成曲面上各点M(x,y,z)处小切平面的面积dA无限积累而成0设它在 D上的投影为 d，则dajxdo = cosy·d A12ncOSy/1+ f?(x, y)+ f,?(x, y)didA=1+ fx2(x,y)+f,2(x,y) doM do(称为面积元素)oe000x机动目录上页下页返回结束
M d A z d n 二、曲面的面积 x y z S o 设光滑曲面 则面积 A 可看成曲面上各点 M (x, y,z) 处小切平面的面积 d A 无限积累而成. 设它在 D 上的投影为 d , d = cos d A 1 ( , ) ( , ) 1 cos 2 2 f x y f x y + x + y = d 1 ( , ) ( , ) d 2 2 A f x y f x y = + x + y (称为面积元素) 则 M n d 机动 目录 上页 下页 返回 结束
故有曲面面积公式A= (l/1+ fx?(x,y)+ f,?(x,y) do即A= J]Ddxdy若光滑曲面方程为 x= g(y,z),(y,z)ε Dyz,则有2dvdzO0000x机动自录上页下页返回结束
故有曲面面积公式 1 ( , ) ( , ) d 2 2 = + + D x y A f x y f x y x y y z x z A D 1 ( ) ( ) d d 2 2 + = + 若光滑曲面方程为 ( , ) , ( , ) , Dy z x = g y z y z 则有 Dy z 即 机动 目录 上页 下页 返回 结束
若光滑曲面方程为 =h(z,x),(z,x)ε Dzx,则有)2 dzd x0xdz若光滑曲面方程为隐式 F(x,y,z)=0,且 F,≠0,则FFazaz1x(x, y) e DxyFaxFayZVF?+F,?+F?4dxd 1F2DxyOe00x机动目录上页下页返回结束
z x x y z y A 1 ( ) ( ) d d 2 2 + = + 若光滑曲面方程为 ( , ) , ( , ) , Dz x y = h z x z x 若光滑曲面方程为隐式 则 则有 x y z y z x x y D F F y z F F x z = − = − , , ( , ) A = Dx y Dz x z x y z F F F F 2 2 2 + + 且 dxd y 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例3.计算双曲抛物面z=xy被柱面2+2=R2所截出的面积 A,解：曲面在xoy面上投影为D:x2+2≤R2,则/1+zx?+z,? dxdyA=(LDJ/, /1+x? + y? dxdy2元1+r2rdrdeJO2[(1+ R2) -1)]T3O0000X机动自录上页下页返回结束
例3. 计算双曲抛物面 被柱面 所截 解: 曲面在 xoy 面上投影为 : , 2 2 2 D x + y R 则 A z z x y D x y 1 d d 2 2 = + + x y x y D 1 d d 2 2 = + + r r r R d 1 d 0 2 2 0 = + [(1 ) 1)] 3 2 2 3 2 = + R − 出的面积 A . 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例4．计算半径为 α的球的表面积asin @de解：方法1利用球坐标方程7de设球面方程为 r=αasing球面面积元素为dA=a? sin@dpdeadp?2元元y2deHA三LsinpdgdJoJOX2=4元α方法2利用直角坐标方程 (略)Oe000x机动目录上页下页返回结束
例4. 计算半径为 a 的球的表面积. 解: 设球面方程为 r = a 球面面积元素为 d sin d d 2 A = a = 0 2 0 2 A a d sin d 2 = 4 a asin ad 方法2 利用直角坐标方程. (略) 方法1 利用球坐标方程. a x y z o d asind 机动 目录 上页 下页 返回 结束