第六章习题课级数的收敏、求和与展开一、数项级数的审敛法二、求幂级数收敛域的方法三、幂级数和函数的求法四、 é函数的幂级数和付式级数展开法oeoox机动目录上页下页返回结束
习题课 级数的收敛、求和与展开 机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、幂级数和函数的求法 四、函数的幂级数和付式级数 展开法 一、数项级数的审敛法 二、求幂级数收敛域的方法 第六章
80求和Zun(x)S(x)(在收敛域内进行)展开n=0当x=xo时为数项级数8Zun(x)当un(x)=anxn E时为幂级数：1n=0当un(x) = an cos nx + bn sinnx(an,bn为傅氏系数)时，为傅立叶级数基本问题：判别敛散；求收敛域；求和函数；级数展开Oeo0x机动目录上页下页返回结束
求和 展开 (在收敛域内进行) 基本问题：判别敛散； 求收敛域； 求和函数； 级数展开. 为傅氏系数) 时, 为傅立叶级数. 时为数项级数; 时为幂级数; an bn ( , 机动 目录 上页 下页 返回 结束
一、数项级数的审敛法1.利用部分和数列的极限判别级数的敛散性2.正项级数审敛法发散必要条件limun=0不满足n>8满足Un+l比值审敛法lim部分和极限0unn-001+0比较审敛法不定用它法判别根值审敛法limun=p积分判别法n-0p1收敛发散Oe000?机动自录上页下页返回结束
一、数项级数的审敛法 1. 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性 2. 正项级数审敛法 必要条件 lim = 0 → n n u 不满足 发 散 满足 比值审敛法 lim n→ un+1 un = 根值审敛法 = → n n n lim u 1 收 敛 发 散 =1 不定 比较审敛法 用它法判别 积分判别法 部分和极限 1 机动 目录 上页 下页 返回 结束
3.任意项级数审敛法8Zun为收敛级数概念：n=188ZI若尔un绝对收敛un收敛，称n=1n=188lunl若|发散，称un条件收敛n=1n=1若un≥un+1 >0，且 lim un=0,Leibniz判别法：n>008(-1)"un 收敛,且余项|rn|≤un+1则交错级数n=1oe000x机动自录上页下页返回结束
3. 任意项级数审敛法 为收敛级数 Leibniz判别法: 若 且 则交错级数 收敛 , 概念: 且余项 若 收敛 , 称 绝对收敛 若 发散 , 称 条件收敛 机动 目录 上页 下页 返回 结束
88例1.若级数an与b均收敛,且αn≤c≤bn=1n=18Zcn收敛(n=1,2,.)，证明级数n=1证：0≤cn-αan≤bn-αn(n=l,2,),则由题设88Z(bnan) 收敛 Z(cn-αn) 收敛n=1n=1cn=[(cn-an)+an]n=1 n=188=(cn-αn)+αn 收敛n=1n=1O000X机动目录上页下页返回结束
例1. 若级数 均收敛 , 且 证明级数 收敛 . 证: n n n n 0 c − a b − a (n =1, 2 , ), 则由题设 ( ) 1 n n bn − a = 收敛 ( ) 1 n n n c − a = 收敛 [( ) ] 1 n n n n = c − a + a = ( ) 1 n n n = c − a = = + n 1 n a 收敛 机动 目录 上页 下页 返回 结束
解答提示：例2.判别下列级数的敛散性2n元81(n!)2ncos3(2) Z(3) Z(I) Z2nVNn2nn=1n=1nn881O(5) Z(a>0, s >0)>(4)S10n=1 nn=2ln1° n提示:（1）：lim/n=1，V>0,N，当n>N时,有n>80111-</n<l+nn/nn(1+)因调和级数发散,据比较判别法，原级数发散oe000x机动目录上页下页返回结束
解答提示: 例2. 判别下列级数的敛散性: 提示: (1) lim =1, → n n n 1− 1+ n n 因调和级数发散, 据比较判别法, 原级数发散 . 0 , N , 机动 目录 上页 下页 返回 结束
(n!)?(2) ≥利用比值判别法，可知原级数发散2nn=18n>收敛用比值法，可判断级数2n元8ncOSn=12h3(3) Z2n再由比较法可知原级数收敛n=l81Z(4)因 n 充分大时Z=发散,1010n=2lnnnIn'nn=2n原级数发散qh8(5) Z(α>0,s>0)：用比值判别法可知：n=insα1时发散S>1 时收敛：aα =1 时,与p级数比较可知S≤1 时发散O0000?机动目录上页下页返回结束
利用比值判别法, 可知原级数发散. 用比值法, 可判断级数 因 n 充分大时 , ln 1 1 10 n n ∴原级数发散 . : 2 cos (3) 1 3 2 n= n n n (5) ( 0, 0): 1 = a s n a n s n 用比值判别法可知: 时收敛 ; 时, 与 p 级数比较可知 s 1 时收敛; 时发散. 再由比较法可知原级数收敛 . s 1 a 1 a 1 时发散. a =1 发散, 收敛, 机动 目录 上页 下页 返回 结束
88un和vn都收敛,证明级数例3.设正项级数n=1n=18Z(un+vn)也收敛.n=1提示:因 lim un= lim vn =O,:.存在 N>0,当n >N时n-0n->0又因(un +Vn)≤2(un2+Vn)N)利用收敛级数的性质及比较判敛法易知结论正确O0000?机动目录上页下页返回结束
例3. 设正项级数 和 也收敛 . 提示: 因 lim = lim = 0 , → → n n n n u v 存在 N > 0, 又因 2( ) 2 2 n n u + v 利用收敛级数的性质及比较判敛法易知结论正确. 都收敛, 证明级数 当n >N 时 机动 目录 上页 下页 返回 结束
88Zun收敛,且 lim=1,问级数例4.设级数Vn1n-> Unn=1n=1是否也收敛？说明理由8vn收敛,提示：对正项级数,由比较判别法可知n=1但对任意项级数却不一定收敛·例如，取(-1)n(-1)n1uV+nVnnVn(-1)nV.:1lim1inn-> UnVnn→888级数un收敛，级数yn发散n=1n=1Oe0DX机动目录上页下页返回结束
例4. 设级数 收敛 , 且 是否也收敛？说明理由. 但对任意项级数却不一定收敛 . 问级数 提示: 对正项级数,由比较判别法可知 级数 收敛 , n n n u v → lim 收敛, 级数 发散 . n n n ( 1) 1 lim − = + → =1 例如, 取 n n v n n ( 1) 1 + − = 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例5.讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性881Z(-1)+ in益;-(1) Z(-1)"(2) h+1hpn=1n=1880n+1Z(-1)n (n + 1)!(3) Z(-1)" ln(4)n+1nnn=1n=1提示：（1）P>1 时,绝对收敛;0 <p≤1 时,条件收敛;p≤0 时, 发散81Z收敛,故(2）因各项取绝对值后所得强级数n+1n=1元原级数绝对收敛Oe000?机动自录上页下页返回结束
; 1 (3) ( 1) ln 1 = + − n n n n 例5. 讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性: ; sin (2) ( 1) 1 1 1 1 = + + + − n n n n 提示: (1) P >1 时, 绝对收敛 ; 0 < p ≤1 时, 条件收敛 ; p≤0 时, 发散 . (2) 因各项取绝对值后所得强级数 原级数绝对收敛 . 故 机动 目录 上页 下页 返回 结束 , 1 1 1 收敛 = + n n