第八章第二节偏导数全微分偏导数概念及其计算二、高阶偏导数三、全微分oeloloo机动目录上页下页返回结束
第二节 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、 偏导数概念及其计算 二 、高阶偏导数 偏导数与全微分 第八章 三 、全微分
偏导数定义及其计算法一、1引例：研究弦在点xo处的振动速度与加速度，就是将振幅u(x,t)中的 x固定于 xo处,求u(xo,t)关于 t的一阶导数与二阶导数u(xo,t)uu(x,t)Xo0x10000x机动目录上页下页返回结束
一、 偏导数定义及其计算法 引例: 研究弦在点 x0 处的振动速度与加速度 , 就是 u(x, t) 0 o x x u 中的 x 固定于 求 一阶导数与二阶导数. x0 处, ( , ) 0 u x t 关于 t 的 机动 目录 上页 下页 返回 结束 将振幅
定义1.设函数 z= f(x,y)在点(xoyo）的某邻域内f(xo + △x, yo) - f(xo, yo)极限limAxAr-0存在,则称此极限为函数 z= f(x,y)在点（xo,yo）对xozaf的偏导数，记为0 x(xo, yo)"0 x(xo, yo)XVo.fi(xo, yo) ; fi(xo, yo) f(xo + △x, yo) - f(xo, yo)注意：f(x,o)= limAx△x-→0d(x.yox=Xodx10000x机动自录上页下页返回结束
定义1. z = f (x, y) 在点 存在, z f (x, y) 在点(x , y ) 对x = 0 0 的偏导数，记为 ( , ) 0 0 x y 的某邻域内 ; ( , ) 0 0 x x y f x + x 0 0 x 则称此极限为函数 极限 设函数 f (x0 ) = ( ) ( ) 0 0 f x + x − f x x 0 lim x→ x 0 0 ( , ) ; x x y z d 0 d x x x y = = ( , ). 1 0 0 f x y 机动 目录 上页 下页 返回 结束 x f x x y f x y x + − = → ( , ) ( , ) lim 0 0 0 0 0 0 0 ( , ) x 注意: f x y
同样可定义对y的偏导数f(xo, yo + Ay) - f(xo, Yo )J;(xo,yo)= lim y→0Ayd=ydy若函数z=f(x，）在域D内每一点（x，)处对x或偏导数存在，则该偏导数称为偏导函数，也简称为Oz, z, J(x,y), J(x,y)偏导数，记为0x0xaz,=, (x,y), f(x,y)ayayleol0x机动自录上页下页返回结束
同样可定义对 y 的偏导数 lim →0 = y 0 0 ( , ) y f x y 若函数 z = f ( x , y ) 在域 D 内每一点 ( x , y ) 处对 x 则该偏导数称为偏导函数, 也简称为 偏导数 , 2 ( , ) , ( , ) y f x y f x y ( , ) 0 f x ( , ) 0 − f x y 记为 y + y 0 0 y 机动 目录 上页 下页 返回 结束 或 y 偏导数存在 , , , , y z f z y y
偏导数的概念可以推广到二元以上的函数例如,三元函数u=f(x，,z)在点(x，，z)处对x的偏导数定义为f(x+△x, y,z) - f(x, y, z)f'(x,y,z) = lim△x△r→0fi(x, y,2)=?(请自己写出)f'(x, y,z) =?Oo00X机动目录上页下页返回结束
例如, 三元函数 u = f (x , y , z) 在点 (x , y , z) 处对 x 的 偏导数的概念可以推广到二元以上的函数 . x x + x ( , , ) ? y f x y z = ( , , ) ? z f x y z = x 机动 目录 上页 下页 返回 结束 偏导数定义为 (请自己写出)
二元函数偏导数的几何意义：7dafMx=Xoaxdxx =Xy=yoT1z= f(x,V在点M处的切线是曲线y= yoVOMoT对 x轴的斜率xodafxx=XooydyVOy=yoz = f(x,y)在点Mo处的切线 M.T,对y轴的是曲线x = xo斜率oleoe机动自录上页下页返回结束
二元函数偏导数的几何意义: 0 0 ( , ) d d 0 0 x x f x y x x f x x y y = = = = = = 0 ( , ) y y z f x y M0Tx 0 0 ( , ) d d 0 0 y y f x y y y f x x y y = = = = 是曲线 M0Ty 在点 M0 处的切线 对 x 轴的斜率. 在点M0 处的切线 斜率. 是曲线 y x z 0 x Ty o Tx 0 y M0 机动 目录 上页 下页 返回 结束 对 y 轴的
注:函数在某点各偏导数都存在但在该点不一定连续xy+y±0O例如,z= f(x,y)=x~+y0+v~=0x2d显然f(0, 0)0:0dxx :d=0f'(0, 0)f(0, y)y=0dy在上节已证f(x，y)在点(O,0)并不连续！10ool0x上节例目录上页下页返回结束
函数在某点各偏导数都存在, 显然 例如, + = + = = + 0 , 0 , 0 ( , ) 2 2 2 2 2 2 x y x y x y xy z f x y = 0 = 0 注: 但在该点不一定连续. 上节例 目录 上页 下页 返回 结束 在上节已证 f (x , y) 在点(0 , 0)并不连续!
例1.求z=x2+3xy+2在点(1,2)处的偏导数azaz解法1:=2x+3y,3x+2yaxoyozOz2.1+3.2=8.=3.1+2.2= 70y|(1,2)0x (1,2)解法2:y=2= x~ +6x+47az(2x + 6)一0x/(1, 2)[x=1 = 1+3y+y2Oz(1, 2)= (3 + 2y)J=2 = 7-O1o0x机动自录上页下页返回结束
例1 . 求 2 2 z = x + 3xy + y 解法1: = x z x (1,2) z 解法2: x (1, 2) z 在点(1 , 2) 处的偏导数. y (1, 2) z 2x + 3y , = y z 3x + 2y y (1,2) z 6 4 2 = x + x + x=1 z 2 =1+ 3y + y y=2 z 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例2. 设z=x（x>0, 且x≠D,求证1 ozx Oz2zyoxIn x OyOzOz3证:ln x-oyOx1x OzOz=xy+x=2zInx Oyyx例3. 求r=/? +y2的偏导数+ z2xarx解:?2 /x? + y22axr+ZOrOrZyoyOzrreooox机动目录上页下页返回结束
例2. 设 z = x y ( x 0, 且 x 1）， z y z x x z y x 2 ln 1 = + 证: y z x x z y x + ln 1 例3. 求 的偏导数 . 解: = x r 求证 = 2z 2 2 2 2 x + y + z 2x r x = r z z r = 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例4．已知理想气体的状态方程pV=RT(R为常数),aTavap求证：avaTopRTRTop证:p2说明：此例表明VavRT偏导数记号是一个RavVaTp整体记号，不能看作pOTpVV分子与分母的商！T.RopRRTaTavapavaTpvapOeo0x机动目录上页下页返回结束
偏导数记号是一个 例4. 已知理想气体的状态方程 求证: = −1 p T T V V p 证: , V RT p = , p RT V = = p T T V V p 说明: (R 为常数) , = V p 2 V RT − = T V p R pV RT − = −1 不能看作 分子与分母的商 ! 此例表明, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 整体记号