第七章向量代数与空间解析几何第一部分向量代数第二部分空间解析几在三维空间中空间形式一点，线，面-数量关系一 坐标,方程（组）基本方法一坐标法；向量法
数量关系 — 第七章 第一部分 向量代数 第二部分 空间解析几何 在三维空间中: 空间形式 — 点, 线, 面 基本方法 — 坐标法; 向量法 坐标, 方程（组） 向量代数与空间解析几何
第七章第一节向量及其线性运算空间直角坐标系"-imi向量的概念向量的线性运算四、向量的坐标五、两向量的数量积和方向余弦共向量的向量积和混合积o0000x机动目录上页下页返回结束
四、向量的坐标 第一节 二、向量的概念 三、向量的线性运算 六、向量的向量积和混合积 机动 目录 上页 下页 返回 结束 向量及其线性运算 第七章 一、空间直角坐标系 五、两向量的数量积和方向余弦
一、空间直角坐标系1.空间直角坐标系的基本概念过空间一定点o,由三条互相垂直的数轴按右手规则组成一个空间直角坐标系z z轴(竖轴)II·坐标原点ⅡI·坐标轴yoz面IV1zox面·坐标面yoxoy·卦限(八个)y轴(纵轴)VI1VIx轴(横轴)VVIIO0000x机动目录上页下页返回结束
Ⅶ Ⅱ Ⅲ Ⅵ x y z Ⅴ Ⅷ Ⅳ 一、空间直角坐标系 由三条互相垂直的数轴按右手规则 组成一个空间直角坐标系. • 坐标原点 • 坐标轴 x轴(横轴) y轴(纵轴) z 轴(竖轴) 过空间一定点 o , o • 坐标面 • 卦限(八个) xoy面 yoz面 1. 空间直角坐标系的基本概念 机动 目录 上页 下页 返回 结束 Ⅰ
在直角坐标系下点 M<-l→有序数组(x,,z)<-l→向径(称为点M的坐标特殊点的坐标：原点 0(0,0,0);坐标轴上的点PQ，R;坐标面上的点A，B，CZB(0,y,z)R(0,0, z)MC(x,0,z)Q(0, y,0)A(x, y,0)xP(x,0,0)Oe000x机动目录上页下页返回结束
x y z o 向径 在直角坐标系下 1−⎯−1→ 坐标轴上的点 P, Q , R ; 坐标面上的点 A , B , C 点 M 特殊点的坐标 : 有序数组 (x, y,z)1−⎯−1→ P(x,0,0) Q(0, y,0) R(0,0,z) A(x, y,0) B(0, y,z) C(x,o,z) (称为点 M 的坐标) 原点 O(0,0,0) ; r r 机动 目录 上页 下页 返回 结束 M
Z坐标轴：y=0x轴z=0yz=0轴xx=0x=0坐标面：z轴←xoy面z=0J=0yoz面x= 0zox面台y=0oe000x机动自录上页下页返回结束
坐标轴 : 坐标面 : 机动 目录 上页 下页 返回 结束 x y z o
2.两点间的距离设M(x1,J1,z1),M2(x2,2,z2)是空间两点15过M,和M,分别作垂直于x轴，y轴Z1M2z轴的平面，这些平面围成一个以PM,M,为对角线的长方体.该长方体N各棱的长度分别为M[x2 - Xi], [y2 - yi], [22 - z1]V1Vy所以I M,M,= /IM,PP +IPNP +INM, 13= /(x2 -x1)2 +(y2 -y1) +(z2 -z)特例：从O(0,0,0)到M(x,y,z)的距离为：1OM = /x2 + y2 +z?Oe000?机动目录上页下页返回结束
2. 两点间的距离 设M1 (x1 , y1 , z1 ), M2 (x2 , y2 , z2 )是空间两点 过M1和M2分别作垂直于x 轴, y 轴, z 轴的平面, 这些平面围成一个以 各棱的长度分别为: M1M2 为对角线的长方体. 该长方体 |x2 - x1 |, |y2 - y1 |, |z2 - z1 | 所以 特例: 从O (0,0,0)到M (x , y , z)的距离为: 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 1 2 1 ( ) ( ) ( ) | | | | | | | | x x y y z z M M M P PN NM = − + − + − = + + 2 2 2 | | OM x y z = + + y x z y1 x1 z1 x2 y2 M1 z2 M2 o N P 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1.求证以M,(4,3,1),M2(7,1,2),M,(5,2,3)为顶点的三角形是等腰三角形证:: [MjM2|= /(7- 4)2 +(1-3)?+(2-1)2 = ~/14M2M3|= /(5-7)2+(2-1)2 +(3-2)2 = ~6MjM3|=/(5-4)2 +(2-3)2+(3-1)2 = ~/6M3MM2M3|=MiM3即△M,MM3 为等腰三角形M2O0000?机动目录上页下页返回结束
例1. 求证以 证: M1 M2 M3 M1M2 = 2 (7 − 4) 2 + (1− 3) 2 + (2 −1) = 14 M2M3 = 2 (5 − 7) 2 + (2 −1) 2 + (3− 2) = 6 M1M3 = 2 (5 − 4) 2 + (2 − 3) 2 + (3−1) = 6 M2M3 = M1M3 即 M1M2M3 为等腰三角形 . 的三角形是等腰三角形 . 为顶点 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例2.在 z 轴上求与两点A(-4,1,7)及B(3,5,-2)等距离的点解：设该点为M(O,0,z),因为MA=MBV(-4)? +12+(7- z)2 = / 32 + 52 +(-2-z)2解得z=号,故所求点为M(0,0,)思考:(1)如何求在xoy面上与A，B等距离之点的轨迹方程？(2)如何求在空间与A，B等距离之点的轨迹方程？O0000x机动目录上页下页返回结束
例2. 在 z 轴上求与两点 等距 解: 设该点为 M (0,0,z), 因为 M A = MB , 2 (−4) 2 +1 2 + (7 − z) = 2 3 2 + 5 2 + (−2 − z) 解得 故所求点为 及 (0,0, ). 9 M 14 思考: (1) 如何求在 xoy 面上与A , B 等距离之点的轨迹方程? (2) 如何求在空间与A , B 等距离之点的轨迹方程 ? 离的点 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、 向量的概念向量：既有大小，又有方向的量称为向量量 (又称矢量)表示法：有向线段M,M,或a，或a.向量的模：向量的大小,记作M,M2，或a,或a起点为原点的向量向径 (矢径):自由向量：与起点无关的向量M2模为1的向量，记作α°或a°单位向量：M零向量：模为0的向量，记作0,或0O0000?机动目录上页下页返回结束
表示法: 向量的模 : 向量的大小, 二、向量的概念 向量: (又称矢量). M1 M2 既有大小, 又有方向的量称为向量 向径 (矢径): 自由向量: 与起点无关的向量. 起点为原点的向量. 单位向量: 模为 1 的向量, 零向量: 模为 0 的向量, 有向线段 M1 M2 , 或 a , 机动 目录 上页 下页 返回 结束
若向量a与 b大小相等,方向相同，则称a与b相等记作a=b:若向量a与b方向相同或相反，则称a与b平行,记作a/b：规定：零向量与任何向量平行；与的模相同，但方向相反的向量称为 α的负向量记作-a;因平行向量可平移到同一直线上，故两向量平行又称两向量共线若k(3)个向量经平移可移到同一平面上，则称此k个向量共面O0000x机动自录上页下页返回结束
规定: 零向量与任何向量平行 ; 若向量 a 与 b大小相等, 方向相同, 则称 a 与 b 相等, 记作 a＝b ; 若向量 a 与 b 方向相同或相反, 则称 a 与 b 平行, a∥b ; 与 a 的模相同, 但方向相反的向量称为 a 的负向量, 记作 因平行向量可平移到同一直线上, 故两向量平行又称 两向量共线 . 若 k (≥3)个向量经平移可移到同一平面上 , 则称此 k 个向量共面 . 记作－a ; 机动 目录 上页 下页 返回 结束