《高等代数》课程教学资源（例题选讲）第四章 线性方程组

第四章例题选讲通过下述几个问题的求解过程，理解一般线性方程组的求解方法一消元法，并且掌握利用矩阵的行初等变换具体实施消元法过程。2xi +2x2 -X =1x - X2 + X = 21几为何值时，方程组无解？有唯一解或有4x,+5x2 -5x3 = -1无穷多解？并在有无穷多解时写出方程组的通解。解：对方程组的增广矩阵施行行初等变换得2元元2-11-12-1111+21-10245-5-10-6-6-51+52元-1 103元+2元-10095元+44时，原方程组无解；当几1且几当元=一于是，时原方程55组有唯一解;x =1X2 =-1+k当几=1时原方程组有无穷多解，且其通解为[3=k(k为任意实数)

第四章例题选讲 通过下述几个问题的求解过程，理解一般线性方程组的求解方法 -消元法，并且掌握利用矩阵的行初等变换具体实施消元法过程。 1  为何值时，方程组      + − = − − + = + − = 4 5 5 1 2 2 1 1 2 3 1 2 3 1 2 3 x x x x x x x x x   无解？有唯一解或有 无穷多解？并在有无穷多解时写出方程组的通解。 解： 对方程组的增广矩阵施行行初等变换得 2 1 1 1 1 2 4 5 5 1     −   −       − − → 2 1 1 2 1 0 3 6 5 5 0 6       −     + − →     − − + − 2 1 1 2 1 0 3 5 4 0 0 9       −   + −       + 于是，当 5 4  = − 时，原方程组无解；当  1 且 5 4   − 时原方程 组有唯一解； 当  =1 时原方程组有无穷多解，且其通解为 ( )      = = − + = x k k为任意实数 x k x 3 2 1 1 1

Xi +2x2 + 3x3 - X4 = 1Xi +X2+2x3 +3x4 = 12讨论a,b取何值时，线性方程组3xi-×2-3-2x4=a无解，有2xi +3x2 -X3 +bx4 = -6唯一解，有无穷多解，有解时求出其解。解：对方程组的增广矩阵施行行初等变换得23-11123-11123 104011-1-103-1-2a-101a-3-1-7236(0-1-6b+2-8-1-723-11(123-1(11004004-1-1-1-10000- 27a-3-327a-3-30000-8 0-6b-2b + 52-2a-2当b+52=0，而a+10时，系数矩阵的秩为3，而增广矩阵的秩为4，故原方程组无解。当b+52=0，且a+1=0时，系数矩阵及增广矩阵的秩均为3，小于变量个数，所以有无穷多解。此时由对应的齐次方程，令x4=1,213得 xs=-9,x2=13,X=2，即基础解系为=91

2 讨论 a,b 取何值时，线性方程组        + − + = − − − − = + + + = + + − = 2 3 6 3 2 2 3 1 2 3 1 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 x x x bx x x x x a x x x x x x x x 无解，有 唯一解，有无穷多解，有解时求出其解。 解：对方程组的增广矩阵施行行初等变换得               − − + − − − − − − − →               − − − − − − 0 1 7 2 8 0 7 10 1 3 0 1 1 4 0 1 2 3 1 1 2 3 1 6 3 1 1 2 1 1 2 3 1 1 2 3 1 1 b a b a               + − − − − − − − − →               − − − − − − − − − → 0 0 0 52 2 2 0 0 3 27 3 0 1 1 4 0 1 2 3 1 1 0 0 6 2 8 0 0 3 27 3 0 1 1 4 0 1 2 3 1 1 b a a b a 当 b+52 = 0 ，而 a +1 0 时，系数矩阵的秩为 3，而增广矩阵的秩为 4，故原方程组无解。 当 b +52 = 0 ，且 a +1= 0 时，系数矩阵及增广矩阵的秩均为 3，小于 变量个数，所以有无穷多解。此时由对应的齐次方程，令 x4 =1， 得 x3 = −9, x2 =13, x1 = 2 ，即基础解系为               − = 1 9 13 2 

134441即n非齐次方程的特解：令x，=1得x，-34-31XX=S3313所以原方程组的一般解为n+kn=4131当b+52+0时，系数矩阵与增广矩阵的秩均为4，且等于变量的个4(a + 1)q3b+ 5226(a + 1)a-33b+52数，所以原方程组有唯一解，为a-318(a + 1)3b+522(a + 1)一b +52[2x, + x, -x, = 1,x一x2+x=2,有唯一解？线性方程组3元满足什么条件时，4x+5x,-5x,=3[2 元-122.2-1[32(1)]02-1-1(1-元=(a-1)-(5元+4)解：D=454540-55要使方程组有唯一解，必须D≠0，于是：（－1)·(5+4)≠04±-解得：￥1,5

非齐次方程的特解：令 x4 =1 得 3 1 , 3 4 , 1 3 4 x3 = x2 = − x1 = − ，即                   − − = 1 3 4 3 4 3 1 *  所以原方程组的一般解为               − +                   − − + = 1 9 13 2 1 3 4 3 4 3 1 *  k k . 当 b + 52  0 时，系数矩阵与增广矩阵的秩均为 4，且等于变量的个 数，所以原方程组有唯一解，为 ( ) ( ) ( ) ( )                       + − + + + + − − + + − − + + − 52 2 1 52 18 1 3 3 52 26 1 3 3 52 4 1 3 b a b a a b a a b a a . 3  满足什么条件时，线性方程组 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 1, 2, 4 5 5 3 x x x x x x x x x    + − =   − + =   + − = 有唯一解？ 解：D= [32(1)] 2 1 2 1 1 1 1 0 4 5 5 4 5 0 c      − − − = − − = 1 ( 1) ( 1) (5 4) 4 5     − − = −  + 要使方程组有唯一解，必须 D  0 ，于是： ( 1) (5 4) 0   −  +  解得： 1 2 4 1, 5     −

X时，方程组有唯一解。当不等于1，54入和u为何值时，齐次方程组x +x+x=0,+x+=0[X +2ux2+x=0有非零解?解：要使该齐次方程组有非零解，只需其系数行列式1元111.u1= 0,即μ(1 -)= 012μ1所以当μ=0或几=1时，方程组有非零解。5求出使一平面上三个点(X,y),(x2,2),(x,y3)位于同一直线上的充分必要条件解：三个点(X1,J),(x2,y2),(x3,y3)位于同一直线ax+by+c=0(其中a,b不同时为0)上，即有axi +byi +c= 0,ax +by2 +c= 0,ax, +by, +c = 0,这表明：以a,b，c为未知数的三元齐次线性方程组有非零解，其充分必要条件为

当  不等于 1， 4 5 − 时，方程组有唯一解。 4 λ 和 μ 为何值时，齐次方程组 1 2 3 1 2 3 1 2 3 0, 0, 2 0 x x x x x x x x x     + + =   + + =   + + = 有非零解? 解：要使该齐次方程组有非零解，只需其系数行列式 1 1 1 1 0, 1 2 1    = 即   (1 ) 0. − = 所以当  = 0 或  =1 时，方程组有非零解。 5 求出使一平面上三个点 1 1 2 2 3 3 ( , ),( , ),( , ) x y x y x y 位于同一直线上 的充分必要条件. 解：三个点 1 1 2 2 3 3 ( , ),( , ),( , ) x y x y x y 位于同一直线 ax+by+c=0 (其中 a, b 不同时为 0) 上，即有 1 1 2 2 3 3 0, 0, 0, ax by c ax by c ax by c  + + =   + + =   + + = 这表明：以 a, b, c 为未知数的三元齐次线性方程组有非零解，其充 分必要条件为

Myix221=0y3X3所以上式即为三点(x,J),(x2,y2),(x3,y3)位于同一直线上的充分必要条件。6证明：空间的四个平面a,x+b,y+c,z+d, =0,i=1,2,3,46diqCib,Cd,a=0相交于一点的条件是b,Cd,aa4bcd证明：四个平面相交于一点，即线性方程组ax+by+cz+d, =0azx+by+cz+d, =0a,x+b,y+cz+d, =0ayx+by+cz+d =0有唯一解，而从另一角度看，形式上可把(x,y,z,1)看作是四元齐次线性方程组ax +bx2 +cx, +d,x4 =0ax+bx+cx+dx=0ag+bx+c+dx=0ax+bx+cx+dx=0的一组非零解，而此齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式等于零，由此可得空间的四个平面

1 1 2 2 3 3 1 1 0 1 x y x y x y = ， 所以上式即为三点 1 1 2 2 3 3 ( , ),( , ),( , ) x y x y x y 位于同一直线上的充分 必要条件。 6 证明：空间的四个平面 0, 1,2,3,4 i i i i a x b y c z d i + + + = = 相交于一点的条件是 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 4 4 4 4 0 a b c d a b c d a b c d a b c d = 。 证明：四个平面相交于一点，即线性方程组 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 4 4 4 4 0 0 0 0 a x b y c z d a x b y c z d a x b y c z d a x b y c z d  + + + =   + + + =  + + + =    + + + = 有唯一解，而从另一角度看，形式上可把 ( , , ,1) x y z 看作是四元齐次线 性方程组 1 1 1 2 1 3 1 4 2 1 2 2 2 3 2 4 3 1 3 2 3 3 3 4 4 1 4 2 4 3 4 4 0 0 0 0 a x b x c x d x a x b x c x d x a x b x c x d x a x b x c x d x  + + + =   + + + =  + + + =    + + + = 的一组非零解，而此齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数 行列式等于零，由此可得空间的四个平面

a,x+b,y+c,z+d, =0,i=1,2,3,4a,b,Cvd,b,d,C2az相交于一点的条件是=0。b,dasC3asbhc4da通过下题熟悉“矩阵的初等变换”和“初等变换不改变矩阵的秩”下面的三种变换称为矩阵的行初等变换：（1）交换矩阵两行的位置（交换第i行和第j行的位置记为r(ii))；（2）矩阵的某行所有元素同乘以一个非零常数（第i行乘以k记为r[i(k)]) ;（3）把矩阵一行所有元素的k倍加到另一行对应的元素上（第i行的k倍加到第j行记为r[j+i(k)])。同理可定义矩阵的列初等变换（所用记号是把“r”换成“c”）求下列矩阵的秩：[o2 11-1002-2(1)(2）0110-11314122610426(3)(4)467634132[353020157732

0, 1,2,3,4 i i i i a x b y c z d i + + + = = 相交于一点的条件是 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 4 4 4 4 0 a b c d a b c d a b c d a b c d = 。 通过下题熟悉“矩阵的初等变换”和“初等变换不改变矩阵的秩” 下面的三种变换称为矩阵的行初等变换: （1）交换矩阵两行的位置（交换第 i 行和第 j 行的位置记为 r(i,j)）； （2）矩阵的某行所有元素同乘以一个非零常数（第 i 行乘以 k 记为 r[i(k)]）； （3）把矩阵一行所有元素的 k 倍加到另一行对应的元素上（第 i 行 的 k 倍加到第 j 行记为 r[ j+i(k)]）。 同理可定义矩阵的列初等变换(所用记号是把“r”换成“c”) 求下列矩阵的秩： （1） 0 1 1 1 2 0 2 2 2 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1   −   − −     − −     − ； （2） 1 1 2 1 0 2 2 4 2 0 3 0 6 1 1 0 3 0 0 1   −   − −     −     ； （3） 14 12 6 8 2 6 104 21 9 17 7 6 3 4 1 35 30 15 20 5             ； （4） 1 0 0 1 4 0 1 0 2 5 0 0 1 3 6 1 2 3 14 32 4 5 6 32 77                 ；

0100门0aa000qaa1(6)110(5)00alaa00101qaa10110001-1211-11100002-2-21解：（1）A=r[2(二)]1010-1-11-12-110021-1r(1,4)11[1 10-1[1 1011-1001-1-100-1一r(3,4)1r[3 + 2(1)]00102020-20r[4 + 2(-1)]21]1oO20000-1710-111r[3(-)]0000-1r[4 + 3(2)]01o1013]100UF01-1110-1r[4(00-10r[1 + 4(1)]00010000+r[3 + 4(-1]>1[0000000010100000000r[2 + 3(1]0-10-1c[2 + 1(1)]000000UV11c[4 + 1(-1]C100001O001001o00000000000c[4 +2(1]c(4,5)110000000011[oo01]00010所以R（A）=4。[1-1210][1 -1 2012-24-20-402000(2) Ar[2 + 1(2)]30-1 130-416r[3 + 1(-3)][0300001301

（5） 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1                 ； （6） 1 1 1 1 aaa a a a a a a aaa             。 解：（1）A= 0 1 1 1 2 0 2 2 2 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1   −   − −     − −     − 1 [2( )] 2 (1,4) r r ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 2   −   − −     − −     − [3 2(1)] [4 2( 1)] r r ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ + + − 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 2 0 1 0 0 2 0 2   −   − −     −     r(3, 4) ⎯⎯⎯⎯→ 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 2 0 2 0 0 2 0 1   −   − −         − 1 [3( )] 2 r ⎯⎯⎯⎯→ 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 2 0 1   −   − −         − r[4 3(2)] + ⎯⎯⎯⎯⎯→ 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 3   −   − −         1 [4( )] 3 r ⎯⎯⎯⎯→ 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1   −   − −         [1 4(1)] [3 4( 1)] r r ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ + + − 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1     − −         r[2 3(1)] + ⎯⎯⎯⎯⎯→ 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1     −         [2 1( 1)] [4 1( 1)] c c ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ + − + − 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1     −         c[4 2(1)] + ⎯⎯⎯⎯⎯→ 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1             c(4,5) ⎯⎯⎯⎯→ 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0             所以 R（A）= 4。 （2）A= 1 1 2 1 0 2 2 4 2 0 3 0 6 1 1 0 3 0 0 1   −   − −     −     [2 1( 2)] [3 1( 3)] r r ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ + − + − 1 1 2 1 0 0 0 0 4 0 0 3 0 4 1 0 3 0 0 1   −   −     −    

01-1 210211-11O00-400000r[3 +2(-1)]r[4 + 3(-1)]03000301-40r[2(-300000000000001010c[2 + 5(-3)]c[2 + 1(1)]001001c[3 + 1(-2)]00O000000c[4 + 1(-1]]0000100001c(2, 4)00001c(3, 5)000010所以R（A)=3。[141268200000610421917104219176(3) A=r[1 + 3(2)]7634634r[4 + 3(-5][35000030152050所以R (A)=2。47０0141o0150102002503636(4) A=01r[4 + 1(-1)]00132281231423130r[5 + 1(-4)]4563277]0628614100101410500200251r[4 + 2(-2)]36r[4 + 3(-3)]00316180003900r[5 + 2(-5]r[5 + 3(-6)]U3360061800000所以R (A)=3

r[3 2( 1)] + − ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ 1 1 2 1 0 0 0 0 4 0 0 3 0 0 1 0 3 0 0 1   −   −         [4 3( 1)] 1 [2( )] 4 r r ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ + − − 1 1 2 1 0 0 0 0 4 0 0 3 0 4 1 0 0 0 0 0   −   −     −     [2 1(1)] [3 1( 2)] [4 1( 1)] c c c ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ + + − + − 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 3 0 0 1 00000             c[2 5( 3)] + − ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 00000             (2, 4) (3,5) c c ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 00000             所以 R（A）= 3。 （3）A= 14 12 6 8 2 6 104 21 9 17 7 6 3 4 1 35 30 15 20 5             [1 3( 2)] [4 3( 5)] r r ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ + − + − 0 0 0 0 0 6 104 21 9 17 7 6 3 4 1 0 0 0 0 0             所以 R（A）= 2。 （4）A= 1 0 0 1 4 0 1 0 2 5 0 0 1 3 6 1 2 3 14 32 4 5 6 32 77                 [4 1( 1)] [5 1( 4)] r r ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ + − + − 1 0 0 1 4 0 1 0 2 5 0 0 1 3 6 0 2 3 13 28 0 5 6 28 61                 [4 2( 2)] [5 2( 5)] r r ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ + − + − 1 0 0 1 4 0 1 0 2 5 0 0 1 3 6 0 0 3 9 18 0 0 6 18 36                 [4 3( 3)] [5 3( 6)] r r ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ + − + − 1 0 0 1 4 0 1 0 2 5 0 0 1 3 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0                 所以 R（A）= 3

010100000000010r[2 +1(-1)]0000(5) A=0-00010000100101)10111071000100101-1000001r[3(=)]00020000[3 + 2(1)]010000001111r[5 + 2(-1)]0LO0111LO111r[1 + 3(-1)]0000000011r[2 + 3(1)]0100000001r[5 + 4(-1)]000000011=Er[4 + 3(-1)]0000010000r[5 + 3(-1)]00000000111所以R （A)=5

（5）A= 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1                 r[2 1( 1)] + − ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1     −             [3 2( 1)] [5 2( 1)] r r ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ + − + − 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1     −             1 [3( )] 2 r ⎯⎯⎯⎯→ 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1     −             [1 3( 1)] [2 3(1)] [4 3( 1)] [5 3( 1)] r r r r + − + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ + − + − 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1                 r[5 4( 1)] + − ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1                 =E 所以 R（A）= 5