第八章第五节多元函数的极值及其求法一、多元函数的极值二、最值应用问题三、条件极值Oe00X机动目录上页下页返回结束
第八章 第五节 一、多元函数的极值 二、最值应用问题 三、条件极值 机动 目录 上页 下页 返回 结束 多元函数的极值及其求法
多元函数的极值一定义:若函数 z=f(x,y)在点(xo,yo)的某邻域内有f(x,y)≤ f(xo,yo) (或 f(x,y) ≥ f(xo,yo))则称函数在该点取得极大值（极小值）.极大值和极小值统称为极值，使函数取得极值的点称为极值点例如：z=3x2+42在点(0,0)有极小值;z=-/x2+y2在点(0,0)有极大值;z=xy在点(0,0)无极值Oe000X机动目录上页下页返回结束
x y z 一、 多元函数的极值 定义: 若函数 则称函数在该点取得极大值(极小值). 例如 : 在点 (0,0) 有极小值; 在点 (0,0) 有极大值; 在点 (0,0) 无极值. 极大值和极小值 统称为极值, 使函数取得极值的点称为极值点. 的某邻域内有 x y z x y z 机动 目录 上页 下页 返回 结束
函数z= f(x,y)在点(xo,yo)存在定理1（必要条件）且在该点取得极值，则有偏导数，fi(xo, yo) = 0, f(xo, yo) = 0证:因z=f(x,J)在点(xo,yo）取得极值,故z= f(x,yo)在 x=xo取得极值z= f(xo,)在y=yo取得极值据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立说明：使偏导数都为0的点称为驻点，但驻点不一定是极值点例如，z=xy有驻点（0,0），但在该点不取极值oe000x机动目录上页下页返回结束
说明: 使偏导数都为 0 的点称为驻点 . 例如, 定理1 (必要条件) 函数 偏导数, 证: 据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立. ( , ) 0 , ( , ) 0 f x x0 y0 = f y x0 y0 = 取得极值 , 取得极值 取得极值 但驻点不一定是极值点. 有驻点( 0, 0 ), 但在该点不取极值. 且在该点取得极值 , 则有 存在 故 机动 目录 上页 下页 返回 结束
定理2(充分条件)若函数 z= f(x,J)在点(xo,yo)的的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数，且fi(xo , yo) = 0 , f(xo , yo) = 0令A= f"(xo, yo), B= f(xo, yo), C = f(xo, o)A0时,具有极值A>0 时取极小值2)当AC-B2<0时,没有极值,3)当AC-B2=0时,不能确定,需另行讨论oe000x机动目录上页下页返回结束
时, 具有极值 定理2 (充分条件) 的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, 且 令 则: 1) 当 A0 时取极小值. 2) 当 3) 当 时, 没有极值. 时, 不能确定 , 需另行讨论. 若函数 z = f (x, y) 在点(x0 , y0 )的 0 0 0 0 ( , ) 0 , ( , ) 0 x y f x y f x y = = 0 0 0 0 0 0 ( , ) , ( , ) , ( , ) A f x y B f x y C f x y xx xy yy = = = 0 2 AC − B 0 2 AC − B 0 2 AC − B = 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1.求函数f(x,J)=x3-y3+3x2+3y2=9x的极值解：第一步求驻点fi(x,y)=3x2 +6x -9= 0解方程组J(x,y)= -3y2 +6y =0得驻点:(1,0)，（1,2),(-3,0)，（-3,2)CB第二步判别．求二阶偏导数f(x,y)=6x+6, f(x,y)=0, f(x,y)=-6y+6在点(1,0)处 A=12,B=0,C=6,AAC-B2=12×6>0, A>0,:f(1,0)=-5为极小值;O0000?机动自录上页下页返回结束
例1. 求函数 解: 第一步 求驻点. 得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (–3, 0) , (–3, 2) . 第二步 判别. 在点(1,0) 处 为极小值; 解方程组 A B C 的极值. 求二阶偏导数 ( , ) 6 6, x x f x y x = + ( , ) 0, x y f x y = ( , ) 6 6 y y f x y y = − + 12 6 0, 2 AC − B = A 0, 机动 目录 上页 下页 返回 结束
在点(1,2) 处 A=12,B =0, C =-6AC-B2 =12×(-6)0, A<0.:f(-3,2)=31为极大值f"(x, y)=6x+6, f"(x,y)=0, f"(x,y)=-6y+6CABOe000?机动目录上页下页返回结束
在点(−3,0) 处 不是极值; 在点(−3,2) 处 为极大值. 12 6 0, 2 AC − B = − 12 ( 6) 0, 2 AC − B = − − A 0, 在点(1,2) 处 12 ( 6) 0, 不是极值; 2 AC − B = − A B C 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( , ) 6 6, x x f x y x = + ( , ) 0, x y f x y = ( , ) 6 6 y y f x y y = − +
例2.讨论函数z=x3+及z=(x2+2)2在点(0,0)是否取得极值解：显然（0,0）都是它们的驻点，并且在（0,0）都有AC-B2=0Zz=x3 +y3 在(0,0)点邻域内的取值0正yX可能为 人负，因此z(0,0)不是极值0当x2 +20时, z=(x2 +2)2>zZ(0,0) = 0因此 z(0,0)=(x2 +2)[(0,0)=0为极小值oe000x机动自录上页下页返回结束
例2.讨论函数 及 是否取得极值. 解: 显然 (0,0) 都是它们的驻点 , 在(0,0)点邻域内的取值 , 因此 z(0,0) 不是极值. 因此 0 , 当x 2 + y 2 时 2 2 2 z = (x + y ) 0 z (0,0) = 为极小值. 正 负 0 在点(0,0) x y z o 并且在 (0,0) 都有 可能为 机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、最值应用问题依据函数f在闭域上连续函数f在闭域上可达到最值驻点最值可疑点边界上的最值点特别，当区域内部最值存在，且只有一个极值点P时f(P)为极小(大) 值 > f(P)为最小(大)值O0000?机动目录上页下页返回结束
二、最值应用问题 函数 f 在闭域上连续 函数 f 在闭域上可达到最值 最值可疑点 驻点 边界上的最值点 特别, 当区域内部最值存在, 且只有一个极值点P 时, f (P) 为极小(大) 值 f (P) 为最小(大) 值 依据 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例3.某厂要用铁板做一个体积为2m的有盖长方体水问当长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省？2m,解：设水箱长,宽分别为x，ym,则高为xy则水箱所用材料的面积为x>0A=2(x++×)=2(y++)v>0Ax = 2(y- )= 07得驻点（3/2,3/2)今02(x -根据实际问题可知最小值在定义域内应存在，因此可断定此唯一驻点就是最小值点．即当长、宽均为3/22高为=3/2时，水箱所用材料最省3/2.3/2Oe000?机动目录上页下页返回结束
例3. 解: 设水箱长,宽分别为 x , y m ,则高为 则水箱所用材料的面积为 令 得驻点 某厂要用铁板做一个体积为2 根据实际问题可知最小值在定义域内应存在, 的有盖长方体水 问当长、宽、高各取怎样的尺寸时, 才能使用料最省? m, 2 x y ( ) x y x y 2 2 = 2 + + 2( ) 0 2 2 = − = x x A y 2( ) 0 2 2 = − = y y A x 因此可 断定此唯一驻点就是最小值点. 即当长、宽均为 高为 时, 水箱所用材料最省. ( 2 , 2) 3 3 3 2 3 2 2 2 2 3 3 = 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例4.有一宽为24cm的长方形铁板，把它折起来做成一个断面为等腰梯形的水槽，问怎样折法才能使断面面积最大解：设折起来的边长为xcm，倾角为α，则断面面积为(24-2x + 2xcos α + 24-2x)· xsinα4= 24x sin α - 2x? sin α + x? cos α sin α(D: 0<x<12,0<α<号)2424-2xO000X机动目录上页下页返回结束
例4. 有一宽为 24cm 的长方形铁板 ,把它折起来做成 解: 设折起来的边长为 x cm, 则断面面积 x 24 一个断面为等腰梯形的水槽, 倾角为 , (24 − 2x + 2x cos 2 1 ) xsin 24 sin 2 sin cos sin 2 2 = x − x + x 24−2x x 积最大. ( : 0 12, 0 ) 2 D x 为 问怎样折法才能使断面面 机动 目录 上页 下页 返回 结束