第一章函数与极限函数一研究对象分析基础极限一研究方法（连续一研究桥梁
第一章 分析基础 函数 极限 连续 — 研究对象 — 研究方法 — 研究桥梁 函数与极限
第一章第一节映射与函数一、集合二、 映射三、 函数oleoolox机动自录上页下页返回结束
第一章 二、映射 三、函数 一、集合 第一节 机动 目录 上页 下页 返回 结束 映射与函数
一、 集合1.定义及表示法定义1.具有某种特定性质的事物的总体称为集合组成集合的事物称为元素不含任何元素的集合称为空集，记作①，元素aα属于集合M,记作αEM.元素a不属于集合M,记作aEM（或a史M）M*表示M中排除0的集;注：M为数集M+表示M中排除0与负数的集leo00x机动目录上页下页返回结束
元素 a 属于集合 M , 记作 元素 a 不属于集合 M , 记作 一、 集合 1. 定义及表示法 定义 1. 具有某种特定性质的事物的总体称为集合. 组成集合的事物称为元素. 不含任何元素的集合称为空集 , 记作 . a M ( 或 aM ) . a M . 注: M 为数集 * M 表示 M 中排除 0 的集 ; + M 表示 M 中排除 0 与负数的集 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束
表示法：（1）列举法：按某种方式列出集合中的全体元素：例：有限集合 A=(αi,a2，,an}=a;)"自然数集 N={0,1,2,..,n,.}=(n)(2)描述法:M=(xx所具有的特征例：整数集合Z=(x」xeN 或-xeN+ppeZ,qeN，p与q互质有理数集Q=q实数集合R=（x|x为有理数或无理数)a<x<b开区间（α,b)=xa≤x≤b闭区间「α,b]={xOe000x机动自录上页下页返回结束
表示法： (1) 列举法：按某种方式列出集合中的全体元素 . 例: 有限集合 A = a1 , a2 , , an n i i a =1 = 自然数集 N = 0, 1, 2 , , n, = n (2) 描述法： M = x x 所具有的特征 例: 整数集合 Z = x 或 x N + − 有理数集 q p Q = p q Z, N , + p 与 q 互质 实数集合 R = x x 为有理数或无理数 开区间 ( a , b ) = x a x b 闭区间 [ a , b ] = x a x b 机动 目录 上页 下页 返回 结束 xN
半开区间［α,b)={x|a≤x<b(a,b]=(x|a<x≤b)无限区间［α,+8）=xα≤x(-00,b]=(x|x≤b)(-,+)={x|xeR) a-s a a+sU(a,)=x/a-<x<a+s?点的邻域={x|[x-a|<8}去心邻域U(a,8)=(x| 0<|x-a<83其中，α称为邻域中心，称为邻域半径左邻域：(α-,a)，右邻域：(α,α+)oloo10x机动目录上页下页返回结束
( ) a − a + 无限区间 点的 邻域 a 其中, a 称为邻域中心 , 称为邻域半径 . 半开区间 去心 邻域 左 邻域 : 右 邻域 : 机动 目录 上页 下页 返回 结束
2.集合之间的关系及运算定义2．设有集合A,B,若 xEA 必有xEB，则称 A是B的子集,或称B包含A，记作 ACB.若AC B且 BC A,则称 A 与 B相等,记作A= B.例如，NCZ，ZCQ，QCR显然有下列关系：(I) ACA; A=A; OCA(2) ACB且BCC >ACC1eo00x机动自录上页下页返回结束
是 B 的子集 , 或称 B 包含 A , 2. 集合之间的关系及运算 定义2 . 则称 A A B. 若 且 则称 A 与 B 相等, A = B . 例如 , 显然有下列关系 : , , 设有集合 A,B, 若 x A x B, 记作 记作 必有 机动 目录 上页 下页 返回 结束
定义3：给定两个集合A，B,定义下列运算AUB并集 AUB=(xxEA或 xEB)B交集 ANB=(x| xEA且xEB)A\BANB差集A\B=(xxEA且xB)B余集B=A\B(其中BA)直积AxB=((x,y)| xEA, yEB)记BAxB特例:R2RxR为平面上的全体点集Aoeolo0x机动目录上页下页返回结束
A c BA B 定义 3 . 给定两个集合 A, B, 并集 A B = x 交集 A B = x 且 差集 A \ B = x 且 x B 定义下列运算: A B A B 余集 B A\ B ( B A) c A = 其中 直积 A B = (x, y) x A , y B 特例: RR 记 2 R 为平面上的全体点集 A A\ B B A B A B 机动 目录 上页 下页 返回 结束 或
二、 映射1.映射的概念引例1.学号的集合某校学生的集合按一定规则查号某教室座位某班学生的集合的集合按一定规则入座oeo0x机动目录上页下页返回结束
二、 映射 1. 映射的概念 某校学生的集合 学号的集合 按一定规则查号 某班学生的集合 某教室座位 的集合 按一定规则入座 机动 目录 上页 下页 返回 结束 引例1
引例2. Vxe Ry=x+sinxyERy=xyty=x+sinxy= sin xx0xiX2yt引例3. C= {(x,y) x2 +y2 =1)(点集)Q.(点集)Y= ((0,y) -1≤y≤1)1x0V点PEC投影点QEY向轴投影10o0l0x机动目录上页下页返回结束
引例2. 引例3. (点集) (点集) 向 y 轴投影 机动 目录 上页 下页 返回 结束
定义4．设X，Y是两个非空集合，若存在一个对应规则f,使得 xEX,有唯一确定的 VEY与之对应，则称f为从X到Y的映射,记作f：X→YYfX元素称为元素x在映射f下的像，记作y=f(x)元素x称为元素在映射f下的原像集合X称为映射f的定义域：Y的子集 f(X)=(f(x)xEX)称为f的值域注意：1）映射的三要素一定义域，对应规则，值域2）元素x的像y是唯一的,但y的原像不一定唯一o10o0l0x机动目录上页下页返回结束
定义4. 设 X , Y 是两个非空集合, 若存在一个对应规 则 f , 使得 有唯一确定的 与之对应 , 则 称 f 为从 X 到 Y 的映射, 记作 f : X →Y. 元素 y 称为元素 x 在映射 f 下的 像 , 记作 y = f (x). 元素 x 称为元素 y 在映射 f 下的 原像 . 集合 X 称为映射 f 的定义域 ; Y 的子集 f (X) = f (x) x X 称为 f 的 值域 . 注意: 1) 映射的三要素— 定义域 , 对应规则 , 值域 . 2) 元素 x 的像 y 是唯一的, 但 y 的原像不一定唯一 . X f Y 机动 目录 上页 下页 返回 结束