《高等代数》课程教学资源（PPT课件）第九章 二次型

二次型第九章9. 1二次型和对称矩阵9.2复数域和实数域上的二次型9.3正定二次型9.4主轴问题

9.1 二次型和对称矩阵 9.2 复数域和实数域上的二次型 9.3 正定二次型 9.4 主轴问题

“每个优秀的人，都有一段沉默的时光。那段时光，是付出了很多努力，却得不到结果的日子，我们把它叫做扎根。任何人的成功都不是偶然，而是平日里含泪忍耐和咬牙坚持换来的必然结果好日子都是从苦日子里熬出来的，如果你看不到好日子，说明熬的还不够，坚持住了成功就在前面等你！阳光总在风雨后花若盛开，彩蝶自来，君若精彩，天自安排。我们要做的就是努力前行”。习近平

我思故我在。笛卡儿（Rene Descartes,1596-1650)11如果我能够看的更远，那是因为我站在巨人的肩上。一—牛顿(Newton,1642—1727)理学院数学系

-笛卡儿(Rene Descartes， 1596-1650) - 牛顿（Newton,1642－1727） 理学院数学系

9.1二次型和对称矩阵一、内容分布9.1.1二次型及其矩阵9.1.2线性变量替换9.1.3矩阵的合同关系9.1.4二次型的标准形二、教学目的1.掌握二次型及其矩阵表示的概念以及矩阵的合同关系2.理解二次型的线性变量替换3.了解二次型的标准形三、重点、难点：对矩阵的合同关系、二次型的线性变量替换及二次型的标准形的认知理学院数学系

9.1 二次型和对称矩阵 一、内容分布 9.1.1 二次型及其矩阵 9.1.2 线性变量替换 9.1.3 矩阵的合同关系 9.1.4 二次型的标准形 二、教学目的 1. 掌握二次型及其矩阵表示的概念 以及矩阵的合同关系 2. 理解二次型的线性变量替换 3. 了解二次型的标准形 三、重点、难点: 对矩阵的合同关系、二次型的线性变量 替换及二次型的标准形的认知 理学院数学系

9. 1. 1二次型及其矩阵表示定义1设F是一个数域，F上n元二次齐次多项式(1)q(xi,x2,..,xn)=aj1x7 +a22x2 +..+annxn+2a12Xjx2 +2a13XjX3 ++2an-1,nXn-1Xn叫做F上的一个n元二次型。F上n元多项式总可以看成F上的n个变量的函数，二次型（1）定义了一个函数:F"→F.所以n元二次型也叫n个变量的二次型在（1）中令a=aji(l<i,j≤n).因为x,x,=x,xi,所以（1）式可以写成以下形式：理学院数学系

9.1.1 二次型及其矩阵表示 定义1 设F 是一个数域，F上n 元二次齐次多项式 （1） n n n n n nn n a x x a x x a x x q x x x a x a x a x 12 1 2 13 1 3 1, 1 2 2 22 2 2 1 2 11 1 2 2 2 ( , , , )             叫做F上的一个n 元二次型。 F 上n 元多项式总可以看成 F 上的n 个变量的函 数，二次型（1）定义了一个函数 所 以n 元二次型也叫n 个变量的二次型. q : F F. n  在（1）中令 因为 所以（1）式可以写成以下形式： a a (1 i, j n). ij  ji   , i j j i x x  x x 理学院数学系

nn(2)q(xi,x2,..,xn)=EEcajx,xj,aij =ajii-l j=-l令A=(aij是（2）式右端的系数所构成的矩阵，称为二次型的矩阵。因为ij=ji，g(Xi,x2,..,Xn)E所以A是F上的一个n阶对称矩阵，利用矩阵的乘法，（2）式可以写成XiX2(3)q(x1,x2,.",xn)=(i,x2,..",xn)Xn二次型(3）的秩指的就是矩阵A的秩理学院数学系

（2）       n i n j n ij i j aij a ji q x x x a x x 1 1 1 2 ( , ,, ) , 是（2）式右端的系数所构成的矩阵,称 为二次型 的矩阵。因为 , 所以A是F上的一个n 阶对称矩阵，利用矩阵的乘 法，（2）式可以写成 ( ) 令A  aij ( , , , ) 1 2 n q x x  x ij ji a  a （3）        n n n x x x q x x x x x x A    2 1 1 2 1 2 ( , , , ) ( , , , ) 二次型（3）的秩指的就是矩阵A的秩。 理学院数学系

9.1.2线性变量替换(3)如果对二次型的变量施行如下的一个变换：nx, =Epijyj, i=1,2,..,n, Pij eF(1<i,j<n)(4)j-l的二次型那么就得到一个关于yi,J2，，n'y1,y2,.,y(4)式称为变量的线性替换，令P=（pi）是（4)的系数构成的矩阵，则（4）可以写成理学院数学系

9.1.2 线性变量替换 如果对二次型（3）的变量施行如下的一个变换： （4） , 1,2, , , (1 , ) 1 x p y i n p F i j n ij n j i   ij j       那么就得到一个关于 y1 , y2 ,, yn 的二次型 ( , , , ) 1 2 n q  y y  y （4）式称为变量的线性替换，令 是（4） 的系数构成的矩阵，则（4）可以写成 ( ) P  pij 理学院数学系

Xyiy2X2(5)=PVn将（5）代入（3）就得到yiy2(6) q'(yi,y2,, yn) = (yi, y2,.*, yn)pT AP（4）白矩阵P称为线性变换的矩阵。如果P是非奇异的，就称（4）是一个非奇异线性变换。因为A是对称矩阵，所以(PTAP)T=PTAP=PTAP PTAF也是对称矩阵理学院数学系

（5）              n n y y y P x x x   2 1 2 1 将（5）代入（3）就得到 （6）         n T n n y y y q y y y y y y P AP    2 1 1 2 1 2 ( , , , ) ( , , , ) 矩阵P 称为线性变换（4）的矩阵。如果P是非奇 异的，就称（4）是一个非奇异线性变换。因为A 是对称矩阵，所以 也是对称矩阵。 P AP P A P P AP P AP T T T T T T ( )   . 理学院数学系

n22设定理9.1.1aigxx，是数域F上的一个以A为i-1 j=1矩阵的n元二次型。对它的变量施行一次以P为矩阵的线性变换后所得到的二次型的矩阵是P'AP推论9.1.2一个二次型的秩在变量的非奇异线性变换之下保持不变注意：如果不取二次型的矩阵是对称矩阵，则推论9.1.2不成立理学院数学系

推论9.1.2 一个二次型的秩在变量的非奇异线性变 换之下保持不变。 注意: 如果不取二次型的矩阵是对称矩阵，则推论 9.1.2不成立 定理9.1.1 设 是数域F上的一个以A为 矩阵的n元二次型。对它的变量施行一次以P为矩    n i n j ij i j a x x 1 1 阵的线性变换后所得到的二次型的矩阵是 PAP 。 理学院数学系

9.1.3方阵的合同关系定义2设A，B是数域F上的两个n阶矩阵。如果存PTAP = B在F上的一个可逆矩阵P，使得那么称B与A合同。矩阵的合同关系的性质：自反性：任意矩阵A都与自身合同，因为IAI=A对称性：3如果与A合同，那么A他也与合同，因为由P'AP=B可以得出(P-I)BP-I =(P')-"BP-I = A传递性：如果 B 与 A 合同，C 与 B 合同,，那么C与A合同。理学院数学系

9.1.3 方阵的合同关系 定义2 设A，B是数域F上的两个n 阶矩阵。如果存 在F上的一个可逆矩阵P，使得 那么称 B 与 A合同。 P AP B T  矩阵的合同关系的性质： ③ 传递性：如果 B 与 A 合同，C 与 B 合同，那 么C 与 A 合同。 ① 自反性：任意矩阵A都与自身合同，因为IAI=A PAP  B P BP  P BP  A 1 1 1 1 ( ) ( ) ② 对称性：如果B与A合同，那么A也与B合同，因为 由 可以得出 理学院数学系