第四章第三节定积分的应用(1)一几何上微元法一平面图形的面积1三平面曲线的弧长四、已知平行截面面积函数的立体体积五、旋转体的侧面积 (补充)0l0ol00x机动目录上页下页返回结束
五、 旋转体的侧面积 (补充) 四、已知平行截面面积函数的 立体体积 第三节 二、 平面图形的面积 三、 平面曲线的弧长 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定积分的应用(1)—几何上 第四章 一、 微元法
一、微元法1)所求量 U 是与区间[α,b]上的某分布 f(x) 有关的一个整体量；2)U对区间「α，b]具有可加性,部分量具有线性性即可通过“分割，近似求和，取极限”n表示为U = limZ f(si)Axi2-0i-1nb定积分定义f(x)dx= limZ f()Ax;2-0i-1oleololox机动自录上页下页返回结束
表示为 一、微元法 1) 所求量 U 是与区间[a , b]上的某分布 f (x) 有关的 2) U 对区间 [a , b] 具有可加性, 部分量具有线性性. 即可通过 “分割, 近似求和, 取极限” 定积分定义 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一个整体量 ;
微元法解决问题的步骤：第一步利用求出局部量“化整为零，以常代变近假值微分表达式dU = f(x)dx第二步利用”积零为整，无限累加”求出整体量的精确值积分表达式/f(x)dx这种分析方法称为元素法天（或微元分析法）元素的几何形状常取为：条，带，段，环，扇，片，壳等ol0ol0l0x第二节目录上页下页返回结束
微元法解决问题的步骤: 第一步 利用“化整为零 , 以常代变” 求出局部量 的 微分表达式 dU = f (x) dx 第二步 利用“ 积零为整, 无限累加 ” 求出整体量的 积分表达式 U = f x x b a ( ) d 这种分析方法称为元素法 (或微元分析法) 元素的几何形状常取为: 条, 带, 段, 环, 扇, 片, 壳 等 近似值 精确值 第二节 目录 上页 下页 返回 结束
二、平面图形的面积yt y= f(x)1.直角坐标情形设曲线y= f(x)(≥0)与直线x=α,x=b(α<b)及x轴所围曲oaxlbx边梯形面积为A，则x +dxdA= f(x)dxyty= fi(x)y= f2(x)AA= (~f(x)dx右下图所示图形面积为fi(x)- f2(x)dx1axfuOe000x机动目录上页下页返回结束
二、平面图形的面积 1. 直角坐标情形 设曲线 与直线 及 x 轴所围曲 则 dA = f (x)dx o a b x y y = f (x) x x + dx A f x x b a ( )d = 机动 目录 上页 下页 返回 结束 边梯形面积为 A , 右下图所示图形面积为 y o a b x ( ) 2 ( ) y = f x 1 y = f x A f x f x x b a ( ) ( ) d = 1 − 2 x x + d x
例1.计算两条抛物线2=x,=x2在在第一象限所围所围图形的面积2V=x解:由2VV=X得交点(0,0),1,1)11.1=x2O1XXx+dx33013o000x机动自录上页下页返回结束
例1. 计算两条抛物线 在第一象限所围 所围图形的面积 . x y = x 2 o y 2 y = x x x + d x 解: 由 得交点 (0, 0) , (1,1) (1,1) 1 d A ( x x )dx 2 = − 3 1 = = 1 0 A 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例2.计算抛物线y2=2x与直线y=x-4所围图形的面积，2x得交点解:由Ly? =2xy=x-4(8,4)y+dy(2, -2), (8,4)J为简便计算，选取y作积分变量X=x-4V则有(2, -2)y+4-y)dy=[y2 + 4y-3 ]-2=18O000X机动目录上页下页返回结束
x y 2x 2 = o y y = x − 4 例2. 计算抛物线 y 2x 2 = 与直线 的面积 . 解: 由 得交点 (2, − 2) , (8, 4) (8,4) d A ( y 4 y )dy 2 2 1 = + − =18 y = x − 4 所围图形 (2,− 2) 为简便计算, 选取 y 作积分变量, 则有 y y + d y − = 4 2 A 机动 目录 上页 下页 返回 结束
2YV例3.求椭圆1所围图形的面积+2b2ayt解：利用对称性，有 dA= ydxbA=4/ydxxx+dxax利用椭圆的参数方程x =acost(0≤t≤2元)y=bsint应用定积分换元法得A= 4~ bsint ·(-asint)dt = 4absin' t dtJO=4ab.1.匹=παb当α=b时得圆面积公式22o0o00x机动自录上页下页返回结束
a b o x y x 例3. 求椭圆 解: 利用对称性 , d A = y dx 所围图形的面积 . 有 = a A y x 0 4 d 利用椭圆的参数方程 (0 2 ) sin cos = = t y b t x a t 应用定积分换元法得 = 2 0 2 4 sin d ab t t = 4ab 2 1 2 = ab 当 a = b 时得圆面积公式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 x + d x
一般地，当曲边梯形的曲边由参数方程x= @(t)y=y(t)给出时，按顺时针方向规定起点和终点的参数值t1，t2yVbax0xb0a(ti 对应 x= a)(ti 对应 x= b)则曲边梯形面积 A=y(t) ·p'(t) dt000x机动目录上页下页返回结束
一般地 , 当曲边梯形的曲边由参数方程 给出时, 按顺时针方向规定起点和终点的参数值 则曲边梯形面积 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例4.求由摆线x=a(t-sint),y=a(l-cost)(a>0)的一拱与 x轴所围平面图形的面积2元解: A =a(1-cost)·a(1-cost)dt02元y(1 - cost)? d ta2元tdtsin2元a x02?元28asin udu今儿=02四24udusinFJo31元2=16a3元a224 Oe000x机动自录上页下页返回结束
例4 . 求由摆线 的一拱与 x 轴所围平面图形的面积 . 解: dA = a(1− cost) a(1− cost)d t a (1 cost) d t 2 0 2 2 = − t t a d 2 4 sin 2 0 2 4 = ) 2 ( t 8a sin u d u 令u = 0 2 4 = 16a sin u d u 2 0 2 4 = 2 = 3 a = 2 0 A 机动 目录 上页 下页 返回 结束 x y o 2 a
2.极坐标情形设β(の)C[α,β], (の)≥0,求由曲线 r =(O) 及射线=α,=β围成的曲边扇形的面积.在区间[α,β]上任取小区间[0,+d]则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为β(0)dA ==[(0)]2 d6de所求曲边扇形的面积为0[?(0)d1a2.50x1000X机动目录上页下页返回结束
2. 极坐标情形 求由曲线 及 围成的曲边扇形的面积 . r =( ) x d 在区间 上任取小区间 则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为 ( ) d 2 1 d 2 A = 所求曲边扇形的面积为 ( )d 2 1 2 A = 机动 目录 上页 下页 返回 结束