第三章第四节函数的单调性、极值和最大最小值一、函数单调性的判定法函数的极值二、三、 i函数的最大最小值O00010x机动目录上页下页返回结束
第四节 一、函数单调性的判定法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、函数的极值 函数的单调性、极值 和最大最小值 第三章 三、函数的最大最小值
一、函数单调性的判定法定理1.设函数 f(x)在开区间I内可导,若 f(x)>0(f(x)0，EI,任取 xi,X2EI (xi 05 e(xi,x2)c I故 f(x)<f(x2).这说明f(x)在I内单调递增证毕O0000x机动自录上页下页返回结束
一、 函数单调性的判定法 定理 1. 设函数 若 ( f (x) 0), 则 在 I 内单调递增 (递减) . 证: 无妨设 任取 由拉格朗日中值定理得 0 故 这说明 在 I 内单调递增. 在开区间 I 内可导, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 证毕
例1.确定函数f(x)=2x3-9x2+12x-3的单调区间解: f'(x)=6x2 -18x+12 =6(x-1)(x-2)令 f'(x)=0,得 x=1,x=212(1, 2)(-0, 1)(2, +8)x00+f'(x)+21f(x)yt2故,f(x)的单调增区间为（-0,1),(2,+);f(x)的单调减区间为(1,2)012x0000x机动自录上页下页返回结束
例1. 确定函数 的单调区间. 解: ( ) 6 18 12 2 f x = x − x + = 6(x −1)(x − 2) 令 f (x) = 0 , 得 x =1, x = 2 x f (x) f (x) (−,1) 2 0 0 1 (1, 2) (2, + ) + − + 2 1 故 的单调增区间为 (−,1), (2, + ); 的单调减区间为 (1, 2). 1 2 o x y 1 2 机动 目录 上页 下页 返回 结束
说明：1）单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点例如, =/x2,x(-00,+80)yt y=3/x?233/xx0=8r=0y2）如果函数在某驻点两边导数同号=x则不改变函数的单调性例如，=x3,xE(-80,+80)0xJy'= 3x2y'lx=0 = 0OeD0X机动目录上页下页返回结束
y o x 说明: 1) 单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点. 例如, 3 2 y = x 2) 如果函数在某驻点两边导数同号, 则不改变函数的单调性 . 例如, y o x 3 y = x 机动 目录 上页 下页 返回 结束
2sinx元T时，成立不等式例2.证明0<x≤≥2元x2sin x证:令f(x)元x元元上可导，且则f(x)在(0,")上连续,在(0,22证x·cosx-sinxcos xx-tanx)<0f'(x) =?2xtan x代因此f(x)在(O,")内单调递减21又(x)在处左连续,因此f(x)≥22sinx元从而xE(0元x2O0000x证明自录上页下页返回结束
例2. 证明 时, 成立不等式 证: 令 , sin 2 ( ) = − x x f x 2 cos sin ( ) x x x x f x − = ( tan ) cos 2 x x x x = − 1 tan x x 0 从而 因此 且 证 证明 目录 上页 下页 返回 结束
3例3.证明当x>0时，sinx>x3!24ox则 f'(x)=cos x-1+证:令 f(x)=sinx-x+2!3!f"(x)=x-sinx，当 x>0 时,x>sinx, 所以 f"(x)>0,故当 x≥0时，f(x)单增,而f'(O)=0，所以当x>0 时f(x)>f(O)=0，故当 x>0时，f(x)单增,又f(O)=0,所以当x>0时,31>0f(x)=sin x-x+3!由此知结论成立O0000x机动目录上页下页返回结束
例3. 证明当 x > 0 时, 3 sin 3! x x x − 3 ( ) sin , 3! x f x x x = − + 2 ( ) cos 1 , 2! x f x x = − + 机动 目录 上页 下页 返回 结束 f x x x ( ) sin , = − f x ( ) 0, f x ( ) f (0) 0, = f x f ( ) (0) 0, = 3 ( ) sin 0, 3! x f x x x = − + 证: 令 故当 x≥0 时, 当 x > 0 时, x > sinx, 所以 所以当 x > 0 时, 则 由此知结论成立. 所以当 x > 0 时, 单增, 而 故当 x > 0 时, f (x)单增, 又 f (0) = 0
一、函数的极值及其求法定义：设函数f(x)在(a,b)内有定义，xo E(a,b)若存在xo的一个邻域，在其中当 x≠xo时(1) f(x) f(xo),则称 xo为f(αx)的极小点称f(xo)为函数的极小值极大点与极小点统称为极值点O0000x机动目录上页下页返回结束
一、函数的极值及其求法 定义: 在其中当 时, (1) 则称 为 的极大点 , 称 为函数的极大值 ; (2) 则称 为 的极小点 , 称 为函数的极小值 . 极大点与极小点统称为极值点 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例如ytf(x) = 2x3 -9x2 +12x-321x=1为极大点，f(1)=2是极大值x=2为极小点，f(2)=1是极小值02x函数的极值是函数的局部性质注意：1) [2）对常见函数，极值可能出现在导数为0或不存在的点VX1,X4为极大点X2,Xs为极小点X3不是极值点oax x x x4 bx00x机动自录上页下页返回结束
注意: 3 x 1 x 4 x 2 x 5 x a x o b y 1 4 x , x 为极大点 2 5 x , x 为极小点 3 x 不是极值点 2) 对常见函数, 极值可能出现在导数为 0 或 不存在的点. 1) 函数的极值是函数的局部性质. ( ) 2 9 12 3 3 2 f x = x − x + x − 例如 为极大点 , 是极大值 为极小点 , 是极小值 1 2 o x y 1 2 机动 目录 上页 下页 返回 结束
定理1(极值第一判别法)设函数,f(x)在xo 的某邻域内连续，且在空心邻域内有导数，当x由小到大通过xo时，(1)f(x）“左正右负则f(x)在xo取极大值(2)f(x)“左负右正",则f(x)在xo取极小值;(自证)点击图中任意处动画播放暂停O000x机动目录上页下页返回结束
定理 1 (极值第一判别法) ( ) , 设函数 f x 在x0的某邻域内连续 且在空心邻域 内有导数, , 当x由小到大通过 x0时 (1) f (x) “左正右负” , ( ) ; (2) f (x) “左负右正” , 则f x 在x0 取极小值 ( ) . 则f x 在x0 取极大值 (自证) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 点击图中任意处动画播放\暂停
2的极值例1. 求函数f(x)=(x-1)x3 白x5解: 1)求导数 f(x)=x3 +(x-1)·x-333/x2)求极值可疑点令f(x)=0,得xi =； 令f(x)=00,得x2=03)列表判别25(2, +8)(0,2)(-8, 0)0x+0+8f'(x)0-0.33f(x).是极大点 其极大值为f(O)=0:.x=02是极小点其极小值为f()=-0.33x=6110l00x机动自录上页下页返回结束
例1. 求函数 的极值 . 解: 1) 求导数 = 3 + 2 f (x) x 3 1 3 2 ( 1) − x − x 3 5 2 3 5 x x− = 2) 求极值可疑点 令 f (x) = 0 , 得 ; 5 2 x1 = 令 f (x) = , 得 x2 = 0 3) 列表判别 x f (x) f (x) 0 5 2 0 + − + 0 − 0.33 (−, 0) (0 , ) 5 2 ( , ) 5 2 + 是极大点，其极大值为 是极小点，其极小值为 机动 目录 上页 下页 返回 结束